А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин

А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.СиротинТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИМ.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.Книга предназначена для начального ознакомления с основами теориивероятностей и математической статистики и развития навыков решенияпрактических задач.Основное внимание уделяется краткости изложения полного курса «Теориивероятностей и математической статистики», состоящего из теоретического ипрактического материала. Структура изложения максимально приближена клекционным и практическим занятиям.

Пособие может одновременно играть рольучебника, задачника и справочника.Для преподавателей ВУЗов, инженеров и студентов технических иэкономических специальностей.СОДЕРЖАНИЕПредисловие редактора6Предисловие7Список основных сокращений и обозначений10Глава I. Случайные события13§ 1. Основные понятия131.1. Пространство элементарных событий (13).

1.2. Алгебра событий(14). 1.3. Вероятность события (15).§ 2. Основные свойства вероятности172.1. Аксиоматические свойства (17). 2.2. Свойства вероятности дляполной группы событий (19). 2.3. Типовые задачи (21).§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей303.1. Формула умножения вероятностей (30). 3.2. Формула сложениявероятностей (32). 3.3. Формула полной вероятности (33). 3.4.Формула Байеса (33). 3.5.

Формула Бернулли (34). 3.6. Типовыезадачи (35).§ 4. Задачи для самостоятельного решения42Глава II. Случайные величины53§ 5. Основные понятия535.1. Функция распределения (53). 5.2. Дискретные случайныевеличины (54). 5.3. Непрерывные случайные величины (56). 5.4.Числовые характеристики случайных величин (58). 5.5.Характеристическая функция (61).

5.6. Квантиль (62). 5.7. Типовыезадачи (63).§ 6. Основные дискретные распределения686.1. Биномиальное распределение (68). 6.2. Распределение Бернулли(70). 6.3. Распределение Пуассона (71). 6.4. Типовые задачи (73).§ 7. Основные непрерывные распределения767.1. Равномерное распределение (76). 7.2. Экспоненциальноераспределение (78). 7.3. Нормальное распределение (79). 7.4.Распределение Вейбулла (82).

7.5. Логарифмически нормальноераспределение (83). 7.6. Типовые задачи (84).§ 8. Задачи для самостоятельного решенияГлава III. Случайные векторы§ 9. Двумерные случайные величины9.1. Функция распределения (93). 9.2. Плотность распределения (96).9.3. Типовые задачи (99).§ 10. Условные распределения10.1. Условная функция распределения (105). 10.2. Условнаяплотность распределения (107).

10.3. Условное математическоеожидание (109). 10.4. Корреляционная зависимость (111). 10.5.Двумерное нормальное распределение (113). 10.6. Типовые задачи(114).§ 11. Многомерные случайные величины11.1. Основные характеристики многомерных СВ (119). 11.2.Многомерное нормальное распределение (122). 11.3. Биржевойпарадокс (123). 11.4. Типовые задачи (125).§ 12. Задачи для самостоятельного решенияГлава IV.

Случайные последовательности§ 13. Закон больших чисел13.1. Виды сходимости последовательностей СВ (132). 13.2.Сходимость усредненной суммы независимых СВ (135). 13.3.Типовые задачи (138).§ 14. Центральная предельная теорема14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ (141).

14.2.Сходимость частоты (144). 14.3. Типовые задачи (146).§ 15. Задачи для самостоятельного решенияГлава V. Математическая статистика§ 16. Основные выборочные характеристики16.1. Основные понятия (152). 16.2. Вариационный ряд (153). 16.3.Выборочная функция распределения (154). 16.4. Гистограмма (156).16.5. Выборочные моменты (157). 16.6. Типовые задачи (159).§ 17. Основные распределения в статистике17.1.

Распределение хи-квадрат (161). 17.2. Распределение Стьюдента(162). 17.3. Распределение Фишера (164).§ 18. Точечные оценки18.1. Основные понятия (165). 18.2. Метод максимальногоправдоподобия (169). 18.3. Метод моментов (172).§ 19. Интервальные оценки19.1. Основные понятия (173). 19.2. Использование центральнойстатистики (174). 19.3. Использование точечной оценки (180). 19.4.Типовые задачи (182).§ 20. Проверка статистических гипотез20.1. Основные понятия (183). 20.2. Проверка гипотезы о значении879393105119128132132141149152152161165173183параметра (185).

20.3. Проверка гипотезы о виде закона распределения(186). 20.4. Проверка гипотезы о независимости двух СВ (188). 20.5.Проверка гипотезы об однородности наблюдений (189). 20.6. Типовыезадачи (190).§ 21. Задачи для самостоятельного решения196Глава VI. Приложения математической статистики198§ 22. Регрессионный анализ19822.1. Модели регрессии (198). 22.2. Схема Гаусса-Маркова (199). 22.3.Простая линейная регрессия (201). 22.4. Типовые задачи (204).§ 23. Метод статистических испытаний20523.1. Основные понятия (205). 23.2.

