Задачник по физике (механика), страница 12

В момент остановки ω = 0, т.е. время доостановки t0 = ω0 I M .Момент инерции диска относительно оси вращения, проходящейчерез его центр, равен I = mR 2 2 .Окончательно получим t0 = 3ω0 R (4μg ) .Задача 4.7. На неподвижныйнерастяжимая нить, к свободномумассой m2 (cм. рис.4.7). В моментдвижение. Найти зависимостьотносительно оси блока от времени.блок массой m1 намотана легкаяконцу которой подвешено теловремени t = 0 система пришла вмомента импульса системыРешение. Момент импульса системы r относительноосиr rскладывается из момента импульса блока и тела L = L1 + L2 илиL00 = Iω + m2vR = Iω + m2ωR 2 = ω(I + m2 R 2 ) ,где I - момент инерции блока, ω - угловая скорость вращения блокаω= v R.Запишем второй закон Ньютона для тела m2 : m2 g − T = m2 a иосновное уравнение динамики вращательного движения для блока :TR = Iε , где ε = a R .

Отсюда Iε = Rm2 ( g − a ) = m2 R ( g − εR ) ,69ε = m2 gR (I + m2 R 2 ) . Угловое ускорение ε не зависит от времени.Это значит, что ω = εt , (ω0 = 0 ) . Следовательно, угловая скорость равнаω = m2 gRt (I + m2 R 2 ),а момент импульсаL=m2 gRt⋅ (I + m2 R 2 ) = m2 gRt .2I + m2 RЗадача4.8.Наподставкемассыm1AFукреплена ось с цилиндромрадиуса R массы m2 . Наm1цилиндр намотана веревка,ккоторойприложенапостоянная сила F . НайтиРис.4.9ускорения тела массы m1 ,цилиндра m2 и точки А веревки. Трением пренебречь. Веревку считатьидеальной невесомой нерастяжимой нитью.Решение.

Линейное ускорение подставки и оси цилиндраFa1 =.m1 + m2Угловое ускорение цилиндраMFR2Fε===.2I 0,5 ⋅ m2 Rm2 R2FСоответствующее линейное ускорение веревки a2 = εR =.m2Результирующее ускорение точки А веревкиRa A = a1 + a2 =m2F2 F F (m2 + 2m1 + 2m2 ) F (2m1 + 3m2 )+=.=m1 + m2 m2m2 (m1 + m2 )m2 (m1 + m2 )704.3.Задачи для самостоятельногорешения4.9 Тонкий однородный стержень длины3l = 30 см согнут под прямым углом, какпоказано на рис.4.10 и может вращатьсяотносительно вертикальной оси O1O2.

Определитьмомент инерции стержня относительно оси O1O2,если масса единицы длины стержня m0 = 3 кг/м.O12llO2Рис.4.104.10. Тонкий однородный стержень длины 2l =O120 см согнут под прямым углом (α = 90°) иможет вращаться относительно вертикальнойllоси (рис.4.11). Определить момент инерциистержня относительно оси O1O2, если массаαединицы длины стержня m0 = 6 кг/м.4.11. Найти момент инерции плоскойO2однородной прямоугольной пластины массой mРис.4.11= 900 г относительно оси, совпадающей содной из ее сторон, если длина другой стороны a = 40 см.4.12. Найти момент инерции прямоугольного треугольникамассой m = 6 кг относительно оси, совпадающей с одним из егокатетов, если другой катет a = 60 см.O14.13. На рис.4.12 АС - диагональпрямоугольника ABCD. Во сколько размомент инерции J2 треугольника ACDбольше момента инерции J1 треугольникаABC относительно оси O1O2, совпадающейсо стороной АВ?O24.14.

Определить момент инерцииполого шара относительно касательной.Рис.4.12Масса шара m, его внешний радиус R, аYвнутренний - r.4.15. Найти момент инерцииXОпрямоугольной пластины массы m соa/2сторонами a и b, расположенной вплоскости XOY, относительно оси OXb/2и OY (рис.4.13).Рис.4.134.16. В условиях задачи 4.15.определить момент инерции пластины относительно оси OZ,Oпроходящейчерезцентрсимметриипластиныточкуперпендикулярно плоскости пластины.714.17. Найти момент инерции однородного куба относительно оси,проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m,длина ребра a.4.18.

Определить момент инерции тонкого обруча массой mи радиусом R относительно оси, касательной к обручу и лежащейв плоскости обруча.4.19. Найти момент инерции тонкого диска массой m ирадиусом R относительно оси, совпадающей с его диаметром.4.20. Ось симметрии сплошного однородногоc радиусомцилиндра массой mрасположенаоснования R и длиной lгоризонтально. Определить момент инерциицилиндра относительно вертикальной осиO1O2 (рис.4.14), проходящей через центроснования цилиндра (точка А).O2AO1Рис.4.144.21. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2м приложенапостоянная тангенциальная сила F = 100H . При вращении на дискдействует сила трения, момент которой M тр = 5Н ⋅ м . Определитьмассу диска, если он вращается с угловым ускорениемε = 100 рад с 2 .4.22. С какой силой следует прижать тормозную колодку кn = 30 об с , для его остановки в течениеколесу, делающемуt = 20c , если масса колеса распределена по объему и равна m = 10кг ,диаметр колеса d = 20см ? Коэффициент трения между колодкой иободом колеса f = 0,5 .4.23.

