Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (Решение экзаменационных задач за 11 класс)

Н.В. Дорофеев, А.А. Сапожников,Е.С. Шубинк учебному изданию «Сборник заданий дляпроведения письменного экзаменапо математике (курс А)и алгебре и началам анализа (курс В)за курс средней школы. 11 класс /Г.В. Дорофеев, Г.К. Муравин, Е.А. Седова. —М.: Дрофа»Раздел 1. Задания 1–5 для экзаменов«Математика» и «Алгебра и начало анализа»Вариант 1.х − 4x2х(4 x − 1)1.>0;<0.x −1x −1х(4 x − 1). f(х) определена на (–∞; 1)∪(1; ∞);Пусть f(х)=x −1f(x) = 0 при х = 0, х=х∈(−∞; 0)∪(Ответ: (−∞; 0)∪(2.

log2(2х−1)=3;1;1).4{1.41;1)4{2 x − 1 > 0, x > 0,5х=4,5. Ответ: 4,5.2 x − 1 = 8; x = 4,5;π1; х=(−1)k+1 6 +πk, k∈Z.27π 11πи.Из этих корней промежутку [0,2π] принадлежат только664. а) D(f)=[−2,5; 6];б) функция возрастает на промежутке [−2,5; −0,5];функция убывает на промежутке [−0,5; 6];в) f(x)=0 при х=−1,8 и х=1,5; г) max f(x)=3,5, min f(x)=f(6)=−5,5;д) −4<f(x)<2 при х∈(−2,4; −1,4)∪(0,8; 5,2).x5x3x5+3+5х+С; F(х)=+х3+5х+С.5. f(x)=х4+3х2+5. F(х)=5353. 2sinх+1=0, [0; 2π]. 2sinх=−1; sinх=−Ответ: F(х)=x5+х3+5х+С.5Вариант 2.( x − 6)( x − 8)<0.2x − 7( x − 6)( x − 8)Пусть f(x) =.2x − 71.2f(x) определена на (−∞; 3,5)∪(3,5; ∞); f(x) =0 при х=6, х=8.х∈(−∞; 3,5)∪(6; 8).

Ответ: (−∞; 3,5)∪(6; 8).2. 5х+1+5х+5х−1=31; 6,2⋅5х=31; 5х=5; х=1. Ответ: 1.ππ1 ππ−х=(−1)k +πk, k∈Z;3. 2sin( −х)=1; sin( −х)= ;23336π ππ πx=(−1)k+1 + −πk, k∈Z. Ответ: (−1)k+1 + −πk, k∈Z.6 36 34. а) D(f)=[−3,5; 4,5]; f(x)=0 при х=1,2 и х=3,7;в) функция возрастает на промежутках [−3,5 −1] и [2,5; 4,5];функция убывает на промежутке [−1; 2,5];г) max f(x)=f(4,5)=6, min f(x)=f(2,5)=−2,5;д) f(x) <−2 при −1,9<х<3.15. f(x)=х3−3х2+х−1; F(х)= х(х3−4х2+2х−4)+C.4132х(х −4х +2х−4)+C.Ответ:4Вариант 3.x −4( x − 2)( x + 2)<0;<0.2x + 12x + 1( x − 2)( x + 2).Пусть f(x)=2x + 1f(x) определена на (−∞; −0,5)∪(−0,5; ∞); f(x)=0 при х=−2, х=2.х∈(−∞; −2)∪(−0,5; 2).

Ответ: (−∞; −2)∪(−0,5; 2).11; (33)1−х=3−4; 33−3х=3−4; 3−3х=−4; 3х=7; х=2 .2. 271−х=8131Ответ: 2 .31.23. cos(2π−x)+sin(2π+x)= 2 ; cos x+cos x= 2 ; cosx=;22π+2πk, k∈Z.4πОтвет: ± +2πk, k∈Z.4x=±34.5. f(x)=ех(х2+1); f′(x) = (ех)′(х2+1) + ех(х2+1)′ = ех(х2+1) + 2хех == ех(х2+2х+1) =ех(х+1)2. Ответ: ех(х+1)2.Вариант 4.x2 + 2x − 3( x + 3)( x − 1)>0;>0.2x − 32x − 3( x + 3)( x − 1).Пусть f(x)=2x − 3f(x) определена на (−∞; 1,5)∪(1,5; ∞); f(x)=0 при х=−3, х=1.х∈(−3; 1)∪(1,5; ∞). Ответ: (−3; 1)∪(1,5; ∞).2.

