shestakov-all-gdz-2004 (Звавич - Шестаков)

А.В. Морозов, А.С. Рылов,А.Н. Филипповк сборнику «Алгебра и начала анализа: Сборникзадач для подготовки и проведения итоговойаттестации за курс средней школы /И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич, Б.П. Пигарев и др.;Под ред. С.А. Шестакова — 2-е изд., испр. —М: Внешсигма-М, 2004»Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений§ 1. Степень с натуральным показателемУровень А.1.1.А01.50⎛ 1⎞⎛ 1⎞ 13= 1,98 :1,1 + (−0,592) ⋅=37⎝ 2⎠⎝ 4⎠ 37198 10 592 50 18 16=⋅ −⋅= −= 1;100 11 1000 37 10 20100⎛ 3⎞⎛ 1⎞ 21б) ⎜1 + 0,91⎟ :1, 4 + ⎜ 1 − 1,911⎟ ⋅1 = 2, 66 :1, 4 + (−0,711) ⋅=79⎝ 4⎠⎝ 5⎠ 79266 10 711 100 19 9⋅ −⋅= − = 1.=100 14 1000 79 10 10а) ⎜ 3 − 1,52 ⎟ :1,1 + ⎜ 1 − 1,842 ⎟ ⋅11.1.А02.Р (1) − Р (−1) 1 + 2 + 3 + ...

+ 11 − (1 − 2 + 3 − 4 + ... + 9 − 10 + 11)==10102 ⋅ (2 + 4 + 6 + 8 + 10) 60== 6;=1010Р(1) − Р(−1) 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 27 − (3 − 5 + 7 − 9 + ... + 23 − 25 + 27)б)==12122 ⋅ (5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25) 180=== 15.1212а)1.1.А03.⎛ 3⎝ 4⎞⎠1010= 1, 44 :1, 2 + 0, 783 ⋅ =8787⎞10а) ⎜1 + 1, 44 − 1,75 ⎟ :1, 2 + (9,1 − 8,317) ⋅=1,2+0,09=1,29;⎛ 110б) ⎜1 + 1, 21 − 1, 25 ⎟ :1,1 + (9, 7 − 9, 416) ⋅ = 1, 21:1,1 + 0, 284 ⋅ =7171⎝ 4⎠= 1,1 + 0, 04 = 1,14 .1.1.А04.а)Р3 + Q 3P3 − Q3( P + Q )( P 2 − PQ + Q 2 )+ 2=+22P − PQ + QP + PQ + Q( P 2 − PQ + Q 2 )2( P − Q)( P 2 + PQ + Q 2 )= ( P + Q) + ( P − Q) = 2P = 2 ⋅ (16 x 2 − 24 x + 9) =( P 2 + PQ + Q 2 )933⎛⎞= 2 ⋅ ⎜16 ⋅ − 24 ⋅ + 9 ⎟ = 2 ⋅ (9 − 18 + 9) = 0,при x = 0,75 = ;44⎝ 16⎠+P3 + Q3P3 − Q3+= ( P + Q) + ( P − Q) = 2 P =P 2 − PQ + Q 2 P 2 + PQ + Q 2⎛255⎞= 2 ⋅ (16 x 2 + 40 x + 25) = 2 ⋅ ⎜ 16 ⋅ + 40 ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ + 25 ⎟ =16⎝ 4⎠⎝⎠б)= 2 ⋅ (25 − 50 + 25) = 0,2при х = −1, 25 = −5.41.1.А05.