Маховик в форме сплошного диска имеет массу m = 50кги радиус R = 0,2м . Маховику сообщили начальную угловую скоростьω0 = 16π рад с . Под влиянием силы трения, приложенной покасательной к ободу, маховик останавливается. Найти силу трения, еслимаховик останавливается через время t = 50с .4.24. Сплошной однородный диск радиуса R = 10 см, имевшийначальную угловую скорость ω0 = 50 рад/с (относительно оси,перпендикулярной плоскости диска и проходящей через центр масс),кладут основанием на горизонтальную поверхность.

Сколько оборотовдиск сделает до остановки, если коэффициент трения междуоснованием диска и горизонтальной поверхностью f = 0,1 и не зависитот угловой скорости вращения диска?724.25. С наклонной плоскости, составляющей с горизонтом уголα = 300 , скатывается обруч. Длина наклонной плоскости l = 4м . Найтискорость обруча в конце наклонной плоскости.4.26. В условиях задачи 4.25 скатывается шар. Определитьвремя скатывания шара с наклонной плоскости.4.27.

В условиях задачи 4.25 скатывается диск. Найти ускорениецентра масс диска.4.28. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращаетсявокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шараимеет вид: ϕ = A + Bt2 + Ct3, где B = 4 рад/c2, C = –1 рад/c3. Найтизакон изменения момента сил, действующих на шар. Определитьмомент сил в момент времени t = 2 с.4.29. К точке, радиус-вектор которой относительноначалаrrrrrrкоординат О равен r = a i + b j , приложена сила F = A i + B j , гдеrra, b, A, В = const. Найти момент M силы F относительно точки O.4.30. Кольцо с внутренним R1 и внешним R2 радиусами,толщиной h и плотностью ρ вращается на горизонтальнойшероховатой плоскости относительно вертикальной оси, проходящейчерез центр кольца. Найти момент сил трения, действующий накольцо, если коэффициент трения кольца о плоскость равен f.4.31.

Однородный стерженьмассой m и длиной l (рис.4.15) падаетбезначальнойскоростиизположения 1, вращаясь без трениявокруг неподвижной горизонтальнойоси O. Найти горизонтальную Fгор ивертикальную Fверт составляющиесилы, с которыми ось действует на 2стерженьвгоризонтальномположении 2.4.32.Абсолютнотвердаяоднородная балка массой m идлиной L лежит на двух абсолютнотвердыхсимметричнорасположенных опорах, расстояниемежду которыми равно l (рис.4.16)Одну из опор выбивают.

Найтиначальное значение силы давленияF1, действующей на оставшуюсяопору. Рассмотреть частный случай,когда l = L.1→Fверт.→Fгор.ОРис.4.15→→→mglРис.4.16734.33. Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот изстойки на руках, т.е. вращается не сгибаясь вокруг перекладины поддействием собственного веса. Оценить приближенно наибольшуюнагрузку F на его руки, пренебрегая трением ладоней о перекладину.4.34. Определить момент импульса тонкого обруча массой m ирадиусом R, вращающегося с угловой скоростью ω относительно оси,перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр.4.35. Вычислить момент импульса Земли L0, обусловленный еевращением вокруг своей оси.

Сравнить этот момент с моментомимпульса L, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землюсчитать однородным шаром, а орбиту Земли - окружностью.4.36. Шарик массы m бросили под углом α к горизонту сначальной скоростью v0. Найти величину момента импульса шарикаотносительно точки бросания L0 в зависимости от времени движения.Вычислить L в вершине траектории, если m = 130 г, α = 45°, v0 =25 м/c. Сопротивлением воздуха пренебречь.4.37. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и длиныl = 1 м падает без начальной скорости из вертикального положения вгоризонтальное. Найти момент импульса стержня, когда он составляетс вертикалью угол β = 60 °.4.38. Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединеныневесомой и нерастяжимой нитью и перекинуты через блок массойm3 = 1 кг.

Найти: 1) ускорение а, с которым движутся гири; 2)натяжения Т1 и Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считатьоднородным диском. Трением пренебречь.4.39. На барабан массой М = 9 кг намотан шнур, к концукоторого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение груза.Барабан считать сплошным однородным цилиндром. Трениемпренебречь.4.40. Схема демонстрационногоприбора(дискМаксвелла)изображена на рис. 4.17.