Задачник по физике (механика), страница 9

Обозначим скорость первой частицы до соударения v ,а после соударения v1 , а второй частицы - v2 . Удар абсолютноупругий, запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси х и уи закон сохранения энергииθθθθm1 v =m1 v1 cos + m 2 v2 cos , m1 v1 sin =m 2 v2 sin ,2222222m1vmvmv= 11 + 2 2 .22250Введем обозначение c = m1 m2 . Тогда из второго уравненияполучим c = v2 v1 . Отсюда получим cv = 2v2 cos(θ 2 ) , cv 2 = v22 (1 + 1 c ) .Исключая из этих уравнений v2 v , получим 1 + c = 4 cos 2 (θ 2 ) . Отсюдаc = 4 cos 2 (θ 2 ) − 1 = 2;m1 m2 = 2 .Задача 3.9. Частица движется по замкнутой траектории вцентральном силовом поле, в котором ее потенциальная энергияU = kr 2 , где k - положительная постоянная, r - расстояние частицы доцентра поля О. Найти массу частицы, если ее наименьшее расстояниедо центра поля равно r1 , а скорость на наибольшем расстоянии от этойточки равна v2 .Решение.

Момент сил, действующих на частицу в центральномполе, всегда равен нулю, т.к. сила всегда параллельна радиус-вектору.Поэтому для такой частицысправедлив закон сохранения vr1r2моментаимпульсаOrrrrm[r1v1 ] = m[r2v2 ] .rЗаконсохраненияr1v22mv12mv22+ kr1 =+ kr22 .энергии22Рис.3.4Здесь v1 – скоростьчастицы при наименьшем расстоянии до точки О , а r2 - наибольшеерасстояние частицы до этой точки.Векторное уравнение закона сохранения момента импульсапревращается в v1r1 = v2 r2 , т.к.

r1⊥v1 и r2 ⊥v2 . Выразим r2 = v1r1 v2 .mПодставляя r2 в закон сохранения энергии (v12 − v22 ) = k (r22 − r12 ),222krполучим m = 21 .v2mЗадача 3.10. На гладкой горизонтальнойплоскости лежат две небольшие одинаковыешайбы массой m . Шайбы соединены легкойнедеформированной пружиной, длина которой l0l0 и жесткость χ . В некоторый момент одной изшайб сообщают скорость v0 в горизонтальномнаправлении перпендикулярно к пружине. mrv0Рис.3.551Найти максимальное относительное удлинение пружины (Δl<< 1),lесли трение отсутствует.Решение. Воспользуемся законом сохранения импульсаmv0 = 2mvc , где vc – скорость движения центра масс.

Отсюда vc = v 0 2 .Последующеедвижениеrv2rможнопредставитькакvотнсовокупность двух движений:равномерноепоступательноеrv1движение центра инерции соrv1скоростью vc = v 0 2 и движениеrv0 2шайб относительно центра масс соскоростью vотн , представляющееrv2собой наложение вращения вокругцентра инерции со скоростью v1 иРис.3.6колебания со скоростью v2 .Запишем законы сохранения энергии (3.23) и момента импульса(4.10), приравнивая составляющие величины в начальный моментвремени и момент, когда растяжение пружины максимально (т.е.v2 = 0 ) и vотн перпендикулярна линии, соединяющей шайбы ( vотн = v1 ).Обозначим через x максимальное удлинение пружины, т.е.

l1 = l0 + x ;относительное удлинение пружины α = x l0 . Закон сохранениямомента импульса в системе центра инерции:llvmv0 0 = 2mv1 1 = mv1l0 (1 + α ) . Отсюда α = 0 − 1.222v1Запишем закон сохранения энергии в системе центра массv2χl02α 2mv02 χx 2mv 2.=+ 2 1 , откуда выразим v1 = 0 1 −2mv02222Подставим найденное v1 в выражение для α , получим−1⎛ 2χl02α 2 ⎞ 2⎟ − 1.α = ⎜⎜1 −mv02 ⎟⎠⎝Таккакα << 1 ,товоспользовавшись2 22 2(1 + x )n ≈ 1 + nx (x << 1) , получим α = 1 − χl0 α2 − 1 = χl0 α2 .mv0mv0формулойmv02Тогда α = 2 .χl0523.3.Задачи для самостоятельного решения3.11.

Материальная точка массой m = 3 кг, двигаясь равномерно,описывает четверть окружности радиусом R = 2 м в течение времениt = 3 c. Найти изменение Δр импульса точки.3.12. Тело массой m = 5 кг брошено под углом α = 30° кгоризонту с начальной скоростью v0 = 20 м/с. Найти изменениеимпульса тела за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.3.13.

Лодка массы M с находящимся в ней человеком массы mнеподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль поrrлодке со скоростью u относительно лодки. С какой скоростью wбудет двигаться человек относительно воды? Сопротивление водыдвижению лодки не учитывать.3.14. Снаряд, выпущенный под углом α = 30° к горизонту,разрывается в верхней точке траектории на высоте h = 40 м на триодинаковые части, импульсы которых оказались расположенными водной плоскости.

Одна часть снаряда падает на Землю через t1 = 1 cпосле взрыва под точкой взрыва, вторая - там же через t2 = 4 c. Накаком расстоянии l от места выстрела упадет третий осколок?3.15. С какой скоростью должен прыгнуть человек массой m,стоящий на краю неподвижной тележки массой М и длиной l, чтобыпопасть на ее конец? Трением между горизонтальной дорогой иповерхностью пренебречь. Вектор начальной скорости человекасоставляет угол α с горизонтом.3.16. Из пушки, свободно соскальзывающей по наклоннойплоскости и прошедшей уже путь l, производится выстрел вгоризонтальном направлении.