а)3 − 5 x1 3 − 5 x2 3 − 5 x1 + 3 − 5 x2 6 − 5( x2 + x1 ) 6 − 5 ⋅ (−2)+====x1 + x2 x2 + x1x2 + x1x2 + x1−2=–8, так как х1+х2=–2 по теореме Виета;б)5 + 2 х1 5 + 2 x2 10 + 2( x1 + x2 ) 10 + 2 ⋅ 20 50+==== 2,5 ,x1 + x2 x2 + x1x2 + x12020так как х1+х2=20 по теореме Виета.1.1.А06.5 − 2u 5 + 4v 5v − 2uv + 5u + 4uv 5(u + v) + 2 ⋅ uv+===uvuvuv⎛ 2⎞⎜− ⎟u+v15⎠+ 2 = 5⋅ ⎝+ 2 = 5 ⋅ + 2 = 4,5 ,=5uv2⎛ 4⎞⎜− ⎟⎝ 5⎠24так как u+v= − , а uv= − по теореме Виета;55а)53 + 5u 3 + 4v 3v + 5uv + 3u + 4uv 3(u + v)+==+ 9 = 3⋅ 3 + 9 =б)uvuvuv⎛ 4⎞⎜− ⎟⎝ 3⎠152154= − + 9 = = 5, 25 , так как u+v= , а uv=– по теореме Виета.4433Уровень В.1.1.В01.а)vu 3 − uv3 uv(u 2 − v 2 ) uv(u − v)(u + v)=== −uv(u + v) =v−uv−uv−u=–(–3) ⋅ 6=18, так как u+v=6, а uv=–3 по теореме Виета;б)vu 3 − uv3= −uv(u + v) = −(−5) ⋅ 2 = 10 по теореме Виета.v −u1.1.В02.u vu 2 + v2u 2 + v 2 + 2uv(u + v)2+ +4 =+4=+2=+2=v uuvuvuv25253=+ 2 = − + 2 = − , так как u+v=–5 и uv=–11;−111111u vu 2 + v2u 2 + v 2 + 2uv(u + v) 2б) + + 12 =+ 2 + 10 =+ 10 =+ 10 =v uuvuvuv100100501=+ 10 = −+ 10 ==3 ,−1515153а)так как u+v=10 и uv=–15.31.1.В03.2⎛ 4 3⎞48⎜⎜ − 5 ⎟⎟uv−uv(uv)(u−v)(uv)4⎝⎠а)==== 25 = ,221212(−)(+)+5uvuvuvu −v55124 3так как u+v= , а uv=–;553 22 3222⎛ 10 ⎞⎜−⎟u 3v 2 − u 2v3 (uv) 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠б)===224u+vu −v3109 = 10 = 5 , так как u+v= 4 и uv=– 10 .4 12 63331.1.В04.а)Q( x)( x 2 − 3) 2 ( x 2 + 3) 2− P ( x) =– (x2 – 3)2 = (x2 + 3)2 – (x2 – 3)2 =P( x)( x 2 − 3)2= 2 ⋅ 6x2 = 12x2 = 1,08, при х=–0,3б)Q( x)( x 4 − 4) 2( x 2 − 2) 2 ( x 2 + 2) 2− P( x) = 4− ( x 4 − 4 x 2 + 4) =−2P ( x)x − 4x + 4( x 2 − 2) 2– ( x 2 − 2) 2 = ( x 2 + 2) 2 − ( x 2 − 2)2 = 8 x 2 = 8 ⋅ (−0,7) 2 = 3,92 , при х=–0,7.1.1.В05.а) P2(Q(x))–Q2(P(x))=(P(Q(x))–Q(P(x))·(P(Q(x))+Q(P(x)))=⎛⎝= ⎜ 5Q( x) − 1 −⎛⎝= ⎜ x +1 −1−P( x) + 1 ⎞⎛Р( x) + 1 ⎞⎟⎜ 5Q( x) − 1 +⎟=5 ⎠⎝5 ⎠5 x ⎞⎛5x ⎞⎟⎜ x + 1 − 1 + ⎟ = 0 ⋅ 2 x = 0 , при х=117,399;5 ⎠⎝5 ⎠6⎛ P( x) + 1 ⎞66⎟ = x –x =0, при х=117,277.5 ⎠⎝б) P6(Q(x))–Q6(P(x))=(5Q(x)–1)6– ⎜1.1.В06.а) (1+3x+2x2)+(1+4x+2x2)+(1+5x+2x2)+…+(1+17х+2х2)=15·2x2+15 ⋅ 20−(3 + 4 + 5 + ...