Вычисление вероятности события(205). 23.3. Вычисление определенного интеграла (208). 23.4. Типовыезадачи (211).§ 24. Задачи для самостоятельного решения212Ответы213Таблицы216Список литературы219Предметный указатель221ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬГруппировка выборки 156Аксиомы теории вероятностей 16Диаграммы Венна 14Алгебра Буля 15Дисперсия выборочная 157— событий 15— — несмещенная 158Биржевой парадокс 124— случайной величины 59Вероятность доверительная 174Доверительная область 183— события 16Доверительный интервал 174— — апостериорная 34— — право (лево) сторонний 174— — априорная 33— — центральный 174— — условная 19Закон больших чисел 135Выборка неоднородная 152— — — усиленный 136— однородная 152— распределения СВ 53Выборочная дисперсия 157Информация Фишера 167— квантиль 154Квантиль 62Выборочное среднее 157— выборочная 154Выборочные начальные иКовариация 111центральные моменты 157Коэффициент корреляции 111Гамма-функция 83— — выборочный 158Гипотеза 19Кривая Гаусса 77— о виде закона распределения 186— регрессии 109— — значении параметра 185Кривые Пирсона 161— — независимости 188— Стьюдента 163— об однородности 189— Фишера 164— статистическая 183Критерий статистический 183Гистограмма 156— хи-квадрат (Пирсона) 186, 188,Группа событий полная 19189— эффективности 168Критическая область 183Линия регрессии 204ММ-оценка 172МНК-оценка 199, 202МП-оценка 169Математическое ожидание СВ 58— — условное 109, 110— — n-мерной СВ 119Матрица ковариационная 119— корреляционная 120— ортогональная 175— плана 199— регрессионная 199Медиана 62Метод максимальногоправдоподобия 170— моментов 172— наименьших квадратов 199, 202— статистических испытаний(Монте-Карло) 205Многоугольник распределения 55Моменты случайной величиныначальные 59— — — — выборочные 157— — — центральные 59— — — — выборочные 157Неравенство Рао-Крамера 168— Чебышева 134Область доверительная 183— критическая 183Опыт 13— сводящийся к схеме случаев 19Отклик 198Оценка интервальная 174— максимального правдоподобия169— метода моментов 172— — наименьших квадратов 199, 202— несмещенная 165— робастная 203— состоятельная 166— — сильно 166— точечная (выборочная) 165— эффективная 166— R-эффективная 168Ошибка 1-го (2-го) рода 184— предсказаниясреднеквадратическая 203План эксперимента 198Плотность распределения(вероятности) двумерной СВ 96— — двумерной нормальнораспределенной СВ 113— — случайной величины 56— — условная 107— — n-мерной СВ 119Полигон частот 157Поправки Шеппарда 188Порядковая статистика 153— экстремальная 153Правило « k сигм» 82Пространство выборочное 152— элементарных событий 13Прямая среднеквадратическойрегрессии 204Разряд 156Распределение Бернулли 70— Вейбулла 82— Коши 163— Пуассона 71— Стьюдента 162— Фишера 164— биномиальное 68— логнормальное 83— нормальное (гауссовское) 79— равномерное 76— треугольное (Симпсона) 99— хи-квадрат 161— экспоненциальное 78Реализация выборки 152— случайной величины 53Регрессия 109— параболическая 200— простая линейная 201Регрессор 198Решающее правило 183Ряд вариационный 153— распределения 54— статистический 156Свойство счетной аддитивностивероятности 32— устойчивости частоты 13, 16Система уравнений метода моментов172—— — правдоподобия 170Случай 19— благоприятствующий событию 19Случайная величина 53— — абсолютно непрерывная 56— — двумерная 93— — — дискретная 95— — — непрерывная 96— — дискретная 54— — непрерывная 56— — нормальная (гауссовская) 79— — — стандартная 80— — нормированная 59— — сингулярная 56— — центрированная 59— — n-мерная 119— — — нормально распределенная122Случайная последовательность 135— — независимых СВ 131Случайные величиныкоррелированные 111— — —отрицательно 112— — — положительно 112— — независимые 95, 120— — некоррелированные 111— — — попарно 120Случайный вектор 93Событие 13, 16— достоверное 14— невозможное 13— почти никогда не происходящее17— происходящее почти наверное 17— противоположное 14— случайное 13, 16— элементарное 13Событий произведение 14— разность 14— сумма 14События независимые 30— — в совокупности 30— — попарно 30— несовместные 14— равные 14Среднее выборочное 157— значение СВ 58— квадратическое отклонение СВ 59Статистика 153— порядковая 153— — экстремальная 153— центральная 174Статистическая гипотеза 183— — альтернативная 183— — основная 183— — простая 183— — сложная 183Статистическая модель 153— — параметрическая 153— — — регулярная 167Статистический критерий 183Схема Бернулли 33— Гаусса-Маркова 199Сходимость случайнойпоследовательности в среднемквадратическом 134— — — по вероятности 133— — — — распределению 132— — — почти наверное 133Теорема Бернулли 137— Гаусса-Маркова 199— Гливенко-Кантелли 155— Колмогорова 137— Ляпунова 142— Муавра-Лапласа 144— — интегральная 145— — локальная 145— Пуассона 72— Фишера 176— Чебышева 136— о нормальной корреляции 114— центральная предельная 141Уровень доверия 174— значимости 184— надежности 174Условие Ляпунова 141— независимости 72— нормировки 55, 56, 95— ординарности 72— стационарности 72Условная плотность распределения(вероятности) 107— функция распределения 105Формула Байеса 34— Бернулли 34— классическая вычислениявероятности 20— полного математическогоожидания 110— полной вероятности 33— свертки плотностей 98— сложения вероятностей 32— умножения вероятностей 30Функция Лапласа 80— единичная ступенчатая(Хевисайда) 55— правдоподобия 166— — логарифмическая 167— распределения— — выборочная (эмпирическая) 155— — двумерной СВ 93— — случайной величины 53— — условная 105— — n -мерной СВ 119— теоретической регрессии 198— характеристическая 61Центральная предельная теорема 141Частота события 15— «успехов» 137, 144Число испытаний гарантирующее206— перестановок 23— сочетаний 28σ-алгебра 16.