lek_06 (Лекции в PDF)

Лекция № 6Теория деформированного состояния. Понятие о тензоре деформаций, главные деформации. Обобщенный закон Гука для изотропного тела. Деформация объема притрехосном напряженном состоянии. Потенциальная энергия деформации. Потенциальная энергия изменения формы и объема.6.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформацииПод действием внешних сил элементы машин и конструкций изменяют своипервоначальные форму и размеры. Как правило, такие изменения невелики,но в ряде случаев могут препятствовать нормальной работе. Умение определять деформации, установление их допустимых величин имеют важное значение при проектировании и расчете конструкций.

Рассмотрение деформаций необходимо также для выяснения закона распределения напряжений вэлементах конструкций, при решении статически неопределимых задач, дляоценки работоспособности по условиям прочности.Рассмотрим особенности деформирования материала в окрестности некоторой точки A деформируемого тела. Вырежем около точки A внутри сплошного тела бесконечно малый параллелепипед. В процессе деформации тела точки выделенного элемента будут перемещаться, сам он – деформироваться, тоесть будут искажаться первоначально прямые углы между гранями и изменяться длины их ребер.Отношение изменения длины ребра параллелепипеда к первоначальной длине ребра определяет относительную линейную деформацию (εx, εy, εz) элемента вдоль соответствующей оси∆dx∆dy∆dzεx =;εy =;εz =.dxdydzИскажение первоначально прямого угла между ребрами элемента в плоскостях его граней определяет угол сдвига или угловую деформацию (γxy, γyz, γzx)в соответствующей плоскости, например, для плоскости xy (см.

рисунок)γ xy = α +β . Если угол ϕ=90o–(α+β) – острый, то угол сдвига считается положительным. Растяжение ребер отвечает положительным значениям εx, εy, εz.38Деформации элемента в трех ортогональных плоскостях представим в видематрицы11⎛⎞ε⋅γ⋅ γ xz ⎟xxy⎜22⎜1⎟1Tε = ⎜ ⋅ γ yxεy⋅ γ yz ⎟ ,2⎜2⎟11⎜⎜ ⋅ γ zx⋅ γ zyε z ⎟⎟2⎝2⎠которая, по аналогии с тензором напряжений, называется т е н з о р о м м а л ы х д е ф о р м а ц и й , или сокращенно – т е н з о р о м д е ф о р м а ц и й .Деформированное состояние в точке – это совокупность относительных ли-нейных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей,проведенных через данную точку.При этом можно сделать утверждение, что деформированное состояние в точке вполнеопределено, если задан тензор деформаций для этой точки.Аналогично напряженному состоянию можно указать такие три ортогональные направления (с индексами 1, 2, 3), называемые главными осями деформации, для которых угловые деформации равны нулю, при этом линейныедеформации принимают свои экстремальные значения (ε1 – максимум, ε3 –минимум, ε2 - минимакс), причем по алгебраической величинеε1 ≥ ε2 ≥ ε3 .Деформации ε1, ε2 ,ε3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига,называются главными деформациями в точке.Для главных направлений тензор деформаций получит наиболее удобныйвид⎛ ε1 0 0 ⎞Tε = ⎜ 0 ε 2 0 ⎟ .⎜⎟⎝ 0 0 ε3 ⎠Компоненты тензора деформаций при повороте осей изменяются совершенноаналогично компонентам тензора напряжений (по законам тензорного преобразования).

Так, при плоском напряженном состоянии деформации в некоторой плоскости на произвольной наклонной площадке можно выразить черезглавные деформации и угол наклона α следующим образом:ε α = ε1 ⋅ cos 2 α + ε 2 ⋅ sin 2 α;1ε −ε⋅ γ α = 1 2 ⋅ sin 2α.22Главные деформации можно выразить через произвольные деформации подвум взаимно перпендикулярным площадкам в виде:39εx + ε y221± ⋅ ( ε x − ε y ) + 4 ⋅ ( γ xy 2 ) ,22minа положение главных площадок будет задаваться углом α, который определяется из выражения:2 ⋅ ( 0,5 ⋅ γ αβ )tg2α = −.ε α − εβε max =6.2.

Обобщенный закон Гука при объемном напряженном состоянииИзучая простое растяжение-сжатие, мы выяснили, что относительная продольная деформацияσε= ,Eа относительная поперечная деформацияσε′ = −µ ⋅ .EЭти два равенства выражали закон Гука (зависимость между напряжениями идеформациями) при простом растяжении или сжатии, то есть при линейномнапряженном состоянии. Далее установим связь между напряжениями и деформациями в общем случае объемного напряженного состояния.Рассмотрим деформацию элемента тела, выбрав этот элемент в виде прямоугольного параллелепипеда размерами a×b×c, по граням которого действуютглавные напряжения σ1, σ2, σ3 (для вывода предполагаем, что все они положительны).

