Математика и компьютерные науки (ФН11) (544336), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Обобщенная задача Коши для уравнения колебаний в неограниченном пространстве с начальными условиями. Функция Грина уравнения как обобщенное решение. Вывод ее явного вида для одномерного случая. 32. Формула Пуассона дл решения задачи о распространении колебаний в неограниченной двумерной области с начальными условиями. 33. Формула Пуассона дл решения задачи о распространении колебаний в неограниченной трехмерной области с начальными условиями. 34. Нелинейное уравнение Кортевега-де Фриза.
35. Нелинейное уравнение переноса. Ударная волна. Уравнение Бюргерса. Основная учебная литература. 1. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М.: Изд-во МГУ, 2004 2. Будак Б.Н., Самарский А.А., Тихонов А.Н., Сборник задач по математической физике. М.: Физматлит, 2004 3. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.
«Наука»; 2008. Дополнительная учебная литература. 1. Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М.: Наука, 1981 2. Мартинсон Л,К., Малов Ю.И., Дифференциальные уравнения математической физики, М.: Изд-во МГТУ, 2006 3. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Сборник задач по уравнениям математической физики, М.: Физматлит, 2003 4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Изд.4-е, М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011, - 240 стр. 5.
Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ! Механика сплошной среды,Т.1.-Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана.-2011.-463 с. ДИСЦИПЛИНА 3. Дифференциальная геометрия и основы тензорного исчисления Алгебра тензоров в 3-х мерном евклидовом пространстве Криволинейные системы координат в области евклидова пространства. Примеры. Локальные векторы базиса.
Якобиевы и метрические матрицы. Правили расстановки индексов. Векторные поля, алгебраические операции с векторными полями. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение и двойное векторное произведение. Геометрическое определение тензора 2-го ранга. Операции с тензорами. Компоненты тензора. Базисные тензоры. Скалярное умножение тензоров. Диады. Поле тензора 2-го ранга. Алгебраические операции с тензорами.
Собственные значения тензора. Разложение тензоров по собственному базису. Определение тензора и-го ранга. Правила преобразования компонент тензора при переходе к новой системе координат. Алгебра тензоров на линейных пространствах Тензорное произведение линейных пространств. Определение тензора 2-го ранга на линейном пространстве. Диадный базис.
Тензоры высших рангов. Тензоры на сопряженном пространстве. Изменение компонент тензоров при замене базиса. Операции с тензорами. Независимые компоненты тензоров. Тензорный анализ в 3-х мерном евклидовом пространстве. Символы Кристоффеля, их свойства. Определение ковариантной производной скаляра и вектора. Набла-оператор. Ротор вектора, дивергенция вектора. Ковариантные производные тензора 2-го ранга, Дивергенция и ротор тензора.
Теорема Риччи. Ковариантные производные 2-го порядка. Геометрия римановых пространств и пространств аффиной связности. Элементарное многообразие. Касательное пространство. Риманово пространство. Тензоры на элементарном многообразии. Коэффициенты связности в римановом пространстве. Ковариантное дифференцирование в римановом пространстве. Абсолютная производная тензора. Параллельный перенос.
Определение пространств аффинной связности. Ковариантное дифференцирование в пространстве аффинной связности. Тензоры кручения, кривизны Римана-Кристоффеля. Риманово пространство аффинной связности. Тензорное описание кривых в 3-х мерном евклидовом пространстве. Способы задания кривых. Длина дуги. Векторные характеристики кривых. Кручение и кривизна кривой. Сопровождающий трехгранник. Формулы Френе, их механический смысл. Уравнение касательной, нормали и бинормали, Теория поверхностей в 3-х мерном евклидовом пространстве. Способы задания поверхностей. Локальные векторы базиса и метрическая матрица на поверхности.
Тензоры на поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Элементарная площадка поверхности. Вторая квадратичная форма. Кривые на поверхности. Векторы нормальной и геодезической кривизны. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье. Главные кривизны поверхности. Гауссова и средняя кривизны. Классификация точек поверхности. Индикатриса Дюпена.
Линии кривизны. Геодезические линии, экстремальное свойство геодезических. Асимптотические линии. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадьповерхности. Перечень вопросов 1. Дать определение локальных векторов базиса (основных и взаимных). Как связаны локальные векторы базиса с метрической матрицей? 2. Дать определение векторного произведения, используя символы Леви-Чивиты. Сформулировать и доказать свойства символов Леви-Чивиты 3. Алгебраические операции с тензорами (сложение, умножение на скаляр). Компоненты тензоров. Теорема о разложении тензора по базисным тензорам. Единичный тензор, скалярное умножение тензоров.
