pogorelov-gdz-10-2001z (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов))

Домашняя работапо геометрииза 10 класск учебнику «Геометрия. 10-11 класс»А.В. Погорелов, М.: «Просвещение», 2001 г.3Оглавление§15. Аксиомы стереометриии их простейшие следствия ............................................ 4§16. Параллельность прямых и плоскостей................ 10§17. Перпендикулярность прямых и плоскостей........ 29§18. Декартовы координатыи векторы в пространстве ........................................... 654§15. Аксиомы стереометриии их простейшие следствия1.Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.1Допустим, что AB и CD пересекаются, тогда по аксиоме 3 черезних можно провести плоскость и в ней лежат все четыре точки, чтопротиворечит условию задачи.

Так что AB и CD не пересекаются.Что и требовалось доказать.2.Можно ли через точку пересечения двух данныхпрямых провести третью прямую, не лежащую сними в одной плоскости? Ответ объясните.Можно. Пусть прямые a и b пересекаются в точке C и лежат вплоскости α (аксиома 3). Тогда возьмем точку D вне плоскости α(по аксиоме 1) и рассмотрим прямую CD.

Эта прямая и не принадлежит плоскости α, а плоскость, содержащая прямые a и b, единственная (аксиома 3). Значит, прямая CD – удовлетворяет условию задачи.1Условия заданий приводятся в учебных целях и в необходимом объеме как иллюстративный материал.

Имя автора и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной книги. (Ст. 19 п. 2 закона РФ об авторском праве и смежныхправах от 9 июня 1993 г.).53.Точки А, В, С лежат в каждой из двух различныхплоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.По аксиоме 2, так как α и β имеют общие точки А, В и С, топлоскости α и β пересекаются по прямой, которая содержит этиточки. Следовательно, А, В, С принадлежат одной прямой.

Что итребовалось доказать.4.Даны три различные попарно пересекающиесяплоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения.baДопустим плоскости α и β пересекаются по прямой а, а плоскости β и γ — по прямой b, причем прямые а и b пересекаются в точкеС. Тогда по аксиоме 2 точка C принадлежит всем трем плоскостямα, β, γ, а значит, и третьей прямой с пересечения плоскостей α и γ.Что и требовалось доказать.65.Даны две плоскости, пересекающиеся по прямойа, и прямая b, которая лежит в одной из этихплоскостей и пересекает другую.

Докажите, чтопрямые а и b пересекаются.Пусть α и β пересекаются по прямой а. И прямая b содержится вβ и пересекает α в точке А. Точка А — общая точка двух плоскостей. Тогда по аксиоме 2 точка А принадлежит а. То есть а и b пересекаются. Что и требовалось доказать.6.Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могутли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.Если какие-нибудь три точки лежат на одной прямой, тогда через эту прямую и четвертую точку можно провести плоскость (теорема 16.1).

В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки не могутлежать на одной прямой.7.Докажите, что через прямую можно провести дверазличные плоскости.Задача решена в учебнике п. 136 стр. 5.8.Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.7Через произвольную точку В плоскости β проведем прямую bпараллельно прямой а.

Так как прямая а пересекает плоскость α, топараллельная ей прямая b пересекает эту плоскость (если плоскостьпересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает идругую: см. задачу №15 §16), а b пересекает плоскость β. Значит,прямая а пересекает плоскость β. Что и требовалось доказать.9.Даны две различные прямые, пересекающиеся вточке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие черезточку А, лежат в одной плоскости.Задача решена в учебнике п. 137 стр. 6.10. Докажите, что все прямые, пересекающие даннуюпрямую и проходящие через данную точку внепрямой, лежат в одной плоскости.Проведем плоскость α через данную прямую а и точку А (потеореме 16.1).

Если прямая b проходит через точку А и пересекаетпрямую а в точке В, то прямая b имеет с плоскостью α две различные общие точки (А и В), а, значит, лежит в полученной плоскостиα (по теореме 16.2). Что и требовалось доказать.811. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат водной плоскости, то прямые АС и BD также нележат в одной плоскости.Допустим, что прямые АС и BD лежат в одной плоскости α, но тогда и АВ и CD лежат в той же плоскости α, так как имеют с ней 2 различные общие точки. Получаем противоречие с условием задачи.Значит AC и CD не лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.12. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости.Сколько можно провести различных плоскостей,проходящий через три из этих точек? Объясните ответ.Четыре различных плоскости.Плоскость задается тремя точками не лежащими на одной прямой(теорема 16.3).

Если точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости, товсе они и никакие три из них не лежат на одной прямой. Так что имеем четыре возможные тройки точек (А, В, С), (А, В, D), (А, С, D) и(В, С, D), которые определяют четыре различные плоскости.13. Можно ли провести плоскость через три точки, еслиони лежат на одной прямой? Объясните ответ.9Задача решена в учебнике п. 141 стр. 11.14. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие дветочки.

Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.Допустим, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. Тогдапрямые АВ и CD, АС и BD параллельны, поэтому точки А, В, С, Dявляются вершинами параллелограмма ABCD. Но тогда диагоналиAD и ВС этого параллелограмма должны пересекаться, что противоречит условию задачи.

Значит A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.10§ 16. Параллельность прямых и плоскостей1.Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.Если прямые АС и BD не являются скрещивающимися, то онимогут быть пересекающимися или параллельными, но в обоих случаях они лежат в одной плоскости α, тогда А∈α, В∈α, С∈α, D∈α.Таким образом, прямые АВ и CD также лежат в одной плоскости,что невозможно по условию так как АВ и CD скрещивающиеся.Значит, AC и BD – скрещивающиеся.

Что и требовалось доказать.2.Можно ли через точку С, не принадлежащуюскрещивающимся прямым а и b, провести дверазличные прямые, каждая из которых пересекаетпрямые а и b? Объясните ответ.•CНельзя. Для того, чтобы провести прямую из точки C, пересекающую прямые а и b, точка C должна лежать в одной плоскости сa и b. Но a и b не лежат в одной плоскости, так как онискрещивающиеся прямые.3.Докажите, что все прямые, пересекающие дведанные параллельные прямые, лежат в однойплоскости.Задача решена в учебнике п. 141 стр. 11.4.Прямые а и b пересекаются. Докажите, что всепрямые, параллельные прямой b и пересекающиепрямую а, лежат в одной плоскости.11Пусть с — произвольная прямая, параллельная прямой b, пересекающая прямую а.

Прямые а и b обращают плоскость α. Проведем через точку С пересечения прямых а и с в плоскости α прямуюс1, параллельную b. По теореме 17.1 через точку С можно провеститолько одну прямую, параллельную b. А, значит, прямая с совпадает с прямой с1, а, значит, принадлежит плоскости α.Итак, любая прямая с, параллельная b и пересекающая прямуюа, лежит в плоскости α.5.Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1 и М1. Найдитедлину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если:1) АА1 = 5 м, ВВ1 = 7 м;2) АА1 = 3,6 дм, ВВ1 = 4,8 дм;3) АА1 = 8,3 см, ВВ1 = 4,1 см;4) АА1 = а, ВВ1 = b.Из решения задачи №4 следует, что прямые АА1, ММ1, ВВ1 лежат водной плоскости β.Значит точки А1, В1 и М1 лежат на прямой А1В1 пересеченияплоскостей α и β. Рассмотрим далее картинку в плоскости β.

Потеореме Фалеса М1 середина отрезка А1В1. А, значит, ММ1 — средняя линия трапеции АА1В1В и по теореме о средней линии:121(AA1 + BB1). Тогда:211) ММ1 = (5 + 7) = 6 (м);212) ММ1 = (3,6 + 4,8) = 4,2 (дм);213) ММ1 = (8,3 + 4,1) = 6,2 (см),2ММ1 =4) MM1 =1(a + b).26.Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.AДопустим, что AA1 < BB1, тогда как и в задаче №5 получаем рисунок.Рассмотрим ∆ВАВ1: Пусть МС — средняя линия треугольника и,1значит, МС = ВВ1.2Рассмотрим ∆АА1В1: М1С — средняя линия треугольника, по1этому М1С = АА1.211Тогда ММ1 = МС – М1С = BB1 − AA1.22Если AA1 ≥ BB1, тогда аналогично получаем:111ММ1 = AA1 − BB1.

Значит, ММ1 = |AA1 − BB1|.222Тогда:11) ММ1 = |5 − 7| = 1 (м);2131|3,6 − 4,8| = 0,6 (дм);213) ММ1 = |8,3 − 4,1| = 2,1 (см);214) ММ1 = |a − b|.22) ММ1 =7.Через конец А отрезка АВ проведена плоскость.Через конец В и точку С этого отрезка проведеныпараллельные прямые, пересекающие плоскость вточках В1 и С1. Найдите длину отрезка ВВ1, если:1) СС1 = 15см, АС : ВС = 2 : 3;2) СС1 = 8,1см, АВ : АС = 11 : 9;3) АВ = 6см, АС : СС1 = 2 : 5;4) АС = а, ВС = b; СС1 = с.Прямые BB1 и СС1 образуют плоскость β, которая содержитпрямую АВ и пересекает данную плоскость по прямой АВ1 так, чтов плоскости β имеются два подобных треугольника АСС1 и АВВ1(угол А у них общий, а ∠С и ∠ В так как прямые СС1 и ВВ1 параллельны).