Вследствие деформации ребра элемента изменяют свою длину истановятся равными a+∆a; b+∆b; c+∆c.Величины∆a∆b∆c;ε2 =;ε3 =abcназываются г л а в н ы м и д е ф о р м а ц и я м и и представляют собой относительные удлинения в главных направлениях.Применяя принцип суперпозиции, деформацию ε1 можно представить следующим образом:ε1 =40ε1 = ε1′ + ε1′′ + ε1′′′ ,где ε1′ – относительное удлинение в направлении σ1, вызванное действиемтолько напряжений σ1 (при σ2=σ3=0); ε1′′ – относительное удлинение в направлении σ1, вызванное действием только напряжений σ2 (при σ1=σ3=0); ε1′′′– относительное удлинение в направлении σ1, вызванное действием тольконапряжений σ3 (при σ1=σ2=0).Поскольку деформации в направлении напряжения σ1 в данном случае являются продольными, а деформации в направлении напряжений σ2 и σ3 – поперечными (см.

рисунок), то, применяя формулы закона Гука для продольных ипоперечных деформаций при линейном напряженном состоянии, находим,чтоσσσε1′ = 1 ,ε1′′ = −µ ⋅ 2 ,ε1′′′ = −µ ⋅ 3 .EEEСложив эти величины, будем иметь1σσσε1 = 1 − µ ⋅ 2 − µ ⋅ 3 = ⋅ ⎡⎣σ1 − µ ⋅ ( σ 2 + σ3 ) ⎤⎦ .EEE EАналогично получим выражения и для двух других главных деформаций. Врезультате запишем обобщенный закон Гука для изотропного тела, то естьзависимость между линейными деформациями и главными напряжениями вобщем случае объемного напряженного состояния:1ε1 = ⋅ ⎡⎣σ1 − µ ⋅ ( σ 2 + σ3 ) ⎤⎦ ;E1ε 2 = ⋅ ⎡⎣σ 2 − µ ⋅ ( σ3 + σ1 ) ⎤⎦ ;E1ε3 = ⋅ ⎡⎣σ3 − µ ⋅ ( σ1 + σ 2 ) ⎤⎦ .EДанные выражения справедливы и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям:1ε x = ⋅ ⎡⎣σ x − µ ⋅ ( σ y + σ z ) ⎤⎦ ;E1ε y = ⋅ ⎡⎣σ y − µ ⋅ ( σ z + σ x ) ⎤⎦ ;E1ε z = ⋅ ⎡⎣σ z − µ ⋅ ( σ x + σ y ) ⎤⎦ .E41При этом угловые деформации на соответствующих площадках будут вычисляться какτ xyτ yzτγ xy =;γ yz =;γ zx = zx ,GGGгде G – модуль сдвига.Далее будет показано, что модуль сдвига G можно выразить через E и µ.

Следовательно,для и з о т р о п н о г о тела угловые деформации не влияют на линейные деформации инаоборот (однако, для анизотропного тела в общем случае это утверждение неверно).6.3. Объемная деформация при сложном напряженном состоянииУстановим связь между относительным изменением объема εV и главныминапряжениями. До деформации элемент занимал объем V0=a×b×c. В деформированном состоянии его объемV = ( a + ∆ a ) ⋅ ( b + ∆b ) ⋅ ( c + ∆ c ) =⎛ ∆a ⎞ ⎛ ∆b ⎞ ⎛ ∆c ⎞= a ⋅ b ⋅ c ⋅ ⎜1 +⎟ ⋅ ⎜1 +⎟ ⋅ ⎜1 +⎟=a ⎠ ⎝b ⎠ ⎝c ⎠⎝= V0 ⋅ (1 + ε1 ) ⋅ (1 + ε 2 ) ⋅ (1 + ε3 ) == V0 ⋅ (1 + ε1 + ε 2 + ε3 + ε1 ⋅ ε 2 + ε 2 ⋅ ε3 + ε 3 ⋅ ε1 + ε1 ⋅ ε 2 ⋅ ε 3 ) .Учитывая незначительную величину относительных деформаций по сравнению с единицей, последними четырьмя слагаемыми можем пренебречь, каквеличинами более высокого порядка малости.

Тогда относительное изменение объемаV − V0εV == ε1 + ε 2 + ε3 = 3 ⋅ ε0 ,V0ε +ε +εгде ε0 = 1 2 3 – средняя деформация в точке.3Выразив главные деформации через главные напряжения при помощи обобщенного закона Гука, получим1 − 2 ⋅µεV =⋅ ( σ1 + σ 2 + σ3 ) .EЕсли ввести среднее напряжение в точкеσ + σ 2 + σ3σ0 = 1,3то последнее равенство можно преобразовать до вида закона Гука для объемной деформацииσεV = 0 ,(6.1)KE– модуль объемной упругости.где K =3 ⋅ (1-2 ⋅ µ )426.4. Потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянииДо сих пор для анализа напряженного и деформированного состояния элементов конструкции нами рассматривались д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е м е т о д ы , основанные на статических, геометрических и физических соотношениях, описывающих поведение, «условия жизни» частицы (малого элемента)материала.

