876503 (Решённый вариант 3 (из Чудесенко))

Ч _ 2 _16 _ 03n m47опыт состоит из последовательного брасания монеты (n + m) раз.Очевидно, что1) каждое бросание монеты событие независемое2)вероятность выпадения герба или цифры при каждом бросании 1/ 2интересующие нас событие состоится, если осуществятся одновременнодва взаимно независемых события :А = {при первых ( n + m − 1) бросках герб выпадет ровно (n − 1) раз}B = {при последнем броске выпадает герб}Очевидно, что по биномиальному распределениюn −1m101111P( A) = C⋅   ⋅   = C103 ⋅   , а P( B ) =2222т.к.

события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −1 1  1 10!  1 Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅   ⋅ =⋅   = 5.85% 2  2 3!⋅ 7!  2 1031011Ч _ 2 _18 _ 03n n115 2n22p1p20.15 0.15n3 = n − n1 − n2 = 11p3 = 1 − p1 − p2 = 0.7A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша. Причем эти события попарно несовместны.

Тогда P( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!15!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.152 ⋅ 0.152 ⋅ 0.711 = 8.19%2!⋅ 2!⋅ 11!n1!⋅ n2!⋅ n3!Ч _ 2 _ 20 _ 03np k1 k2100 0.8 70 95т.к. n достаточно велико, воспользуемся приближенной формулой , основанной наинтегральной теореме Муавра − Лапласа. x = x( k1 ) = −2.5k − npk − np=⇒ 1npqn ⋅ p ⋅ (1 − p ) x2 = x( k2 ) = 3.75Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )x=Pn ( k1 ; k2 ) = 0.499 + 0.493 = 99.37%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа (таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114)Ч_2_21_3Дана плотность распределения вероятностей p ( x) . Найти: γ , математическоеoжидание M ξ , дисперсию D ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2 .1)2)3)1/(γ −1.5),p ( x) = 0,2.51x∫1.5 γ − 2.5 dx = 1 ⇒ γ − 1.5Mξ =+∞2.5−∞1.5∫ xp( x)dx = ∫x ∈ [1.5; 2.5]2.51.5=1⇒xdxx2=⋅2.5 − 1.52Dξ = M ξ − ( M ξ ) =22x1 = 2.x2 = 2.3x ∈ [1.5; 2.5]2.5∫1.52.5 − 1.5= 1 ⇒ γ = 2.5 .γ − 1.52.5= 2.

.1.5x2x3dx − 22 = ⋅2.5 − 1.532.5−4=1.51(15.625 − 3.375) − 4 =312.250.25 1=−4==.3312x4)Функция распределения F ( x) равна: F ( x) =приx ≤ 1.5F ( x) = 01.5 < x ≤ 2.5 F ( x) =∫1.5припоэтому.xпри∫ p( x)dx ,−∞1dx = x2.5 −1.5x1.5= x − 1.5 .x > 2.5 F ( x) = 1 .5)P ( 2 < ξ < 2.3 ) = F (2.3) − F ( 2 ) = 2.3 − 2 = 0.3 , т.к. числа x1 , x2принадлежат интервалу ( 1.5; 2.5].Найти число γ , математическое ожидание M ζ , дисперсию Dζ ,функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1 < ζ < x2 .23a = −2 , b = −8 , c = 2 , x1 = − , x2 = −1 , p ( x) = γ e − 2 x − 8 x + 22Ч_2_22_3+∞1) Число γ находим из условия∫ γe− 2 x2 − 8 x + 2dx = 1 .(1)−∞Используем формулу+∞−2x∫ γeПолучаем:2∫e2π ⋅ σ−8 x + 2dx = γ−∞=+∞1+∞∫e−( x − a )2при σ = 0.5− 2 x2 − 8 x + 2+∞dx = γ∫e−∞Mζ =2)∫ x⋅−∞+∞2+∞γ e10 ⋅ 2π ⋅ 0.5 .22+∞22Dζ = M ζ 2 − ( M ζ ) 2 =3)2+∞∫x22⋅2==2π+∞22π=делаем замену переменнойt = x + 2 Тогда dt = dx+∞2 − 2 t2( ∫ (t e−∞+∞dt − 4 ∫ t e− 2 t2dt + 4−∞+∞∫22πe − 2 ( x + 2) .=t2+∞2π ⋅ 0.5) = − 2 .e− 2 ( x + 2 ) dx − ( − 2 )2 =+∞22π2 − 2 t2∫ (t − 2) edt − 4 =−∞ используем результаты вычис −= ления интегралов из пункта 2e − 2 t dt ) − 4 =2−∞( ∫ t 2 e − 2 t dt − 4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 2π ⋅ 0.5) − 4 .2−∞u = t,Используем метод интегрирования по частям:v = ∫ te− 2 t dt = ∫ te − 2 t22du = dt ,dv = te− 2 t dt ,22d ( − 2t 2 )1= − e− 2 t .− 4t4+∞2222111Dζ =( − lim te − 2 t + lim te − 2 t + ∫ e− 2 t dt + 4 2π ⋅ 0.5) − 4 =x→+∞x→−∞4442π−∞2 11=( ⋅ 2π ⋅ 0.5 + 4 ⋅ 2π ⋅ 0.5) − 4 =42π 44)Функция Лапласа есть−1Φ ( x) =12πx∫e−t 2 / 2dt .Получаем:0−12 − 2 ( x + 2 )23P (−< ζ < −1 ) = ∫ p ( x)dx = ∫edx = t = ( x + 2) ⋅ 2 =22π−3 / 2−3 / 221 − t2 / 2edt = Φ( 2 ) − Φ( 1 ) = 0.4772 − 0.3413 = 0.1359 .2π1При этом значение Ф( 2 ), Ф( 1 ) нашли по таблице.=∫x5)222π−∞=e − 10 .

