Олимпиада 2015 год Тур №1 Ответы

Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Задача 1Какуюосадкудолжнаполучить опора В по вертикали,чтобы точка А опустилась навеличину∆. Балка и тягаизготовленыизодинаковогоматериала с модулем упругости Е.Размер l =10a.Решение.После осадки на балку со стороны стержня будет действовать сила N, равнаяпродольной силе в тяге.Определив от этой силы прогиб в центре балки (например по методуМаксвелла-Мора) получим:∆= 348откуда,Опускание точкиВТаким образом получим:=∆483.(1)равно опусканию точки А, плюс удлинение тяги АВ.∆ = ∆ +Ат.Подставляя в последнюю формулу силу N из (1), получим:4484812 ∆ 3 ∆23∆ = ∆ +=∆+= ∆ + ∆100 2 = 2∆Ат(0,2)2(напомним что= 10).

Ответ: опора В должна получить осадку ∆.1Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Задача 2.Упругий стержень помещен в замкнутый, жесткий, закрепленный сосуд,заполненный жидкостью. Жидкость окружает стержень со всех сторон. Стерженьсделан из изотропного упругого материала с модулем упругостиикоэффициентом Пуассона = 0,25 . Давление жидкости повышается до весьмабольшого значения .Построить эпюру продольных сил в стержне и определить перемещение еготорцевого сечения по горизонтали. Собственным весом жидкости и стержняпренебречь.Напряжения в стержне будут повторять напряжения в жидкости, т.е.

егоматериал будет испытывать всестороннее сжатие = = = − . Зная, чтопродольная сила равняется напряжению, умноженному на площадь, легко строимэпюру продольных сил:2Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Для определения перемещения найдем сначала относительную деформацию вматериале стержня с использованием обобщенного закона Гука. =−−−=−−−−=−(1 − 2) .Деформация будет одинаковая во всех направлениях и во всех точках стержня.Чтобы определить изменение длины стержня нужно умножить относительнуюдеформацию на его исходную длину. Поскольку левое сечение стержня закреплено,изменение его длины и будет искомым перемещением.

= ∆ = ∙ 2 =Подставив сюдаокончательно получим: = ∆ =−−(1 − 2)2.заданное. Знак минусзначениекоэффициентаПуассона = 0,25,указывает на то, что стержень укорачивается исоответственно торцевое сечение перемещается налево.Ответ:=−3Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Задача 3Балка имеет две шарнирно неподвижные опоры. Найти напряжение в точкеК нижнего волокна балки.Решение.4Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Задача является статически неопределимой (см.

рис.). Можно представить, чтонапряжения возникают от силы и от пока неизвестной нам горизонтальной опорнойреакции . Определим сначала напряжение в нижнем волокне от силы . Эта задачавполне обычная. В сечении под силой напряжение в нижнем волокне определится поформуле==4ℎ26=3 2 ℎ2.По длине нижнего волокна эпюра напряжений будет меняться также, как эпюрамоментов.

Таким образом эпюра в нижнем волокне только от силы будет иметь вид,показанный на рис. а).Горизонтальная опорная реакция будет вызывать в стержне внецентренноесжатие, поэтому напряжение в нижнем волокне будет постоянным (см. рис. б)).Окончательная эпюра получится суммированием эпюр а) и б). Ординату в эпюренапряжения определим с таким расчетом, чтобы окончательная эпюра5Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015напряжения в нижнем волокне имела бы нулевую площадь.

Соответствующаяокончательная эпюра напряжений показана на рис. с).Теперь обоснуем то положение, что площадь окончательной эпюры напряжений должна быть нулевой. Для этого определим упругое удлинение нижнего волокна:1∆ = ∫0 =∫0 = ∫0 =1Ωσ =0.Полное удлинение отрезка А В мы приравняли нулю т.к. в точке В стоитшарнирно неподвижная опора. Таким образом обосновано принятое нами положение отом, что площадь окончательной эпюры напряжений в нижнем волокнеΩσ = 0равна нулю. На рис. б) показана окончательная эпюра напряжений.

Средняя ееордината даст искомый ответ:Ответ::= =3 4 ℎ2..6Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Задача 4Материал стержня однородный, упругий, изотропный с модулем упругости = 2 ∙ 105 МПа и коэффициентом Пуассона = 0,3 . В некоторой точке k замереныглавные деформации 1 = 2 = 1,5 ∙ 10−4 ,3 = −5 ∙ 10−4 .Найти главныенапряжения в точке k. Какой вид напряженного состояния имеет в место в этойточке.Решение.Заметим, что 1 = 2 = −0,33или, при значении коэффициента Пуассона = 0,3 ,1 = 2 = −3 .

Это отвечает случаю линейного напряженного состояния- осевому сжатию 1 = 2 = 0;3 = ∙ 3 = 2∙ 105 ∙(-5∙ 10−4 ) = −100 МПа.Ответ:В точке k напряженное состояние - одноосное сжатие с главныминапряжениями = = и = − МПа.7Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Задача 5Система изготовлена из одинаковых стержней, продольные оси которыхвзаимно перпендикулярны. Известны , , .Определить наибольший прогиб.Решение.8Ι тур45 − ой Московской олимпиады по сопротивлению материаловМИИТ 08.04.2015Сначала можно найти перемещение точки С с использованием формулы дляпрогиба шарнирно опертой балки при действии сосредоточенной силы (см. рис.).Прогиб консоли, параллельной оси относительно точки С, будет33(см.рис.).

Сложив полученные прогибы, получим максимальный прогиб,который безусловно будет иметь место на свободных концах перекрестия +33=33+33=233.Ответ: Максимальный вертикальный прогиб будет возникатьна концах свободных консолей. Он будет равен.9.