4. Дать определение транспонированного, симметричного, кососимметричного тензоров. Вывести выражения для их компонент. Геометрическое представление этих тензоров. 5. Дать определение обратного, ортогонального тензоров. Вывести выражения для их компонент. Геометрическое представление этих тензоров. Собственные значения тензора второго ранга. Разложение тензора по собственному 6. базису. Сформулировать теорему о собственных значениях ортогонального тензора второго 7. ранга. 8. Сформулировать и доказать теорему о связи кососимметричного тензора и аксиального вектора.
9. Определение тензора 2-го ранга на линейном пространстве с использованием классов эквивалентности. 10. Диадньш базис. 11. Тензоры высших рангов. Пример тензора третьего ранга. 12. Набла-оператор, ковариантная производная компонент вектора и тензора второго ранга. 10 13. Символы Кристоффеля, их классификация. Связь символов Кристоффеля с метрической матрицей. 14. Определение дивергенции тензора и ротора тензора.
Сформулировать теорему о градиенте тензора. 15. Сформулировать и доказать теорему Риччи. 16. Дифференцирование произведения тензоров. 17. Свойства ковариантнык производных. Ковариантное дифференцирование сумм. Дифференцирование произведений вектора и тензора на скаляр. 14. Доказать, что: Ч(а ° Ь) = (Ч ® а) ° Ь + (Ч ® Ь) ° а 15. Доказать,что: Ч®(ах Ь) = (ЧДха) х Ь вЂ” (Ч®Ь) ха 16. Доказать,что: Ч (а х Ь) = (Ч ха) Ь вЂ” (Чх Ь) ° а 17. Доказать, что: Ч (а Дх Ь) = (Ч а) ® Ь + а Ч З Ь 18, Доказать„что: Ч х (а х Ь) = Ь ° Ч ® а+ а(Ч ° Ь) — Ь(Ч а) — а.
Ч ® Ь 19. Доказать,что: Чх (а(х> Ь) = (Ч ха) Дх Ь вЂ” а х(ЧОх Ь) 20. Доказать, что: Ч ® (Т ° а) = (Ч ® Т) ° а+ (Ч ® а) Т' 21. Доказать,что: ЧОх(а ° Т) = (Ч®а) Т+ (Ч®Т') а 22, Доказать, что: Ч ° (Т а) = (Ч ° Т) а+ Т" (Ч 1х1 а)г 23. Доказать,что: Ч (а ° Т) = (Ч Т') ° а+Т" Ч®а 24.
Доказать, что: Ч ° (Т х а) = (Ч Т) х а + (Т' ° Ч) х а 25. Доказать, что: Ч х (а Т) = (Ч х а) Т вЂ” а ° (Ч х Т), 26. Доказать,что: Чх(Т а) = (ЧхТ) а — (ТхЧ)" ° а 27. Доказать, что: Ч х (а Т) = (Ч х Т') а — (Т' х Ч) а 28. Доказать, что: Ч х (Т х а) = (Ч х Т) х а — (Т х Ч) х а 29. Доказать,что: Чх (ах Т) = — (Ч а)Т+ (Ч®а) Т вЂ” а Ч®Т+а®Ч Т 30. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве. Способы задания кривых. Длина дуги кривой. 31. Векторные характеристики кривой: касательный вектор, нормальный вектор, бинормаль, кривизна, радиус кривизны 32.
Вывод формул Френе. 33. Сопровождающий трехгранник, кривизна, кручение 34. Дать определение 1-й квадратичной формы поверхности. Вывести связь 1-ой квадратичной формы с длиной кривой на поверхности. Вычисление площади поверхности. 35. Дать определение 2-ой квадратичной формы поверхности. 36. Ортогональные траектории для заданного семейства кривых на поверхности. 37. Деривационные формулы. 38.
Главные направления и главные кривизны. Средняя и Гауссова кривизны. Типы точек поверхности. 39. Геодезические линии, экстремальное свойство геодезических. 40. Нормальная кривизна. Асимптотические линии. Основная литература 1. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. - М.:Высшая школа, 2004, 575 с. 2. Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ! Механика сплошной среды.Т.1.-Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана.-2011.-463 с. 3. Мак-Конел А.Дж.
Введение в тензорный анализ. СПБ.: Лань, 2006, 412 с. 4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: СПБ: Лань, 2005, 376 с. 5. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во.МГУ, 2004, 286 с. 6. Погорелов А.В. Дифференпиальная геометрия, — М.: Физматлит„2005.— 176 с. 7. Мищенко А.С., Соловьев 1О.П., Фоменко А.Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