Тогда p ( x) =−2d ( − 2t 2 )⋅− 2 ∫ e 2( 0.5 ) dt ) =− 4t−∞( ∫ te − 2 t dt − 2 ∫ e − 2 t dt ) =( ∫ te − 2 t2π −∞2π−∞−∞22 согласно 211=( − lim e − 2 t + lim e − 2 t − 2 ⋅ =(2)4 x →+∞4 x →−∞2π=2dx =2πДелаем замену переменнойt = x+2. Тогда dt = dxe − 2 ( x + 2) dx = 2π2− 2 ( x + 2 ) 2 + 10−∞Согласно (1) получаем γ e10 ⋅ 2π ⋅ 0.5 = 1 ⇒ γ =+∞(2)−∞+∞210=γee − 2 ( x + 2 ) dx =∫−∞используем (1)dx = 12σ 2Функция распределения F ( x ) равна:F ( x) =∫−∞xp ( x) dx =∫−∞22e − 2 ( x + 2) dx .2π=ξ . Найти плотностьДана плотность распределения pξ ( x) случайной величиныЧ_2_25_03распределенияpη ( y ) , математическое ожидание M η и дисперсию Dη случайной величины η ,которая представляет собой площадь равностороннего треугольника со стороной ξ .x ∈ [ a; b]x ∈ [ 2; 3] 1/(b − a) 1;pξ ( x) = ,a = 2, b = 3, pξ ( x) = ,0x ∈ [ a; b ]x ∈ [ 2 ;3] 03, причем ξ ≥ 0 .

Значит, функция η является4монотонно возрастающей. Поэтому справедлива формулаpη ( y ) = pξ [ψ ( y )] ⋅ ψ '( y ) ,(1)Решение. 1. Площадь треугольника равна: η = ξ 2 ⋅где ψ ( y ) - функция, обратная функции y = ϕ ( x) . У нас y = x 2x=4y3= 2 y / 4 3 = ψ ( y ) . Находим производную: ψ '( y ) =pη ( y ) = pξ [2 y43]⋅1y⋅ 34=1.y⋅431 /( y ⋅ 4 3) ,pη ( y ) = , 02.3.Согласно формулеDη =Mη =3−∞222∫ [ϕ ( x) − Mη ] pξ ( x)dx = ∫ ( x−∞=2533 x 38 x 361( −+x)16 59932=. Подставляя в (1), получаем:y ∈ [ 3; 9 3 / 4] .

В итогетоy ∈ [ 3; 9 3 / 4]2∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = ∫ x3y⋅43y ∈ [ 3; 9 3 / 4]+∞+∞12 ≤ x ≤ 3,Т.к.3= ϕ ( x) ⇒ при x ≥ 04.33 x3⋅ 1 dx =⋅44 333=219 3.1233 19 3 2319338361−) dx = ∫ (x 2 − ) 2 dx = ∫ (x 4 − x 2 +) dx =41216 2316 2393 211 722 3613 211 361 141(−+)= (−)== 0.3917 .16 59916 59360Ч_2_27_03Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей pξ ( x ) . Найтиплотность распределения вероятностейpη ( y ) случайной величины η = ϕ (ξ ) .1 π ,pξ ( x) = 0 ,x ∈ (−x ∈ (−π2π2π;2π;2),η=ξ .).Решение.Функция y = x = ϕ ( x)монотонна на интервале ( −∞; 0) и монотонна наинтервале (0; + ∞) .Поэтому воспользуемся формулойpη ( y ) = pξ (Ψ1 ( y )) ⋅ Ψ1 '( y ) + pξ (Ψ 2 ( y )) ⋅ Ψ 2 '( y ) ,(1)где x = Ψ1 ( y ) - функция, обратная функции y = x , x ∈ ( −∞; 0) , а x = Ψ 2 ( y ) обратная функция для y = x , x ∈ (0, + ∞) .