Какова должна быть скорость v снарядадля того, чтобы пушка остановилась после выстрела? Выразитьискомую скорость v снаряда через его массу m, массу пушки M и уголα наклона плоскости к горизонту. Учесть, что m<<M и что выстрелпроисходит практически мгновенно.3.17. Из пушки массой М = 1000 кг, ствол которой составляетугол α = 60° c вертикалью, производят выстрел снарядом массы m = 10кг со скоростью v0= 180 м/с относительно ствола. После выстрелапушка откатыается назад.

На каком расстоянии от места выстрелаупадёт снаряд?3.18. На материальнуюмассой m = 1 кг действовала сила,r точкуrrизменяющаяся по закону F = At i +(At+Bt2) j [H], A=1H/c, B=1H/c2. Вrrначальный момент времени точка имела скорость v =α j , где α = 2м/c. Определить импульс тела спустя время t = 1 c после началадействия силы.533.19. В одном изобретении предлагается на ходу наполнятьплатформы поезда углем, падающим вертикально на платформуиз соответствующим образом устроенного бункера.

Какова должнабыть приложенная к платформе сила тяги, если на нее погружают m =10 т угля за t = 2 c и за это время она проходит равномернопутьS=10 м? Трением при движении платформы можно пренебречь.3.20. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась поддействием некоторой силы, направленной вдоль оси ОХ, по законуx = α + βt + γt2 , где α = 3 м, β = 2 м/с 2, γ = 1м/с 2 .

Определитьработу этой силы за первые 2 с.3.21. Льдина площадью поперечного сечения S = 1 м2 и высотойН = 0,4 м плавает воде. Плотность воды ρв= 1000 кг/м3, плотность льдаρл = 900 кг/м3. Какую работу надо совершить, чтобы полностьюпогрузить льдину в воду?3.22. На столе, свисая на 1/3 в небольшое отверстие стола, лежитна грани скольжения цепочка массой m и длиной 3l. Какую работунужно совершить, чтобы цепочку втащить на стол горизонтальнойсилой, прикладывая ее к концу цепочки?3.23.

Цепочка массой m = 0,8 кг и длины l = 1,5 м лежит нашероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края.Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся частьсоставляет η = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силытрения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании состола?3.24. Потенциальная энергия частицы имеет вид: а) U = α/r,rб) U = kr2/2, где r - модуль радиуса-вектора r частицы; α и k постоянные (k>0). Найти силу F, действующую на частицу, и работу А,совершаемую над частицей силами поля при переходе ее из точкиМ1 = {1, 2, 3} м, в точку М2 = {2, 3, 4} м.3.25. Потенциальная энергия частицыr имеет вид U = α(x2/y –y2/z) [Дж], где α = const. Определить: силу F , действующую на частицу;работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицыиз точки М 1 = {3, 2, 1} [м], в точку М2 = {1, 2, 3} [м].3.26.

Частица массы m = 4 кг движется в двумерном поле, еепотенциальная энергия U = αxy, где α = 0,19 мДж/м2. В точкеМ1= {3, 4} м, частица имела скорость v1= 3 м/c, а в точкеМ2 ={5, - 6} м скорость v2 = 4 м/с. Найти работу сторонних сил на путимежду точками M1 и M2.3.27. На частицу массой m = 100 г действует сила54rα r α rα rF = 2 i + 2 j + 2 k , где, α = 5 Н·м 2. Определить работуxyzэтой силы по перемещению частицы из точки М1 = {1, 3, 2} м, в точкуМ2 = {3, 2, 1} м.3.28. Частице массой m = 1кг сообщили начальную скоростьv0 = 1 м с и она начинает двигаться по шероховатой горизонтальнойповерхности, причем коэффициент трения f ее об эту поверхность−3 −1линейно зависит от координаты x : f = αx , где α = 10 м .Какую работу совершит сила трения к моменту, когда частица будетиметь координату х = 5 м ?3.29.

В условиях задачи 3.28 найти скорость частицы в этотмомент времени.3.30.В условиях задачи 3.28 определить время движениячастицы до остановки.3.31. В условиях задачи 3.28 найти, какой путь пройдет частицадо остановки.rr3.32. На частицу массой m действует сила F = α sin (ωt) i , гдеrα и ω - положительные постоянные. При t = 0 скорость частицы v = 0.Найти работу силы к моменту времени t0 = π/(2 ω) c.3.33. На частицу массой m действует сила F = α exp (- βt), где α и βr- положительные постоянные. При t = 0 скорость частицы v = 0. Найтиработу силы за очень большой промежуток времени (t→∞).3.34. На материальную точку массой m, движущуюсяrrравномерно и прямолинейно со rскоростью v = v0 i начинаетrдействовать сила сопротивления F с = - αv i , где α - положительнаяпостоянная, а v - модуль скорости материальной точки. Определитьработу сил сопротивления за первую секунду ее действия.3.35. Материальная точка массы m = r 1 кг движетсяrпрямолинейно и равномерно со скоростью v = v0 i , где v0 = 1 м/с.

Внекоторыймомент на нее начинает действовать сила сопротивленияrr2F с = - αt i , где α = 1 Н/c 2. Определить работу сил сопротивления запервую секунду ее действия.3.36. Частица движется вдоль оси ОХ под действием силыrrF = (α v ) i , где v - модуль скорости частицы, α - положительнаяпостоянная. В начальный момент времени скорость частицы быларавна v0.