e12 (физика лабы 2 курс 3-й семестр (методички))

1МГТУ им. Н.Э.БауманаБаландина Л. И.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.Методические указания к лабораторной работе Э-12 по курсу общей физики.Под ред. В.Н. Корчагина.Москва, 1990.Рассматриваются методы определения магнитной индукции на оси соленоида, ЭДС индукции,взаимной индуктивности двух соосных катушек в отсутствие ферромагнетиков и при их наличии.Предназначены для студентов второго курса всех специальностей.Цель работы - изучить явление электромагнитной индукции, распределение магнитного полявдоль оси соленоида и исследовать зависимость взаимной индуктивности двух цилиндрическихкатушек от их взаимного расположения.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬЯвление электромагнитной индукции было открыто Фарадеем в 1831 г. В замкнутомпроводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток, который называют индукционным.

Появление индукционного тока свидетельствует о том, что в контуре действует электродвижущаясила индукции. Правило, определяющее направление ЭДС индукции, сформулировано Ленцем- индукционный ток направлен так, что создаваемое им поле препятствует изменению магнитного потока. ЭДС индукции ε не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется только скоростью изменения магнитного потока:(1)ε = − dΦdtФормула (1) представляет собой закон электромагнитной индукции.Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях, когда изменяетсямагнитный поток, пронизывающий проводящий контур.

В частности, этот поток может создаваться током, текущим в самом рассматриваемом контуре. При изменении тока изменяется поток через контур и, следовательно, в контуре индуцируется ЭДС. Это явление называется самоиндукцией. Магнитный поток через контур в отсутствие ферромагнетиков вблизи контура пропорционален току i в контуре:(2)Ф=L⋅⋅iКоэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура. В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн).

Индуктивность какого-либо контура зависит от его формы и размеров, а также от магнитных свойств окружающей среды.Подставив в закон электромагнитной индукции (1) соотношение (2), получим выражениедля ЭДС самоиндукцииd L⋅i(3)ε = − ( ) = −  L di + i dL dtdtdtЕсли контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, то индуктивность - величинапостоянная. Тогда выражение (3) принимает вид(4)ε = − L didtРассмотрим теперь два неподвижных контура 1 и 2 с токами (рис.1), расположенные близкодруг к другу. Магнитное поле, создаваемое током i1 первого контура, изображено графическисплошными линиями.

Как видно из рисунка, часть линий индукции магнитного поля тока i1проходит через контур 2. С другой стороны, ток второго контура создает магнитное поле, линии индукции которого пронизывают контур 1. В этом случае между контурами 1 и 2 сущест-2вует магнитная связь.B2B1i2i1Рис.1Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при изменениисилы тока в одном из контуров в другомвозникает ЭДС индукции. Это явление называется взаимной индукцией.Если в контуре 1 течет ток i1, то создаваемый им магнитный поток Ф21 через контур2 в отсутствие ферромагнетиков вблизиконтуров пропорционален току i1:(5)Ф21=L21i1При изменении тока в первом контуре будет изменяться поток Ф21 и, согласно закону электромагнитной индукции Фарадея,во втором контуре возникнет ЭДС индукции(6)ε 2 = − dΦ 21 = − L21 di1 .dtdtОчевидно, что при изменении тока i2 во втором контуре, в первом контуре, индуктивно связанном со вторым контуром, индуцируется ЭДС(7)ε 1 = − dΦ 12 = − L12 di2 .dtdtКоэффициент пропорциональности L12 или L21 называется взаимной индуктивностью контуров.Значения коэффициентов L12 и L21 зависят от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды.