+ 17)20=− 2 =−= −5;+(3+4+5+…+17)x+15, так что х1+х2=2 ⋅152 ⋅154б) (2+3х+х2)+(2+5х+х2)+(2+7х+х2)+…+(2+27х+х2)==13·х2+(3+5+7+…+27)х+13·2, так что13 ⋅ 30−(3 + 5 + 7 + ... + 27)30= − 2 = − = −15.х1+х2=131321.1.В07.2⎛ 4t 2(t 2 + 1) 2 ⎞ (−t 4 + 2t 2 − 1) 2 (t 2 − 1) 4==1;а) p=(7x2–3y2)2= ⎜−⎟ =2 2(1 − t 2 ) 4(1 − t 2 ) 4(1 − t 2 ) 2 ⎠⎝ (1 − t )42⎛ 4t 2(t 2 + 1) 2 ⎞ (−t 4 + 2t 2 − 1) 2 (t 2 − 1) 4б) p=(5x2–6y2)2= ⎜==1.−⎟ =2 2(1 − t 2 ) 2 ⎠(1 − t 2 ) 4(1 − t 2 ) 4⎝ (1 − t )1.1.В08.а) р=4х4–12х2у2+9у4=(2х2–3у2)2=⎛ 2t t 2 + 1 ⎞+⎟⎟⎝1− t 1− t ⎠2= ⎜⎜⎛ (t + 1) 2 ⎞⎟⎟⎝ 1− t ⎠= ⎜⎜2( 2х +3у2⎛ 2t t 2 + 1 ⎞ ⎛ t 2 + 2t + 1 ⎞⋅ ⎜⎜−⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎝ 1− t 1− t ⎠ ⎝ 1− t ⎠2)(2)22х − 3у =2⎛ t 2 − 2t + 1 ⎞⋅ ⎜⎜⎟⎟ =⎝ t −1 ⎠2⎛ (t − 1) 2 ⎞(1 + t )4 ⋅ (t − 1)4⋅ ⎜⎜= (t + 1)4 ;⎟⎟ =(t − 1) 4⎝ t −1 ⎠б) р=25х4–60х2у2+36у4=(5х2–6у2)2=⎛ 2t t 2 + 1 ⎞+⎟⎟⎝ 1− t 1− t ⎠= ⎜⎜2(5х − 6 у2⎛ 2t t 2 + 1 ⎞ ⎛ (t − 1)2 ⎞⋅ ⎜⎜−⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟⎝ 1− t 1− t ⎠ ⎝ t −1 ⎠2)(25х + 6 у)2=2⎛ (t + 1) 2 ⎞4⋅ ⎜⎜⎟⎟ = (t + 1) .1−t⎝⎠1.1.В09.а) р=49х2–42ху+9у2+42х–18у–1=(7х–3у)2+6(7х–3у)–1=(–1)2+6(–1)–1=–6, при 7х–3у=–1;б) р=81х2–36ху+4у2+9х–2у+5=(9х–2у)2+(9х–2у)+5=32+3+5=17,при 9х–2у=3.1.1.В10.⎛1⎞⎝ ⎠2⎛ 5⎞⎝⎠а) 5uv+2(u2+v2)=2(u2+v2+2uv)+uv=2(u+v)2+uv=2· ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ =55=223−1 = −= −0,92;2525б) 2uv+3(u2+v2)=3(u2+v2+2uv)–4uv=3(u+v)2–4uv=⎛ 3⎞2⎛ 1⎞27447= 1,88.=3· ⎜ − ⎟ − 4 ⋅ ⎜ − ⎟ = + =⎝ 5 ⎠ 25 5 25⎝ 5⎠1.1.В11.442222а) u − v − 4 = (u − v )(u + v ) − 4 = u 2 + v 2 − 4 = (u + v)2 − 2uv =2222u −v(u − v )225⎛5⎞⎛ 4⎞= ⎜ ⎟ − 2⋅⎜ − ⎟ − 4 == 6, 25;4⎝2⎠⎝ 2⎠442222б) u − v − 5 = (u − v )(u + v ) − 5 = u 2 + v 2 − 5(u + v)2 − 2uv − 5 =u 2 − v2(u 2 − v 2 )249 5 9⎛7⎞⎛ 5⎞= ⎜ ⎟ − 2⋅⎜ − ⎟ − 5 =− = .16 2 16⎝4⎠⎝ 4⎠1.1.