Math.an.II (Билеты для РК, МТ и Э5), страница 5

1. Иллюстрация к теореме Ферма.§2.Теорема Ролля.Доказательство. Так как функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] , онапринимает на этом сегменте свое наибольшее ( M ) и свое наименьшее ( W ) значения(одно из свойств функции, непрерывной на отрезке):c  [ a , b ] : f ( c )  Mc '  [a , b] : f (c ')  W1) Допустим, для начала, что наибольшее и наименьшее значения равны: W  M .Очевидно, что в этом случае на отрезке [ a , b ] f ( x )  const . Действительно, так как W иM а – наименьшее и наибольшее значения функции, тоW  f ( x)  M , x  [ a, b ].Но, с учетом того, чтоW  M,M  f ( x)  M .Следовательно,f ( x )  M  const , x  [ a , b ].Производная постоянной равна нулю в любой точке и утверждение теоремы в этомпростейшем случае выполняется.2) Допустим теперь, что W  M .

В этом случае, одно из этих чисел не совпадает созначением функции на границах сегмента f ( a )  f (b) . Пусть, для определённости, этоM . Тогда функция f ( x ) принимает свое наибольшее значение не на границе сегмента, а внекоторой внутренней точке c интервала (a , b) :f (c )  M , c  ( a , b ) .Рассмотрим произвольную окрестность u ( c) точки c , лежащую внутри интервала (a , b) :u ( c)  ( a , b ) .В этой окрестности функция f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы Ферма, а значитf '(c)  0.Действительно,Теорема доказана.На рис. 2 представлена иллюстрация теоремы Ролля. В точке с касательная кграфику параллельна оси абсцисс.Замечание.

Если функция y  f ( x) дифференцируема не во всех точках интервала(a , b) , то утверждение теоремы может оказаться неверным, т.е. на ( a , b ) может неоказаться точки c , в которой f '(c )  0 . Так на рис. 3 представлен график функцииy  1  3 x2на сегменте x  [1,1] . Эта функция непрерывна да данном отрезке и25принимает одинаковые значения на его границах, однако, не дифференцируема в точкеx  0 . Очевидно, что нигде внутри интервала (1,1) производная в ноль не обращается.Рис.

2. Иллюстрация к теореме РолляРис. 3. Контрпример к теореме Ролля.§3.Теорема Лагранжа.Теорема. Пусть функция f ( x ) удовлетворяет следующим условиям1. Непрерывна на отрезке [a, b] ;2. Дифференцируема на интервале (a , b) .Тогда найдется точка c  ( a , b) такая, что выполняется равенство:f (b )  f ( a )f '(c) .(1)baДоказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F ( x )  f ( x)   x , где – некоторая постоянная. Эта функция непрерывна на [ a , b ] и дифференцируема на (a , b) , всилу соответствующих свойств функций f ( x ) и  x . Постоянную  выберем из условияF ( a )  F (b ) :26f ( a )   a  f (b)   b,откудаf (b)  f (a )baТеперь функция F ( x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. По теореме Роллясуществует точка c  ( a , b) такая, что F '(c)  0 , т.е.f '(c )    0 ,илиf '(c )   .С учетом найденного выражения  , имеем:f (b )  f ( a )f '(c) baТеорема доказана.Формула (1) называется формулой Лагранжа.На рис.

4. представлена геометрическая иллюстрация теоремы Лагранжа. Как известно,производная функции равна тангенсу угла между касательной к ее графику иположительным направлением оси абсцисс, значит f '(c )  tg . В правой части равенства(1) стоит отношение катета BC к катету AB прямоугольного треугольника ABC , т.е.тангенс угла  ' между прямой AC , проходящей через граничные точки дуги графика, иположительным направлением оси абсцисс:f (b)  f ( a) tg '.baТаким образом, формула Лагранжа означает, что tg  tg ' и геометрический смыслтеоремы Лагранжа состоит в том, что найдется точка c , в которой касательная к графикуфункции f ( x ) параллельна хорде AC , стягивающей граничные точки дуги графика.Рис.

