Математика и компьютерные науки (ФН11), страница 2

Закон инерции квадратичных форм (без док-ва). Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. Основная учебная литература 1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: Изд-во МЦНМО, 2012. — 272 с. 2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. Мг Изд-во МЦНМО, 2012. — 368 с. 3. Кострикин А. И.

Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. Мг Изд-во МЦНМО„2012. — 272 с. 4. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Проспект, 2012. — 400 с. 5. Сборник задач по алгебре. Под ред. А. И. Кострикина. М.: Изд-во МЦНМО, 2009. -408 с. 6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: .Изд-во КДУ, 2009.

— 320 с. 7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2011, - 432 с. 8. Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ/ Механика сплошной среды.Т.1.-Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана.-2011.-463 с, Дополнительная учебная литература. 1. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. М.: Мир, 1968. — 162 с. ДИСЦИПЛИНА 2. Уравнения математической физики Одномерные уравнении гиперболического типа Уравнение в частных производных первого порядка, общее решение. Решение уравнения первого порядка в частных производных, проходящее через заданную кривую. Квазилинейные уравнения второго порядка для функций двух переменных.

Приведение к каноническому виду. Характеристики, классификация. Вывод уравнений мальгх колебаний струны и упругого стержня. Начальные и краевые условия. Неограниченная струна. Решение Даламбера. Полубесконечная струна (стержень). Метод отражений. Ограниченная струна (стержень). Метод разделения переменных для однородных краевьгх условий и неоднородного уравнения.

Ограниченная струна (стержень) с однородными краевыми условиями и неоднородным уравнением. Функция Грина краевой задачи. Редукция общей краевой задачи к задаче с однородными краевыми условиями. Задачи без начальных условий. Спектр краевой задачи. Теоремы Стеклова. Энергия колебаний струны 1стержня). Теореме единственности. Одномерные уравнения параболического типа Вывод уравнения теплопроводности и диффузии.

Уравнение теплопроводности на бесконечном отрезке. Функция Грина и ее свойства. Уравнение теплопроводности на полу бесконечном отрезке. Метод отражений. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности на ограниченном отрезке, Неоднородное уравнение теплопроводности и функция Грина краевой задачи. Принцип максимума для уравнения теплопроводности и теорема единственности. Задачи без начальных условий и задача о промерзании земли. Уравнение Лапласа, уравнения теории колебаний в пространстве Физические задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона.

Постановки краевых задач в области. Гармонические функции. Формулы Грина. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Теорема о среднем значении. Принцип максимума для функций гармонических в области. Теорема единственности. Теоремы единственности решения внешних краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве. Метод статических изображений построения функции Грина для краевых задач в круге и в полуплоскости. Метод конформных отображений построения функций Грина плоских задач для уравнения Лапласа в ограниченных и неограниченных областях.

Метод статических изображений для построения функции Грина для уравнения Лапласа в шаре. Формулы Пуассона для решения краевой задачи в круге и в шаре. Введение в теорию гармонических потенциалов. Потенциалы простого и двойного слоя. Простейшие интегральные уравнения теории потенциалов.

Уравнение колебаний в неограниченном трехмерном пространстве. Формула Пуассона. Следствия из формулы Пуассона. Метод спуска. Особенности распространения волн в двумерном и трехмерном случае. Случай чисто периодического возмущения. Уравнение Гельмгольца. Фундаментальные решения уравнений с линейным дифференциальным оператором и обобщенная задача Коши, простейшие квазилинейныеДУв частных производных Основные свойства обобщенных функций. Преобразования Фурье и Лапласа обобщенных функций. Фундаментальное решение линейного дифференциального уравнения с обыкновенными производными. Фундаментальное решение одномерного волнового уравнения. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Понятие обобщенного решения линейного дифференциального уравнения. Обобщенное решение задачи Коши для ОДУ.