Находим x = Ψ1 ( y ) и x = Ψ 2 ( y ) :приx<0y = x = − x ⇒ x = − y = Ψ1 ( y ), Ψ1 '( y ) = −1 ;приx≥0y = x = x ⇒ x = y = Ψ 2 ( y ), Ψ 2 '( y ) = 1 .при этом y ≥ 0 .Получаем в итоге :а) при y ≤ 0pη ( y ) = 0 , т.к. pη ( y ) = Fη '( y ) , аFη ( y ) = ∑∫pξ ( x)dx, где ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенствоk ∆k ( y )ϕ ( x) < y . У нас ϕ ( x) = x ≥ 0 , поэтому при y ≤ 0 неравенство x < y не выполняется.Значит, Fη ( y ) = 0, pη ( y ) = 0 .b) при y ∈ ( 0, π/2 ) по формуле (1)с)приy≥( у насπ2y≥pη ( y ) =1π⋅ −1 +1π⋅1 =2π,pη ( y ) = 0 , т.к. неравенство ϕ ( x) < y ⇒ x < y выполняется всегдаπ2, x<π2).Значит, Fη ( y ) = 1 ⇒ pη ( y ) = Fη '( y ) = 0 .Плотность распределения случайной величины η равна: 2 ,pξ ( x) =  π 0 ,x ∈ (0;x ∈ (0;π2π2).)Ч_2_28_03По заданной плотности распределения p1 ( x) случайной величины ξ1 определитьфункцию распределения случайной величины ξ 2 = ϕ (ξ1 ) .Функция ξ 2 = ϕ (ξ1 ) заданаграфически.Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найтивыражение для плотности распределения p2 ( y ) случайной величины ξ 2 . 0.5 ,p1 ( x) =  0 ,x ∈ [−1;1].x ∈ [−1;1]Решение.Функция распределения F2 ( y ) случайной величины ξ 2 выражается через плотностьраспределения p1 ( x) случайной величины аргумента ξ1 :F2 ( y ) = ∑k∫∆k ( y )(1)p1 ( x) dxгде ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .

Суммирование вформуле (1) распространяется на все интервалы. 0 , ξ1 < −1Из условий примера следует, что ξ 2 =  2 , ξ1 ∈ [−1;1] . 0, ξ > 11Величина ξ 2 , очевидно, принимает значения только из отрезка [ 0;2]a) y < 0. Неравенство ϕ ( x) < y не выполняется. Поэтому F2 ( y ) = 0 .b) y=0. Тогда P (ξ 2 = 0) = 0 , т.к.

вне отрезка [-1;1] p1 ( x) = 0 .c) 0 < y ≤ 2. Тогда F2 ( y ) = P (ξ 2 < y ) = 0 .11d) y=2. Тогда P (ξ 2 = 2 ) = P ( −1 ≤ ξ1 ≤ 1) = ∫ 0,5dx = 0, 5 | = 1 = p1 .−1−1e) y>2. Тогда F2 ( y ) = 1 , т.к. неравенство ϕ ( x ) < y выполняется всегда .0 , y ≤ 2Таким образом F2 ( y ) = 1, y > 2График функции приведен на следующем рисункеЗапишем F2 ( y ) в виде:nF2 ( y ) = F%2 ( y ) + ∑ pk ⋅ η ( y − yk )(2)k =1где F%2 ( y ) - непрерывная функция, yk - точки разрыва функции F2 ( y ) , pk - скачки 1,функции в точках yk . При этом η ( y ) =  0,y>0y≤0, η ' ( y ) = δ ( y ) − дельта - функцияФормула (2) имеет вид : F2 ( y ) = F%2 ( y ) + 1 ⋅ η ( y − 2 ) = η ( y − 2 )Где напрерывная часть есть F% ( y ) = 0 .2nОтсюда по формуле p2 ( y ) = p% 2 ( y ) + ∑ pk ⋅ δ ( y − yk )k =1где p% 2 ( y ) = F% '2 ( y ) ,находим плотность распределения: p2 ( y ) = δ ( y − 2 )(3).