Взаимная индуктивность измеряется в тех же единицах, что в индуктивность.Можно показать, что для любых двух контуров в отсутствие ферромагнетиков взаимныеиндуктивности равны друг другуL12=L21.(8)Пусть в контуре 1 установился ток i1, создаваемый источником тока. В контуре 2 тока нет.Предположим, что ток равномерно уменьшается до нуля. Тогда вследствие магнитной связи вконтуре 2 возникнет ЭДС взаимной индукции ε2 и появится ток i2. Работа тока i2 за время dtравнаdi(9)dA2 = ε 2 i2 dt = − L21 1 i2 dt = − L21 i2 di1 .dtЕсли L21 не зависит от тока, что возможно в отсутствие ферромагнетиков, то, проинтегрироваввыражение (9) по току, получим работу, совершаемую током второго контура за все время, втечение которого происходит исчезновение магнитного поля, создаваемого током первого контура0A2 = − ∫ L21 i2 d i1 = L 21 i1 i2 .(10)i1Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля.

Поэтому магнитноеполе является носителем энергии, за счет которой и совершается работа. Эта энергия связанныхконтуров получила название взаимной энергии двух токов(11)W21=L21 i2 i1.Если такое же магнитное поле создать током второго контура, то, проведя аналогичные рассуждения, получим(12)A1=L12 i1 i2.Но произведенная работа в обоих случаях должна быть одинакова. Отсюда следует, что L12=L21.При наличии ферромагнитной среды взаимные индуктивности L12 и L21 не равны друг другу таккак они зависят не только от формы, размеров и взаимного расположения рассматриваемых3проводящих контуров, но также и от силы токов в них.

Потоки Ф12 и Ф21 не пропорциональнытокам i1 и i2. Однако формально соотношение (5) распространяют и на случай ферромагнетиковполагая при этом, что зависимость L21 от i1 известна и, следовательно, каждому значению i1 соответствует определенное значение L21.Если среда ферромагнитная, то по закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДСвзаимной индукции, возбуждаемая во втором контуре переменным магнитным полем первогоконтура, определяется по формулеd L ⋅i(13)ε 2 = − ( 21 1 ) = −  L21 di1 + i1 dL21  .dtdtdt Так как L21= L21(i1), тоdL21 dL21 di1.=dtdi1 dtТогда(14)ε 2 = −  L21 + i1 dL21  di1 .di1  dtПри наличия в контуре 2 переменного тока i2 в контуре 1 возникает ЭДС(15)ε 1 = −  L12 + i2 dL12  di2 .di2  dtОбратим внимание, чтоdLdΦ 21(16)L21 + i1 21 =,di1di1dLdΦ 12(17)L12 + i2 12 =.di2di2Это так называемые динамические взаимные индуктивности, в то время как L12 и L21 - статические взаимные индуктивности.В справедливости равенства (8) и зависимости коэффициента взаимной индуктивностиот взаимного расположения контуров с током можно убедиться экспериментально в случаедвух проводников, выполненных, например, в виде соосных цилиндрических катушек разнойдлины.Одна из катушек достаточно длинная.

Тонкая проволока на цилиндрический каркас намотанаrdαRrα2dααα1AxdxРис. 2плотно и равномерно, так что число витков обмотки на единицу длины является величиной постоянной и равной n. Соленоид можно рассматривать как совокупность колец с током, имеющих общую ось. Воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей для нахождениямагнитной индукции в точке А на оси соленоида (рис.2). По соленоиду течет ток i.

Выделим всоленоиде кольцо радиуса R и толщины dx с током iK, как показано на рис.2. Индукция магнит-4ного поля в точке А, находящейся на оси кольца на расстоянии x от его центра, вычисляется позакону Био-Савара-Лапласаµ2i K π R 2(18).dB = 04π R 2 + x 2 3 2()Как видно из рис.2,(19)R2 + x 2 = r 2 ,Rr=,sin αrdαdx =.sin αПо кольцу протекает ток(20)(21)r(22)dα .sin αПодставив (19), (20) и (22) в выражение (18), получимµ(23)dB = 0 2π ⋅ i ⋅ n ⋅ sinα ⋅ dα .4π!!Векторы dB для всех витков соленоида направлены одинаково, поэтому модуль вектора B запишется так:αµ0 i ⋅ n 2µ i ⋅n(24)B=sin α dα = 0(cos α 1 − cos α 2 ) ,∫2 α12i K = i ⋅ n ⋅ dx = i ⋅ nгде α1 и α2 - углы, показанные на рис 2.Для бесконечно длинной катушки α1=0 и α2=π, поэтому в любой точке на оси соленоидабесконечно большой длины индукция(25)B0=µ0 i n.B xПриведем график зависимости= f   вдоль оси катушки, длина которой в четыре разаB0 Rбольшее ее диаметра. На графике (рис.3) по оси ординат отложено отношение индукции магнитного поля В рассматриваемой катушки к индукции поля В0 в катушке бесконечно большойдлины с тем же количеством витков на единицу длины и с той же силой тока в каждом витке.По оси абсцисс отложено расстояние от центра катушки вдоль ее оси, выраженное в радиусах1,0ВВ00,80,60,40,2-5-4-3-2-1 012345xRРис.