Обобщенное решение задачи Коши для волнового уравнения. Обобщенное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Уравнение Бюргерса. Уравнение Картевега- де Фриза Перечень вопросов. 1. Общий вид ДУ в частных производных. Уравнения, линейные относительно старших производных. Приведение к каноническому виду. Характеристики. Классификация линейных и квазилинейных уравнений второго порядка. 2. Уравнения гиперболического типа.

Уравнение малых поперечных колебаний струны и малых продольных колебаний упругого стержня. Начальные и краевые условия. Редукция общей задачи к задаче с однородными краевыми условиями. Вынужденные колебания. 3. Уравнение колебаний бесконечной струны (стержня). Задача Коши с начальными условиями. Решение Даламбера. Характеристики. Распространение начального отклонения и начального импульса. 4. Уравнение колебаний полу бесконечной струны (стержня). Метод отражений. Графическая иллюстрация. 5.

Энергия колебаний ограниченной струны. Теорема единственности краевой задачи. 6. Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны в случае краевых условий первого и второго рода. 7. Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны в случае краевых условий третьего рода. 8. Краевая задача для уравнения колебаний ограниченной струны с нулевыми начальными условиями и неоднородностью в уравнении.

Функция Грина. 9. Общая схема разделения переменных в уравнении колебаний ограниченной струны с переменными коэффициентами Теоремы Стеклова. 10.Метод разделения переменных для неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым краевым условием. Функция Грина 11. Метод разделения переменных для однородного уравнения теплопроводности с однородными краевыми условиями. 12.

Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой. Функция Грина. 13. Задача без начального условия для уравнения теплопроводности с заданным тепловым режимом на границе полу бесконечного интервала. Промерзание земли, 14. Уравнение Гельмгольца. Его частные решения в декартовых„полярных и сферических координатах. 15.Функция Грина первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике, полосе, и бесконечном цилиндре прямоугольного сечения. 16. Физические задачи, приводящие к уравнению Лапласа.

Функции, гармонические в области. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа. 17. Гармонические функции. Связь с аналитическими функциями комплексного переменного. Уравнение Лапласа в комплексной форме и его общее решение. 18. Уравнение Лапласа в криволинейных ортогональных координатах (Полярные координаты, сферические координаты). Частные решения методом разделения переменных.

19. Функция Грина уравнения Лапласа для первой краевой задачи в полуплоскости, полупространстве, и внутри окружности. Построение методом отражений. 20. Построение функции Грина уравнения Лапласа для первой краевой задачи в ограниченной области с гладкой аналитической границей методом конформных отображений, 2! . Построение функции Грина уравнения Лапласа для первой краевой задачи в неограниченной области с гладкой аналитической границей методом конформных отображений.

22. Первая и вторая формулы Грина в ограниченной области для дважды непрерывно дифференцируемых функций. Третья формула Грина. Интегральное представление для функции гармонической в области. Случаи краевых задач Дирихле и Неймана. 23. Теорема о среднем значении на плоскости и в пространстве для гармонических функций. Принцип максимального значения. 24. Теоремы единственности решений внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости н в пространстве. 25. Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне круга методом разделения переменных.

Интеграл Пуассона. 26. Метод отражений для решения первой краевой задачи в случае сферы и интеграл Пуассона. 27. Гармонический потенциал двойного слоя. Формулы предельных значений для потенциала двойного слоя . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода для задачи Дирихле в ограниченной области. 28. Гармонический потенциал простого слоя. Формулы предельных значений для потенциала простого слоя и его нормальной производной .

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода для задачи Неймана в ограниченной области. 29. Применение поверхностных интегралов к решению краевых задач. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений второго рода краевых задач Дирихле и Неймана в случае уравнения Лапласа. 30. Обобщенная задача Коши для Уравнения теплопроводности в неограниченном пространстве с начальными условиями. Функция Грина уравнения теплопроводности как обобщенное решение. Вывод ее явного вида для одномерного случая 31.