В12.а)=u vu 2 + v2(u + v) 2 − 2uv(u + v)2+ + 12 =+ 12 =+ 12 =+ 10 =v uuvuvuv(−7) 2−5 17+ 10 =−49 17−49 17 + 850+ 10 =;85855u vu 2 + v2(u + v)2 − 2uv(u + v) 2+ +4 =+4=+4=+2=v uuvuvuvб)(−6)2=+2 =2 636 6+2 =3 6+2 .12Уровень С.1.1.С01.а) Р(х)=х3+6х2+12х+19=(х3+6х2+12х+8)+11=(х+2)3+11=()3= − 3 11 +11=–11+11=0, при х=–2– 3 11 ;б) Р(х)=х3+9х2+27х+29=(х3+9х2+27х+27)+2=(х+3)3+2=(= −3 2)3+2=–2+2=0, при х=–3– 3 2 .1.1.С02.а) х–12у+7z=2·(2x–5y+z)–(3x+2y–5z)=2·4–3=8–3=5, при 2х+5у+z=4 и 3x+2y–5z=3;б) 6x+5y+11z=2·(4x+2y+3z)–(2x–y–5z)=2·3–1=5, при 2x–y–5z=1 и 4x+2y+3z=3.1.1.С03.u+vu+v11====u 3 + v3 (u + v)(u 2 − uv + v 2 ) u 2 − uv + v 2 (u + v) 2 − 3uv112828====;2259+17536211⎛ 5⎞⎛ 3⎞+⎜ − ⎟ − 3⋅⎜ − ⎟4 7⎝ 2⎠⎝ 7⎠u+vu+v11===б) 3 3 =u +v(u + v)(u 2 − uv + v 2 ) u 2 − uv + v 2 (u + v) 2 − 3uv112020===.=28112405+48453⎛ 9⎞⎛ 4⎞+⎜ − ⎟ − 3⋅⎜ − ⎟ 4 5⎝ 2⎠⎝ 5⎠а)1.1.С04.u 3 − v3(u 3 − v3 )11= 3 3 3 3 = 3 3 ==662u −v(u − v )(u + v ) u + v(u + v)(u − uv + v 2 )1111===− ;=40(u + v)((u + v) 2 − 3uv) (−4) ⋅ ((−4)2 − 3 ⋅ 2) (−4) ⋅10а)u 3 − v3(u 3 − v3 )11== 3 3 ==6633332u −v(u − v )(u + v ) u + v(u + v)(u − uv + v 2 )1111====− .44(u + v)((u + v) 2 − 3uv) (−2) ⋅ ((−2) 2 − 3 ⋅ (−6)) (−2) ⋅ 22б)1.1.С05.25 ⎛⎛ 5 ⎞1⎞а) u3+v3=(u+v)(u2–uv+v2)=(u+v)((u+v)2–3uv)= ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ − 3 ⋅ ⎟ =2 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠4 ⎟⎠5 ⎛ 253⎞5 2255= 13,75;= ⎜ − ⎟= ⋅ =2⎝ 4 4⎠ 2 44623 ⎛⎛ 3 ⎞⎛ 7 ⎞⎞б) u3+v3=(u+v)(u2–uv+v2)=(u+v)((u+v)2–3uv)= ⋅ ⎜ ⎜ ⎟ − 3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟ =2 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎟⎠23 ⎛⎛ 3 ⎞⎛ 7 ⎞⎞3⎛ 921 ⎞3 3045= 11, 25.= ⋅⎜ ⎜ ⎟ + 3⋅⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ + ⎟ = ⋅ =2 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠4⎝ 4 ⎠ ⎟⎠ 2 ⎝ 4 4 ⎠ 2 41.1.C06.