3катушки. Как видно из графика, в центральной части катушки магнитное поле практическисовпадает с полем соленоида бесконечно большой длины. На концах катушки поле уменьшается почти в два раза. Этот вывод можно проверить экспериментально, так как в лабораторной5установке длинная катушка близка по пропорциям к катушке «четыре к одному».В лабораторной установке на длинную катушку от генератора звуковой частоты подается переменное напряжение(26)U=Umcosωt.Переменный ток(27)i=imcosωt,проходящий через катушку, создаст переменное магнитное поле, модуль вектора индукции которого будет изменяться по закону(28)B=Bmcosωt,где Bm -максимальное амплитудное значение модуля вектора индукции.В качестве зонда используется измерительная катушка, которая может перемещаться внутридлинной катушки вдоль их общей оси.

В измерительной катушке создается ЭДС индукции(29)ε = − N dΦ = − N d ( BS cos α ) = − NS cos α dB ,dtdtdtгде N - число витков измерительной катушки; S - площадь ее поперечного сечения; α - угол!между нормалью к поперечному сечению измерительной катушки и вектором B .Измерительная катушка подключается к входу осциллографа, входное сопротивление которогона несколько порядков выше сопротивления измерительной катушки (активного и индуктивного). Поэтому на экране осциллографа можно наблюдать колебания ЭДС индукции, возникающей в измерительной катушке Подставив (28) в (29), получим(30)ε=Bm⋅S⋅N⋅ω⋅cosα⋅sinωt.Так как катушки соосны, то cosα =1 и амплитудное значение ЭДC индукции(31)εm=Bm⋅S⋅N⋅ω.Учитывая; что ω=2πf (где f - частота напряжения на выходе звукового генератора, Гц), получим(32)εm=Bm⋅S⋅N⋅2ππf.Тогда амплитудное значение модуля вектора индукции магнитного поля на оси длинной катушкиBm =εm2π f ⋅ S ⋅ N,(33)если известны S, N, f и определено с помощью осциллографа εm.Определим взаимную индуктивность двух катушек, одна из которых, короткая катушка2, может перемещаться относительно друlгой, длинной катушки 1, вдоль их общейоси.

Пусть катушка 2 находится на серединекатушки 1, как указано на рис.4. Если, покатушке 1 длины l и диаметра d, имеющейα2N1 витков течет ток i1, то магнитная индукα1dция на оси катушки 1 в ее центре можетбыть вычислена по формуле (24). Учитывая,чтоK1K2lcos α 1 = − cos α 2 =,l2 + d2Рис.4получимµ0 ⋅ i ⋅ N 1B1 =.l2 + d2Считая площади поперечных сечений S1 катушек одинаковыми, запишем полный магнитныйпоток сцепленный с катушкой 2 (потокосцепление)µ N N S(35)Ψ 21 = N 2 B1 S1 = 0 1 2 1 i1 .22l +d6Сопоставляя (35) и (5), находим, что при совпадении центров двух соосных катушек их взаимная индуктивностьµ N N S(36)L21 = 0 1 2 1 .l2 + d2В данной работе взаимная индуктивность двух катушек измеряется следующим образом.