log0,5(2−x)>−l; log0,5 (2−х)> log0,52;1.(у =log0,5t, t > 0 − функция убывающая);{{2 − x > 0, x < 2,0<х<2.2 − x < 2; x > 0;Ответ: (0; 2).3. (l+tgα)(l+ctgα)−1=2;sin α cosα1(sinα + cosα)212sinαcosα−===2.sinαcosαsinα cosαsinα cosα sinαcosα4. Угловой коэффициент k касательной, проведенной к графикуфункции f(x)=3х3+2х−5 в точке с абсциссой х=2, есть k=f′(2):f′(x)=9х2+ 2, f′(2)=9⋅4+2=38; k=38. Ответ: 38.x35. f(x)= 4 +6х2; F(x) = 4х + 6·+ С; F(x) = 4х + 2х3 + С;3х = 2; F(2) = 4 · 2 + 2 · 23 + С = 24 + С; 24 + С < 0; С < −24.Например, С = −25, тогда F(x) = 4х + 2х·3 − 25.Ответ: F(x) = 4х + 2х3 − 25.(l+tgα)(l+ctgα)−4Вариант 5.x ≠ 1,2 x + 1 ⎧⎪1. у=lg; ⎨ 2x + 1> 0.x −1 ⎪⎩ x −12x + 1> 0.x −1Решим неравенство11)∪(1; ∞).

Ответ: (−∞; − )∪(1; ∞)..222х+12х+1 12х+1−12. 8 >0,125; 8 > ; 8 >8 ;8(у = 8t − функция возрастающая); 2х+1 >−1, х>−1. Ответ: (−1; ∞).(−∞; −π− 2)+ 2 =0; 2cosх + 2 = 0; cos х =,223π3π+ 2πk, k ∈Z. Ответ: ±+ 2πk, k ∈Z.х=±44114. f(x) = 2x2 + tg х; f′(x) = 4х +. Ответ: 4х +.cos 2 xcos 2 x22x3 5 x25. S= ∫ ( x 2 + 5 x + 6)dx =(++6х)=−123−13. 2sin(х+=(81 5+10+12)−(− + −6)=28,5. Ответ: 28,5.33 21.54 − 6 x6( x − 9)<0;>0.4x + 74x + 7Вариант 6.226( x 2 − 9)33определена на (−∞; −1 )∪(−1 ; ∞);4x + 7443f(x) = 0 при х = −3 и х = 3. х ∈ (−3; −1 )∪(3; ∞).43Ответ: х ∈ (−3; −1 )∪(3; ∞).41 2−х18хх2. 3 −( ) =24; 3 −3х−2=24, 3х− ⋅3х=24, ⋅3х=24, 3х=33, х=3;399Пусть f(x)=5или 3х−2(32−1)=24; 3х−2⋅8=24; 3х−2=3; х−2=1; х=3.

Ответ: 3.π3. cos х +cos ( −х) +cos (π + х) = 0; cos х + sin х − cos х = 0;2sin х = 0, х = πk, k ∈ Ζ. Ответ: πk, k ∈ Ζ.4.5. Абсциссы точек касания найдем из уравнения f′(x0)=0:5х04−10х0=0; 5х0(х03−2)=0; х0=0 или х0= 3 2 .Найдем ординаты точек касания: f(0)=1, f( 3 2 )=( 3 2 )5−–5( 3 2 )2+1)=( 3 2 )2( 3 23 −5)+1= 3 4 (2−5)+1=1−3 3 4 .Имеем А(0; 1), В( 3 2 ; 1−3 3 4 ). Ответ: (0; 1), ( 3 2 ; 1−3 3 4 ).Вариант 7.392227 33−) 43(32 ) 223−1−(=+ (33 ) 3 − (2−4 ) 4 =33+32−23=28.162.