а) |u–v|= (u − v)2 = u 2 + v 2 − 2uv = (u + v)2 − 4uv =⎛ 5⎞2⎛1⎞= ⎜ − ⎟ − 4⋅⎜ ⎟ =⎝ 2⎠⎝ 2⎠251717−2 ==;442б) |u–v|= (u − v)2 = u 2 + v 2 − 2uv = (u + v)2 − 4uv =⎛ 3⎞2⎛ 2⎞94141= ⎜ − ⎟ − 4⋅⎜ − ⎟ =+2 ==.16164⎝ 4⎠⎝ 4⎠1.1.С07.а) u4+v4=(u2+v2)2–2u2v2=((u+v)2–2uv)2–2(uv)2=222222⎛⎞= ⎜ ⎛ − 1 ⎞ − 2 ⋅ ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ ⎟ − 2 ⎛⎜ − 3 ⎞⎟ = ⎛ 1 + 2 ⎞ − 2 = 49 − 2 = 31 = 3 4 ;⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜ ⎜⎝9993⎠3 ⎠ ⎠⎟3 ⎠⎟ ⎝ 3⎠⎝⎝⎝4422 22 222б) u +v =(u +v ) –2u v =((u+v) –2uv) –2(uv)2=2⎛⎞= ⎜ ⎛ − 1 ⎞ − 2 ⋅ ⎛⎜ − 5 ⎞⎟ ⎟ − 2 ⎛⎜ − 5 ⎞⎟ = ⎛ 1 + 2 ⎞ − 2 = 121 − 2 = 71 = 2,84 .⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜25255⎠5 ⎠ ⎠⎟5 ⎠⎟ ⎝ 5⎠⎝⎝⎝⎝1.1.C08.22⎛ 11 ⎞ 2 6⎜−⎟ −u−v(u−v)(u+uv+v)(u+v)−uv6⎠6а)===⎝=22(u − v)(u + v)u+v⎛ 11 ⎞(u − v )⎜−⎟6⎠⎝121−2109 ⋅ 6= 6=−;66⎛ 11 ⎞−⎜⎟6⎠⎝2⎛ 15 ⎞ ⎛ 5 11 ⎞⎟⎜⎟ −⎜−11 ⎟⎠u 3 − v3 (u − v)(u 2 + uv + v 2 ) (u + v) 2 − uv ⎝ 11 ⎠ ⎜⎝===б) 2 2 =15u+v(u − v)(u + v)u −v11225+5280 11 56 11= 11==.151653311332221.1.С09.а) (2х–3у)у+(2у–3х)х=2ху–3у2+2ху–3х2=–3(х2+у2+2ху)++10ху=–3(х+у)2+10ху=–3·121–10·5=–413;7б) (5х+2у)у+(5у+2х)х=5ху+2у2+5ху+2х2=2(х2+у2–2ху)+14ху==2(х–у)2+14ху=2·81+14(–12)=–6.1.1.С10.а) (3+2х)2у+(3+2у)2х=(9+12х+4х2)у+(9+12у+4у2)х=9(х+у)+24ху++4ху(х+у)=9·(–5)+24·5+4·5(–5)=–25;б) (4–3х)2у+(4–3у)2х=(16–24х+9х2)у+(16–24у+9у2)х=16(х+у)–48ху++9ху(х+у)=16·7–48·9+9·9·7=2471.1.С11.а) (5–3х2)2у+(5–3у2)2х=(25–30х2+9х4)у+(25–30у2+9у4)х=25(х+у)––30ху(х+у)+9ху(х3+у3)=25(х+у)–30ху(х+у)+9ху(х+у)((х+у)2–3ху)==25·3–30·(–2)·3+9(–2)·3·(9+6)=–555;б) (3–2х2)2у+(3–2у2)2х=(9–12х2+4х4)у+(9–12у2+4у4)х=9(х+у)––12ху(х+у)+4ху(х3+у3)=9(х+у)–12ху(х+у)+4ху·(х+у)((х+у)2–3ху)==9·4–12·2·4+4·2·4·(16–6)=260.1.1.С12.