4. Иллюстрация к теореме Лагранжа.Замечание. Формула (1) справедлива не только при b  a , но и при b  a .Действительно, если b  a , применяя теорему Лагранжа на отрезке [b, a ] , получим:f ( a )  f ( b)f '(c) , c  (b, a) .a bУмножив числитель и знаменатель дроби в правой части на 1 , снова придем к равенству(1).27Замечание. Пусть функция y  f ( x) непрерывна и дифференцируема в некоторойокрестности точки x0 . Пусть x – приращение аргумента (не выводящее из этойокрестности), а y – соответствующее приращение функции.

Пусть, для определенностиx  0 . Применяя теорему Лагранжа на отрезке [ x0 , x0  x ] , получим:yf '(c ) , c  ( x0 , x0  x) ,xилиy  f '(c) x .Эта формула, связывающая конечные приращения функции и аргумента с производнойфункции, называется формулой конечных приращений Лагранжа. Из первого замечанияочевидна, что она справедлива также для x  0 (только, в этом случае, c  ( x0  x, x0 ) ).Используя вспомогательный параметр  : 0    1 , можно записать формулу конечныхприращений в виде:y  f '( x0  x)x(здесь c представлено как c  x0  x ).Замечание.

Теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремыЛагранжа. Действительно, добавив к условиям теоремы Лагранжа условие f (b )  f ( a ) , изформулы Лагранжа получим:f '(c )  0 .Известно, что производная постоянной равна нулю. Основываясь на теоремеЛагранжа, можно показать и обратное: если производная функции равна нулю, то этафункция есть постоянная.Лемма (следствие теоремы Лагранжа). Пусть f '( x)  0 на интервале (a , b) . Тогдаf ( x )  const на этом интервале.Доказательство. Выберем произвольные x1 , x2  (a, b) , такие, что x2  x1 .

На[ x1 , x2 ] выполнены условия теоремы Лагранжа (действительно, раз функция f ( x )дифференцируема на интервале (a , b) , то она непрерывна на этом интервале, сегмент же[ x1 , x2 ] вложен в интервал (a , b) ). По теореме Лагранжа,c  ( x1 , x2 ) : f ( x2 )  f ( x1 )  f '(c)( x2  x1 ) ,Но, т.к. f '( x)  0 x  ( a , b ) и, в частности, f '(c )  0 , то f ( x2 )  f ( x1 )  0  f ( x2 )  f ( x1 ) .В силу произвольности выбора x1 и x2 , приходим к выводу, что значения функций f ( x ) влюбых двух точках (a , b) совпадают, т.е. f ( x )  const на (a , b) .Лемма доказана.§4.

Теорема Коши.Теорема. Пусть заданы две функции f ( x ) и  ( x) и пусть выполняются следующиеусловия:1) f ( x ) и  ( x ) непрерывны на отрезке [a, b] ;2) f ( x ) и  ( x) дифференцируемы на интервале (a , b) ;3)  '( x)  0, x  (a, b) .Тогда c  ( a , b), такая, что справедливо равенство:f '(c ) f (b)  f (a ). '(c)  (b)   (a)(2)28Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функциюF ( x)  f ( x )   ( x) ,где  – некоторая постоянная.

Эта функция непрерывна на отрезке [ a , b ] (в силунепрерывности f ( x ) и  ( x ) на этом отрезке) и дифференцируема на интервале ( a , b ) (всилу дифференцируемости f ( x ) и  ( x ) на этом интервале). Выберем  из условияF ( a )  F (b) :f ( a )   (a )  f (b )   (b ) ( (b)   (a))  f (b)  f (a ).Чтобы выразить  , убедимся, что  (b)   (a)  0 . Действительно, если  (b )   ( a ) , тофункция  ( x) на [ a , b ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, следовательно,x0  (a, b) :  ( x0 )  0 , что противоречит третьему условию настоящей теоремы.Следовательно,  (b )   ( a ) иf (b)  f (a ). (b)   (a)Теперь функция F ( x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательноc  ( a , b ) : F '(c )  0 , т.е.f '(c)   '(c )  0 .С учетом выражения для  , отсюда получим:f '(c)f '(b)  f '(a) . '(c) '(b)   '(a)Теорема доказана.Замечание.