log4(7 −х) < 3. Неравенство равносильно системе:⎧7 − x > 0, x < 7,−57<x<7. Ответ: (−57; 7).⎨3⎩7 − x < 4 ; x > −57;1.+{3. (sinх+cosх)2=1+sinx cosx; sin2x+2sinx cosx+cos2х=1 + sin х cos х;1πsin х cos х = 0;sin2x = 0; sin 2x = 0; 2х =πn, n∈Z, x= n, n∈Z.22⎧x = 0⎪π⎪x =π⎧2⎪⎪ х = n, n ∋ z⇔ ⎨x = π⎨2⎪3π⎩⎪0 ≤ x ≤ 2π⎪x =2⎪⎪⎩ x = 2π6Ответ: 0;π2; π;3π; 2π.24. а)D(f)=[−3,5; 6];б) −2,5 ≤f(х) ≤ 1,5 при x∈ [−3,5; −2,7] и [−0,5; 0,8]∪[3; 3,75];в) f′(x) > 0 – (−3,5; −1,5) и (2; 6); f′(x) < 0 – x∈(−1,5; 2);г) xmax=−1,5, xmin=2; д) min f(x) =f(2)=−3,5; max f(x) =f(6) = 5,5.5.

F′(x)=(x3–3x+1)′=3x2-3=3(x2–1)=f(x). Ответ: является.Вариант 8.1. 251,5+(0,25)−O,5−810,75;3(52)1,5 + (0,52)−0,5 − (34 ) 4 = 53 + 2 − 27 = 100; Ответ: 100.11⎧ 4 − 3x > 0,2. log9(4−3x)>0,5; ⎨. Ответ: (−∞; ).0,5 4−3x>3; x<33⎩ 4 − 3x > 9 ;3. sin(π2Ответ: ±−x)=sin (−π4); cos x = −23π+ 2πk, k∈Z., x=±243π+ 2πk, k∈Z.44.5. S=5t−0,5t2; v=S′(t), S′= 5 − t, v(2) = 5 − 2 = 3 (м/с). Ответ: 3 м/с.Вариант 9.( x + 5)( x − 7)>0.3x − 1( x + 5)( x − 7);Пусть f(x) =3x − 111f(x) определена на (−∞; )∪( ; ∞), f(x) = 0 при x = −5 и x = 7.3311x∈(−5; )∪ (7; ∞).

Ответ: (−5; )∪ (7; ∞).331.72. 3x+2 − 5⋅3х = 36; 9 · 3x − 5·3x = 36; 4 · 3x = 36, 3x = 32, x = 2.Ответ: 2.3. (sinx + 1)2 = sin2 x + 1; sin2 x + 2 sin x + 1 = sin2 x + 1; 2 sin x = 0;x = πn, n∈Ζ. Если 0 ≤ πn ≤ 2π, το 0 ≤ n ≤2, тогда x = 0; x = π; x=2π.Ответ: 0; π; 2π.4.5. f(х)=х2−5; F(x)=F(x)=x333−5x+C. 4=−5·3+С, 4=−6+С, С=10,33x3x3−5x+ 10. Ответ:−5x+ 10.33Вариант 10.1.2x + 8x2 x(4 x + 1)<0. Пусть f(x) =;2x − 12x − 12f(x) − определена на (−∞; 0,5)∪(0,5; ∞); f(x)=0, при x= −11)∪(0;)4211Ответ: (−∞; − )∪(0;).42x∈(−∞; −+2. log7(x−1)≤log72+log73;{log 7 ( x − 1) ≤ log 7 6,x − 1 > 0;1и x=0.4{x − 1 ≤ 6,x > 1;{x ≤ 7,1<х≤7.

Ответ: (l; 7].x > 1;23π+2πk, k∈Z., x=±243π 5π35и∈ [0,2π]. Ответ:π;π.Из этих корней только корни444 43. 2cos x + 2 =0; cos x = −84. a) D(f)=[−3;5,5]; б) у= 0 при x = 0,7 и x =4,3;в) функция возрастает на промежутках [−1,5; −0,5] и [2; 5,5];функция убывает на промежутках [−3; −1,5] и [−0,5; 2];г) max f{x)=f(−3) = 5,5 ; min f(x)=f(2)=−2,5;д) касательные параллельны оси абсцисс в точках экстремума:(−1,5; 3) и (2; −2,5).5. у = 2x3 − 3x2 − 36x;y′=6x2−6x−36; 6x2−6x−36>0 | : 6;x2 − x − 6 > 0; (x + 2)(x − 3) > 0;Ответ: возрастает на (−∞; −2] и на [3; ∞).Вариант 11.8x2 − 22(4 x 2 − 1)1.>0;<0.3− xx−32(4 x 2 − 1);x−3f(x) − определена на (−∞; 3)∪(3; ∞).