а) А(х)=5р2(х)+4р(х)q(x)–q2 (x)=(5p(x)–q(x))(p(x)+q(x))=⎛556= ⎜⎜ х 2 + х −⎝6145 х 2 5 х 71 ⎞ ⎛ х 2 х 29 х 2 5 х 71 ⎞+ − − ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ + − − + + ⎟⎟ =666 6⎠ ⎝ 6 6 666 6⎠=(х2–36)(х+7)=(х–6)(х+6)(х+7), так что х1+х2+х3=6+(–6)+(–7)=–7;б) А(х)=8р2(х)+7р(х)q(x)–q2 (x)=(8p(x)–q(x))(p(x)+q(x))=⎛889= ⎜⎜ х 2 + х −⎝9104 х 2 8 х 40 ⎞ ⎛ х 2 х 13 х 2 8 х 40 ⎞+ − − ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ + − − + + ⎟⎟ =99 99 ⎠ ⎝ 9 9 9 999 ⎠=(х2–16)(х+3)=(х–4)(х+4)(х+3), так что х1+х2+х3=4+(–4)+(–3)=–3.Уровень D.1.1.D01.а) А(х)=4р2 (х)+3р(х)q(x)–q2(x)=(4p(x)–q(x))(p(x)+q(x))=⎛445= ⎜⎜ х 2 + х −⎝5108 х 2 4 х 17 ⎞ ⎛ х 2 х 27 х 2 4 х 17 ⎞+ −− ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ + −− ++ ⎟⎟ =5555⎠ ⎝ 5 5 5555⎠=(х2–25)(х–2)=(х+5)(х–5)(х–2), так что х12 + х22 + х32 =25+25+4=54;б) А(х)=2р2(х)–р(х)q(x)–q2 (x)=(2p(x)+q(x))(p(x)–q(x))=222= ⎛⎜ 2 х 2 + 2 х − 16 + х − 2 х + 13 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ х + х − 8 − х + 2 х − 13 ⎞⎟ =⎜⎝333333 ⎠⎟ ⎝⎜ 333 ⎠⎟333х12х22х32 =1+1+49=51.+ +=(х –1)(х–7)=(х–1)(х+1)(х–7), так что1.1.D02.а) А(х)=8р2 (х)–7р(х)q(x)–q2(x)=(8p(x)+q(x))(p(x)–q(x))=222= ⎛⎜ 8 х 2 + 8 х − 136 + х − 8х − 8 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ х + х − 17 − х + 8х + 8 ⎞⎟ =⎜9⎟⎜999 9 9 ⎠ ⎝ 9 9 9 9 9 9 ⎠⎟⎝2=(х –16)(х–1)=(х–4)(х+4)(х–1), так что х1·х2·х3=4·(–4)·1=–16;б) А(х)=3р2(х)–2р(х)q(x)–q2(x)=(3p(x)+q(x))(p(x)–q(x))=2= ⎛⎜ 3 х 2 + 3 х − 39 + х − 3х − 25 ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ х + х − 13 − х + 3х + 25 ⎞⎟ =⎜⎟ ⎜⎟2⎝4444244 ⎠ ⎝ 4244444 ⎠=(х2–16)(х+3)=(х–4)(х+4)(х+3), так что х1·х2·х3=4·(–4)·(–3)=48.81.1.D03.а) А(х)=12р2(х)–11р(х)q(x)–q2 (x)=(12p(x)+q(x))(p(x)–q(x))=⎛ 12= ⎜⎜⎝ 13х2 +1236 х 2 12 х 81 ⎞ ⎛ х 2 х 3 х 2 12 х 81 ⎞х− + −− ⎟⋅⎜ + − − ++ ⎟=1313 13 13 13 ⎟⎠ ⎜⎝ 13 13 13 13 13 13 ⎟⎠=(х2–9)(х+6)=(х–3)(х+3)(х+6),так что х12 ⋅ х22 ⋅ х32 =32·(–3)2·(–6)2=542=2916;б) А(х)=10р2 (х)+9р(х)q(x)–q2(x)=(10p(x)–q(x))(p(x)+q(x))=⎛ 10= ⎜⎜⎝ 11х2 +10410 х 2 10 х 14 ⎞ ⎛ х 2 х 41 х 2 10 х 14 ⎞х−+ −+ ⎟⋅⎜ + − − +− ⎟=1111 11 11 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 11 11 11 11 11 11 ⎟⎠=(х2–36)(х–5), так что х12 ⋅ х22 ⋅ х32 =62·(–6)2·52=(180)2=32400.1.1.D04.