Также как и формула (1), формула (2) справедлива не только при b  a ,но и при b  a . Действительно, если b  a , применяя теорему Коши на отрезке [b, a ] ,получим:f '(c ) f (a )  f (b), c  (b, a) . '(c )  (a )   (b)Умножив теперь числитель и знаменатель дроби в правой части на 1 , снова придем кравенству (2).Замечание. Нетрудно убедиться, что теорему Лагранжа можно рассматривать какчастный случай теоремы Коши при  ( x )  x .§5. Правило Бернулли – Лопиталя.Сформулируем и докажем теорему, позволяющую легко вычислять пределы.Теорема. Пусть в некоторой окрестности u ( a ) точки a определены функции f ( x )и  ( x) , удовлетворяющие следующими условиям:1.f ( x ) и  ( x) дифференцируемы в u ( a ) ;2.f ( a )  0 и  ( a)  0 ;3. '( x)  0 , в u ( a ) ;f '( x) lim A.4.x a  '( x)29Тогда существуетf ( x)lim A.x a  ( x )Доказательство.

Пусть x  u (a ) . Тогда, при x  a , на отрезке [ a , x] (при x  a , наотрезке [ x, a] ) функции f и  удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно,c  (a, x) (либо, соответственно, интервалу ( x, a) ) такая, чтоf '(c ) f ( x )  f (a), '(c)  ( x )   (a )или, с учетом того, что f ( a )  0 и  (a)  0 ,f '(c ) f ( x). '(c)  ( x)Переходя к пределу при x  a , с учетом того, что отрезок [ a , x] ( [ x, a] ), внутри которогонаходится точка c в этом пределе стягивается в точку, т.е.

c  x , получим:f ( x)f '(c)f '( x )lim lim lim.x a  ( x )x a  '(c )x  a  '( x)Теорема доказана.0, при выполнении ряда0естественных условий, равен пределу отношения их производных:Итак, предел отношения функций, в случае неопределенности0f ( x) 0f '( x)lim lim.x a  ( x)x  a  '( x)Эта теорема представляет собой частный случай более общей теоремы, называемойправилом Бернулли-Лопиталя.Пример.0x  sin x 0lim lim(1  cos x)  0.x0x 0xЗамечание. При вычислении пределов, правило Бернулли-Лопиталя иногдаприменяется несколько раз.Пример.0x  sin x 01  cos xsin x 1lim lim lim .32x0x0x 0 6 xx3x6Дадим теперь общую формулировку правила Бернулли-Лопиталя, которая допускает, вопервых, неопределенность вида, во-вторых, произвольное стремление аргумента(например, x   ).Теорема (правило Бернулли-Лопиталя).

Пусть в некоторой окрестности u (*) точки* определены функции f ( x ) и  ( x) , удовлетворяющие следующими условиям:5.f ( x ) и  ( x) дифференцируемы в u ( a ) ;6.f ( a )  0 и  (a )  0 при x  * , или f ( a )   и  (a )   при x  * ;307. '( x)  0 , в u ( a ) ;f '( x) lim A.8.x a  '( x)Тогда существует0 f ( x) 0 f '( x)lim lim.x *  ( x)x *  '( x)Пример.1x 1 lim x  lim x  0 .x  ex  eЗамечание.

Правило Бернулли-Лопиталя дает достаточное, но необходимое условиеf ( x)f '( x)f ( x)существования lim. Если limне существует, то limвсё равно можетx *  ( x)x *  '( x)x *  ( x)существовать.Пример. Предел отношения функцийx  sin xlimx xс неопределенностьюсуществует и равен единице. Действительно,x  sin x sin x lim lim  1  1,x x xx sin xт.к. 0 при x   по теореме о произведении бесконечно малой на локальноxограниченную. В то же время, соответствующий предел отношения производных1  cos xlim lim(1  cos x) , очевидно, не существует.x x 1§6.