f(x)=0 при x = −0,5 и x = 0,5.x∈(−∞;−0,5)∪(0,5;3). Ответ: (−∞;−0,5)∪(0,5;3).2. 36⋅2163х+1=1; 62⋅63(3х+1)=1; 62+9х+3=1;559х+5=0, х=− . Ответ: − .99Пусть f(x)=3. sin (π + x) − cos (π2−x) = 3 ; −sinx−sinx= 3 ;3ππ, x=(−1)k+1 +πk, k∈Z; Ответ: (−1)k+1 +πk, k∈Z.33211 224. f(х) = x−lnx; f′(x)=1− ; k=f(3)=1− = . Ответ:.3 33xsinx=−−15. S= ∫ (x2 − 6x + 8)dx = (−2−1x3− 3x 2 + 8 x) =3−2181= (− −3−8)−(− −12−16)=19 .333Ответ: 191.3Вариант 12.1.8x − 2 x2 x(4 x − 1)2 x(4 x − 1)>0;< 0.

Пусть f(x) =;3 − 6x3(2 x − 1)3(2 x − 1)29f(х) определена на (−∞; 0,5)∪(0,5; ∞); f(x) = 0 при x = 0; х =Решим неравенство методом интервалов:⎛1 1⎞Ответ: x∈ (−∞; 0) ∪ ⎜ ; ⎟ .⎝4 2⎠2. 21og32−log3(x−1)=1+log35; x−1 > 0;4=log315;log34−log3(x−1)= log33 +log35; log3x −1444=15, 15x−15=4, x=1. Ответ: 1.x −11515xx3 xπ− 3 =0; cos =,=± +2πk, k∈Z;444622π2π+8πk, k∈Z. Ответ: x=±+8πk, k∈Z.x=±334.3. 2cos′1 3⎛1⎞x +5x2−1; f′(x)= ⎜ х3 + 5 х 2 − 1⎟ = х 2 + 10 х ;3⎝3⎠22x +10x=0; x1=0, x2=−10. y1 =−1, y2=165 .32Ответ: (0; −1), (−10; 165 ).35.

f(x)=101.4Вариант 13.x−2x − 2 ⎧⎪> 0,1. y=lg; ⎨ 4x − 14 x − 1 ⎪4 x − 1 ≠ 0⎩Ответ: (−∞; ¼)∪(2; ∞).33. Ответ: (−∞; − ).44111223. 4cos x−1 = 0; 2cos x = ; 1+cos 2x = ; cos2x =− ;2222ππ2x = ± π + 2πk, k∈Ζ; x = ± + πk, k∈Z. Ответ: ± + πk, k∈Z.3334. а) D(f)=[−3,5; 6]; 6) x =−1,5;в) f′(x)<0 при х∈(−3,5; −1,5) и x∈(2,5;6); f′(x)>0 при x∈(−1,5; 2,5);г) max f(x)=f(2,5)=4,5; min f(x)=f(−1,5)=−3; д) в точке (2,5; 4,5).5. f(x)=x3−3x2+x−1;1x4x2F(х)=−x3+−x+C= (x4−4x3+2x2−4x)+C.4421 432(x −4x +2x −4x)+C.Ответ:42. 1002x+1<0,1; 102(2x+1)<10−1; 4x·+2<−1, х<−Вариант 14.1.

91,5 − 810,5 − (0,5)−2 = (32)1,5 − (92)0,5 − 22 = 27 − 9 − 4 = 14.Ответ: 14.2. log2(l−2x)<0;3. sin x=−{1 − 2 x < 1,1 − 2 x > 0;x > 0,0<x<0,5. Ответ: (0; 0,5).x < 0,5;153π, π<x<;172С учетом условия π < x <cos x=− 1 − (−Ответ: −{3π: cos x = − 1 − sin 2 x ;215 232 28⋅=−.) ; cos x=−171717 178.17114.5. f(x) =4x3−x2+2; F(x)=x4−F(1)=1−x3+2x+C;3212+2+C=2 +C; F(1)<0, при С < −2 , например,333С = −3, т.е.