Основы математических моделей

Математическая модель – это математическое представление реальности.Математическое моделирование — процесс построения и изученияматематических моделей.Все естественные и общественные науки, использующие математическийаппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяютреальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.Определения.Никакое определение не может в полном объёме охватить реальносуществующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря наэто, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболеесущественные черты.Определение модели по А.

А. Ляпунову: Моделирование — этоопосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, прикотором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, анекоторая вспомогательная искусственная или естественная система: находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемымобъектом; способная замещать его в определённых отношениях; дающая при её исследовании, в конечном счёте, информацию о самоммоделируемом объекте.По учебнику Советова и Яковлева : «модель — это объект-заместительобъекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.»«Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейшихсвойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называетсямоделированием.» «Под математическим моделированием будем пониматьпроцесс установления соответствия данному реальному объекту некоторогоматематического объекта, называемого математической моделью, и исследованиеэтой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реальногообъекта.

Вид математической модели зависит как от природы реального объекта,так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решенияэтой задачи.»По Самарскому и Михайлову, математическая модель – это «эквивалент»объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства: законы,которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д.Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». Создав триаду «модельалгоритм-программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий инедорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробныхвычислительных экспериментах. После того, как адекватность триады исходномуобъекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные«опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства ихарактеристики объекта.По монографии Мышкиса: «Перейдём к общему определению. Пусть мысобираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a спомощью математики.

Для этого мы выбираем „математический объект“ a' —систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрическихфигур, или комбинацию того и другого и т. д.,— исследование которогосредствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствахS. В этих условиях a' называется математической моделью объекта aотносительно совокупности S его свойств».По Севостьянову А. Г. : «Математической моделью называетсясовокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п.,описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу,объекту или системе».Несколько менее общее определение математической модели, основанноена идеализации «вход — выход — состояние», заимствованной из теорииавтоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представлениепроцесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных,чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множествауравнений и неравенств для описания их взаимодействия.»Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели:«Уравнение, выражающее идею.»Формальная классификация моделей.Формальная классификация моделей основывается на классификациииспользуемых математических средств.

Часто строится в форме дихотомий.Например, один из популярных наборов дихотомий :Линейные или нелинейные модели;Сосредоточенные или распределённые системы;Детерминированные или стохастические;Статические или динамические;Дискретные или непрерывные .и так далее. Каждая построенная модель является линейной илинелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, чтовозможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные, в другом –распределённые модели и т.

д.Классификация по способу представления объекта.Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способупредставления объекта:Структурные модели представляют объект как систему со своимустройством и механизмом функционирования. Функциональные модели неиспользуют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемоеповедение объекта. В их предельном выражении они называются также моделями«чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которыеиногда называют моделями «серого ящика».Содержательные и формальные модели.Практически все авторы, описывающие процесс математическогомоделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция,содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторыназывают этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модельили предмодель.

При этом финальная математическая конструкция называетсяформальной моделью или просто математической моделью, полученной врезультате формализации данной содержательной модели. Построениесодержательной модели может производиться с помощью набора готовыхидеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальныемаятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы длясодержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существуетполностью завершенных формализованных теорий, создание содержательныхмоделей резко усложняется.Содержательная классификация моделей.В работе Р. Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых вфизике и, шире, в естественных науках. В книге А.

Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса этаклассификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первуюочередь, на этапе построения содержательной модели.Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит вего возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модельСолнечной системы по Птолемею и модель Коперника, модель атома Резерфорда и модельБольшого Взрыва.Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко этосформулировал Ричард Фейнман:«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мыникогда не можем доказать, что она правильна.

Предположим, что вы выдвинули удачнуюгипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаютсяэкспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит,что вам не удалось ее опровергнуть.»Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся заистину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой висследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть тольковременным.Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления.

Однако этотмеханизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимисяданными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте.Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений.

Считается, что ответвсё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типуПайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, чтоновые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены достатуса гипотезы.

Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие смоделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковаямодель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временноерешение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь оттипа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бываетразным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит,что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае —использование приближений.

Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяютсялинейными. Стандартный пример — закон Ома.Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженныхгазов, то это — модель типа 3. При более высоких плотностях газа тоже полезно представлятьсебе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, нотогда это уже тип 4.В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегдаконтролируемо повлиять на результат.

Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3или 4 — это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если моделилинейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей, то это ужефеноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4.Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состоянияВан-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики.Путь от микроописания к свойствам тел, состоящих из большого числа частиц, очень длинен.Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даётпредсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение среднейдлины свободного пробега в кинетической теории.