Математика и компьютерные науки (ФН11)

федеральное государственное бюджетное образовательное увреждениевысшего профессионального образованна «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (МГТУ им. Н.Э. Баумана) УТВЕЖДА1О Первый проректор— проректор по учебной работе МГТУ6%, Й;Зрййумаиа =------.~ . " "' " '";, "'::,„'')в'.:Вятича,цалкии ВЬо ... ' '„сь'~~~, о ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В МАГИСТРАТУРУ по направлению подготовки О2.04.01 м о лесные на~к код и наименование направлении подготовки Факультет Аэрокосмический (АК) Фундаментальные науки Полное наименование факультета Ссокрансенное иаименованне) Кафедра(ы) Вычислительная математика и математическая физика (ФН11) Полное наименование кафедры (сокранГенное наилгенование) Москва, 2015 г.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ К вступительным испытаниям в магистратуру допускаются лица, имеющие документ государственного образца о высшем образовании любого уровня (диплом бакалавра или специалиста). Лица, предъявившие диплом магистра, могут быть зачислены только на договорной основе. Прием осуществляется на конкурсной основе по результатам вступительных испытаний. Программа вступительных испытаний в магистратуру по направлению подготовки; 02.04.01 Математика и компьюте ные на ки код и наименование направления подготовки составлена на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования подготовки бакалавра по направлению: 02.03,01 Математика н компьюте ные на ки код и наименование направления подгатоики и охватывает базовые дисциплины подготовки бакалавров по названному направлению. Программа содержит описание формы вступительных испытаний, перечень вопросов для вступительных испытаний и список литературы рекомендуемой для подготовки.

2. ЦЕЛЬ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Вступительные испытания призваны определить степень готовности поступающего к освоению основной образовательной программы магистратуры по направлению: 02.04,01 Математика и компьюте ные на ки код и наименование направления подготовки 3. ФОРМА ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Вступительные испытания проводятся в письменной форме в соответствии с установленным приемной комиссией МГТУ расписанием.

Поступающему предлагается ответить письменно на 10 вопросов и задач билета„ расположенных в порядке возрастания трудности и охватывающих содержание разделов и тем программы соответствующих вступительных испытаний. На ответы по вопросам и задачам билета отводится 210 минут. Результаты испытаний оцениваются по стобалльной шкале. Результаты испытаний оглашаются не позднее чем через три рабочих дня. 4. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ Письменное испытание проводится по программе, базирующейся на основной образовательной программе бакалавриата по направлению 02.03.01 Математика и компьюте ные на ки код н наименонание направления подготовки Перечень разделов и тем дисциплины, включенные в письменное испытание ДИСЦИПЛИНА 1.

Алгебра Основы алгебры Матрицы. Действия с матрицами. Ассоциативность произведения матриц. Понятие обратной матрицы. Определители и-го порядка. Свойства определителей. Теоремы об определителях. Разложение определителя по строке. Правило Крамера. Вычисление определителей методом Гаусса. Теорема об определителе произведения матриц. Вычисление обратной матрицы. Комплексные числа.

Векторные пространства Жорданова нормальная форма Приведение матрицы оператора к жордановой нормальной форме, Пример. Х вЂ” матрицы. Инвариантные множители. Единственность жордановой нормальной формы. Минимальный и характеристический многочлены линейного оператора.

Теорема Гамильтона — Кэпи. Сопряженное пространство. Пространство, сопряженное к евклидову. Перечень вопросов Ассоциативность произведения матриц. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Приведение квадратной матрицы элементарными преобразованиями к треугольному виду. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметричность определителя. Вычисление определителя методом Гаусса. 1.

2. 3. 4. б. Векторные пространства, Размерность и базис. Подпространства. Изоморфность пространств одной размерности. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о связи их размерностей. Прямая сумма подпространств. Матрица перехода. Изменение координат при переходе к другому базису. Евклидовы пространства, Процесс ортогонализации. Изоморфность евклидовых пространств одной размерности.

Линейные, билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби. Критерий Сильвестра. Определитель Грамма. Закон инерции. Понятие линейного оператора. Матрица оператора. Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису.

Собственные числа и собственные векторы. Теорема о существовании собственного вектора у оператора в комплексном пространстве. Независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Диагонализируемые операторы. Инвариантные подпространства. Существование двумерного инвариантного подпространства у оператора в действительном пространстве.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Ортогональные операторы. Самосопряженные операторы. Теорема о существовании собственного базиса. Приведение квадратичной формы к главным осям. Теорема о приведении к главным осям пары форм, из которых одна положительно определена. 7.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 17. 18. 19. 20. 22. 23. 24. 26. 27. 28. Теорема о разложении определителя по строке. Теорема об определителе с нулевым углом. Правило Крамера, Теорема об определителе произведения матриц. Вычисление обратной матрицы. Аксиомы и примеры линейных пространств. Размерность и базис линейного пространства.

Сформулировать и доказать теорему о единственности разложения элемента линейного пространства по базису. Координаты вектора. Линейные операции нал векторами в базисе. Переход к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Подпространства линейного пространства. Примеры. Вещественное евклидово пространство. Аксиомы и примеры. Норма вектора.

Аксиомы нормы. Сформулировать и доказать теорему о нормировании произвольного вещественного евклидова пространства. Сформулировать и доказать неравенство Коши-Буняковского . Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства, сформулировать и доказать теорему о его существовании. Процесс ортого пали зации Грамма- Шмидта (привести алгоритм ортогонализации). Выражение координат вектора в ортонормированном базисе. Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.

Линейные операторы: определение, примеры. Матрица линейного оператора в данном базисе, Ядро и образ оператора, Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя и следа относительно замены базиса. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен, его независимость от базиса. След линейного оператора. Собственные подпространства. Свойства собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного числа и связь между ними.

Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Критерий существования такого базиса (без док-ва). Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и различных характеристических корней. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существование собственного ортонормированного базиса самосопряженного линейного оператора. Ортогональные преобразования координат евклидова пространства, ортогональные матрицы. Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.

Билинейная и квадратичные формы. Координатная и матричная форма записи. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Ранг квадратичной формы, его инвариантность относительно выбора базиса. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием.