1586687751-59d849f1a529a8c8a48411ce1e043253 (Вычеты. Особые точки)

Лекция 6Вычеты. Особые точки.Особые точки – это точки, в которыхтеряет аналитичность. Еслитолько одна особая точка – , то точка – изолированная особая точка.: в нейИзолированные собые точкиУстранимаяПолюсВсе функции, содержащие в себе частиСущественно особаяточкав точке– существенно особые точки.Пример 1.Вычет.где контур L – кусочно-гладкий контур, лежащий в кольце аналитичности0 za  r.Основная теорема Коши о вычетах.Док-во:По теореме Коши для многосвязной области:Теорема о равенствеДок-во:Устранимая особая точка.Полюс.Пример 2.Вычет в полюсе.Домножим наПродифференцируем (k-1) раз:Для существенно особых точекВычет в бесконечно удаленной точке.L – кусочно-гладкий контур, охватывающий все особые точкиТеорема о сумме вычетов.Док-во:Выберем замкнутый контур так, чтобы внутрь его попали все особые точки f(z).Вычисление контурных интегралов с помощью основной теоремы о вычетах.ПримерПримерПример 5.

Определить вычеты в особых точках, включая бесконечно удаленную.1(1) n1z 1  z 2 n 0 (2n)! z 2 n n 0 z 2 ncos нет нечетных степеней в ряде  Re s f ( z )  c1  0 .z 0– полюс I порядка,– полюс I порядка1z 0lim2z  1  zcosб.у. точка – устранимая особая точка.Вычисление несобственных интегралов с помощью вычета.CR,где,f ( z ) - аналитическое продолжение f ( x) на комплексной плоскости.lim  f ( z )dz  0 в случае, если f ( z ) отвечает следующим условиям:R  CRf ( x)dx  limR m f ( z)dz  2 i  Re s f ( z) по всем особым точкам, попавшим вLk 1z  akверхнюю полуплоскость.илиВведемПример 6..Пример 7.В верхней полуплоскости z=i.