Существуют и другие методы анализа (э н е р г е т и ч е с к и е м е т о д ы ), основанные на изучении общих количественных характеристик конструкции, таких как энергия деформации, работа внешних сил при деформации конструкции в целом и т. п. Далее получим формулы для потенциальнойэнергии деформации, часто используемые в таких методах.Потенциальная энергия деформации (U) – это энергия, которая накапливает-ся в теле при его упругой деформации.Удельная потенциальная энергия деформации (u) – это величина потенци-альной энергии деформации, приходящаяся на единицу объема тела.В соответствии с законом сохранения энергии без учета ее рассеивания (диссипации), потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил, затраченной при упругой деформации тела:U = AF .Тогда в случае простого растяжения (сжатия) потенциальную энергию деформации можно определить как∆lU = ∫ F ⋅ d ( ∆l ) ,0где F и ∆l – значения усилия и удлинения в промежуточный момент нагружения.Учитывая, что на упругом участке усилие прямо пропорционально удлинению растягиваемого стержня (по законуГука), легко найти данный интеграл (площадь треугольника под кривой деформирования на рисунке):F ⋅ ∆l.U=2Удельная потенциальная энергияσ⋅εU F ⋅ ∆l 1 F ∆l 1u=.= ⋅ ⋅ = ⋅σ⋅ε⇒u= =22V 2⋅ A⋅l 2 A lОбобщая эту формулу на случай одновременного действия трех главных напряжений при объемном напряженном состоянии, то есть, суммируя потенциальную энергию деформации от каждого напряжения, получимσ ⋅ε σ ⋅ε σ ⋅εu= 1 1+ 2 2 + 3 3.22243Подставляя сюда выражения деформаций из обобщенного закона Гука, получим выражение для удельной потенциальной энергии через главные напряжения1⋅ ⎡⎣σ12 + σ 22 + σ32 − 2 ⋅ µ ⋅ ( σ1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ3 + σ3 ⋅ σ1 ) ⎤⎦ .u=2⋅ EПри дальнейшем рассмотрении вопроса о прочности материала при объемном напряженном состоянии удобно рассматривать удельную потенциальную энергию как состоящую из двух частей:1) удельной потенциальной энергии изменения объема uv, то есть энергии,накапливаемой за счет изменения объема V рассматриваемого элементарногообъема (одинакового изменения всех его размеров без искажения его формы);2) удельной потенциальной энергии формоизменения uф, то есть энергии, накапливаемой за счет изменения формы элементарного объема (расходуемойна превращение кубика в параллелепипед)u = uv + uф .Подсчитаем величину обеих составляющих удельной потенциальной энергии.Рассмотрим два элементарных объема А и А0, по граням первого из которыхдействуют произвольные главные напряжения σ1, σ2, σ3, а по граням второго– три главных растягивающих напряжения, равные по величине среднемунапряжению σ0=(σ1+σ2+σ3)/3.Удельная потенциальная энергия деформации элемента в первом состоянии (А) равна1⋅ ⎡⎣σ12 + σ 22 + σ32 − 2 ⋅ µ ⋅ ( σ1 ⋅ σ 2 + σ 2 ⋅ σ3 + σ3 ⋅ σ1 ) ⎤⎦ .u=2⋅ EУдельная потенциальная энергия деформации элемента во втором состоянии (А0) равна3 ⋅ (1 − 2 ⋅µ ) 21⋅ ⎡⎣σ02 + σ02 + σ02 − 2 ⋅µ ⋅ ( σ0 ⋅ σ0 + σ0 ⋅ σ0 + σ0 ⋅ σ0 ) ⎤⎦ =⋅ σ0 .u0 =2⋅ E2⋅ EОчевидно, что деформация второго состояния А0 проходит без искаженияформы, так как действующие по его граням одинаковые главные напряженияσ0 вызывают одинаковое изменение размеров по всем направлениям, поэтому44потенциальная энергия формоизменения в этом случае равна нулю uф0 = 0 .Значит потенциальная энергия изменения объема в этом случае3 ⋅ (1 − 2 ⋅ µ ) 2σ02uV0 =⋅ σ0 =.2⋅ E2⋅ KНетрудно убедиться, что, согласно (6.1), относительное изменение объемаобоих кубиков одинаково, то естьσεV = εV0 = 0 .KСледовательно, потенциальная энергия изменения объема у них также одинакова:uV = uV0 .Отсюда3 ⋅ (1 − 2 ⋅µ ) ( σ1 + σ 2 + σ3 )σ02⋅=⋅uV =,2⋅ K2⋅ E9окончательно запишем формулу для определения удельной потенциальнойэнергии изменения объема1 − 2 ⋅µ2uV =⋅ ( σ1 + σ 2 + σ3 ) .6⋅ E2Теперь найдем удельную потенциальную энергию формоизмененияuф = u − uV .Подставляя вместо u и uV их выражения через главные напряжения, получим1+ µ ⎡222⋅ ( σ1 − σ2 ) + ( σ2 − σ3 ) + ( σ3 − σ1 ) ⎤ .uф =⎦6⋅ E ⎣45.