а) 2р(х)+р(7–х)=х+4, тогда 2р(7–х)+р(7–(7–х))=7–х+4,то есть 2р(7–х)+р(х)=11–х, так что 3р(х)=2·(х+4)–(11–х)=3х–3 и р(х)=х–1;б) 3р(х)+р(8–х)=х+5, тогда 3р(8–х)+р(8–(8–х))=(8–х)+5,х2то есть 3р(8–х)+р(х)=13–х, и 8р(х)=3·(х+5)–(13–х)=4х+2, и р(х)= +1.41.1.D05.а) А(х)=р2 (х)–9р(х)q(x)–10q2(x)=(p(x)+q(x))(p(x)–10q(x))=⎛ 46= ⎜⎜⎝ 11х2 −3926 2х2 6х 15 ⎞ ⎛ 46х2 39х 26 20х2 60х 150 ⎞х− −+ + ⎟⋅⎜−− +−−⎟=11 11 11 11 11 ⎟⎠ ⎜⎝ 1111 11 1111 11 ⎟⎠=(4х2–3х–1)(6х2–9х–16), так что х12 + х22 + х32 + х42 =⎛3⎞2⎛ 1⎞ ⎛9⎞2⎛ 16 ⎞=(х1+х2)2–2х1х2+(х3+х4) 2–2х3х4= ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ =⎝4⎠⎝ 4⎠ ⎝6⎠⎝ 6⎠=9 1 9 16 53 16 415+ + + =+ =;16 2 4 3 16 348б) А(х)=р2(х)+5р(х)q(x)–6q2(x)=(p(x)+6q(x))(p(x)–q(x))=⎛ 23 2 12 34 12х2 30х 78 ⎞х − х+ −−+ ⎟⎟ ⋅77777⎠⎝ 7= ⎜⎜ −⎛ 23х 2 12 х 34 2 х 2 5х 13 ⎞−+ ++ − ⎟⎟ =⎜⎜ −77777 7⎠⎝=(–5х2–6х+16)(–3х2–х+3), так что х12 + х22 + х32 + х42 =⎛ 6⎞2⎛ 16 ⎞ ⎛ 1 ⎞2=(х1+х2)2–2х1х2+(х3+х4)2–2х3х4= ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ −⎝ 5⎠⎝ 5 ⎠ ⎝ 3⎠⎛ 3⎞36321196 192239214+ ==9.– 2⋅⎜ − ⎟ = + + + 2 =25 9225225⎝ 3 ⎠ 25 5 91.1.D06.а) А(х)=р2(х)–3р(х)q(x)–4q2 (x)=(p(x)–4q(x))(p(x)+q(x))=⎛ 11 2 14 16 24х2 4х 44 ⎞ ⎛ 11х2 14х 16 6х2 х 11 ⎞х + х+ −− + ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −++ ++ − ⎟=5555 5⎠ ⎝ 5555 5 5 ⎟⎠⎝ 5= ⎜⎜ −(–7х2+2х+12)(–х2+3х+1), так что х1·х2·х3·х4=95⎛ 12 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 12=1 ;⎟⋅⎜ − ⎟ =7177⎝⎠ ⎝ ⎠=(х1·х2)·(х3·х4)= ⎜ −б) А(х)=р2(х)–5р(х)q(x)–6q2(x)=(p(x)+q(x))(p(x)–6q(x))=⎛⎞ ⎛22⎞2= ⎜⎜ − 13 х 2 − 13 х + 33 − х + 6 х + 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ − 13х − 13х + 33 + 6 х − 36 х − 12 ⎟⎟ =7⎝77777⎠ ⎝777777⎠=(–2х2–х+5)(–х2–7х+3), так что х1·х2·х3·х4=⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞15=(х1·х2)·(х3·х4)= ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = = 7,5.⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ 21.1.D07.а) А(х)=р2 (х)–7р(х)q(x)–8q2(x)=(p(x)+q(x))(p(x)–8q(x))=⎛ 31426 5 х 2 5 х 1 ⎞ ⎛ 31х 2 4 х 26 40 х 2 40 х 8 ⎞− − ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜−− −++ ⎟⎟ =х2 − х − +9999 9⎠ ⎝ 999999⎠⎝ 9= ⎜⎜=(4х2–х–3)(–х2+4х–2), так что х12 ⋅ х22 ⋅ х32 ⋅ х42 =(х1·х2)2 ·(х3·х4)2=⎛ 3⎞299= ⎜ − ⎟ ⋅ (2) 2 = ⋅ 4 = = 2, 25;164⎝ 4⎠б) А(х)=р2(х)+7р(х)q(x)–8q2(x)=(p(x)+8q(x))(p(x)–q(x))=⎛ 14= ⎜⎜⎝9х2 +3134 32 х 2 32 х 16 ⎞ ⎛ 14х2 31х 34 4х2 4х 2 ⎞+− +− − ⎟⎟ =х− −++ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜99999⎠ ⎝ 99999 9⎠=(–2х2+7х–2)(2х2+3х–4), так что х12 ⋅ х22 ⋅ х32 ⋅ х42 =(х1·х2)2·(х3·х4)2=12·(–2)2=4.1.1.D08.а) 9х2–12ху+4у2–12х+8у–4=(3х–2у)2–4(3х–2у)–4=((3х–2у)2––4(3х–2у)+4)–8=(3х–2у–2)2–8≥–8, так как (3х–2у–2)2≥0 для всех х и у;б) 4х2+12ху+9у2–12х–18у–3=(2х+3у)2–6(2х+3у)–3=((2х+3у)2–6(2х+3у)++9)–12=(2х+3у–3)2–12≥–12, так как (2х+3у–3)2≥0 для всех х и у.1.1.D09.а) х2–2ху+9у2+10х+у–2=(х–у)2+8у2+10х+у–2=(х–у)2+10(х–у)+8у2+⎛⎝+11у–2=(х–у+5)2+8у2+11у–27=(х–у+5)2+8 ⎜ у +211 ⎞2525⎟ − 30 ≥ −30 , так как16 ⎠3232211 ⎞⎛2⎜ у + ⎟ ≥0 и (х–у+5) ≥0 при любых х и у;16 ⎠⎝б) х2–4ху+6у2–12х+2у–3=(х–2у)2+2у2 – 12x+2у–3=(х–2у)2–12(х–2у)+2+2у2–22у–3=(х–2у–6)2+2у2–22у–39=(х–2у–6)2+2 ⎛⎜ у − 11 ⎞⎟ − 99 1 ≥ −99 1 , так⎝22⎠2как ⎛⎜ у − 11 ⎞⎟ ≥0 и (х–2у–6)≥0 при любых х и у.2⎠⎝1.1.D10.а) х2+у2=х2–2ху+у2+2ху=(х–у)2+2ху=1+2ху=1+2х(х+1)=2х2+2х+1=22=2· ⎛⎜ х + 1 ⎞⎟ + 1 ≥ 1 , так как х–у=–1 и ⎜⎛ х + 1 ⎟⎞ ≥ 0 для любого х;⎝102⎠22⎝2⎠2б) х2+у2=(х+у)2–2ху=4–2ху=4–2х(2–х)=2х2–4х+4=2(х–1)2+2≥2, так как х+у=2 и(х–1)2≥0 для любого х.1.1.D11.а) f(x)=40, то есть 32а+16b+8c+4d+2k+m=40, так что m=0 (иначе в левойчасти стояло бы нечетное число)Далее 16а+8b+4c+2d+k=20, так что k=0 (иначе в левой части стояло бы нечетное число).