Math.an.II (Билеты для РК, МТ и Э5), страница 2

При этом A  f '( x0 ) .Доказательство. Покажем сначала, что если функция дифференцируема в точкеx0 , то она имеет в этой точке конечную производную, причем f '( x0 )  A . Для этогоразделим обе части равенстваy  Ax  o(x )на x . Имеем:yo(x ) A.xxПереходя к пределу при x  0 в обеих частях равенства и учитывая, что, поопределению б.м. высшего порядка малости,o(x )lim0,x  0 xполучим:yf '( x0 )  lim A,x 0 xчто и требовалось доказать.Покажем теперь, что если функция имеет в точке x0 конечную производную, тоона дифференцируема в этой точке, причем A  f '( x0 ) . Действительно, посколькуylim f '( x0 ) ,x  0  xпо теореме о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой,y f '( x0 )   (x) ,xгде  (x) – б.м. при x  0 .

Умножив обе части равенства на x , получимy  f '( x0 )x   (x )x .Очевидно, что второе слагаемое в правой части имеет высший порядок малости посравнению с x при x  0 :  (x)x  o(x ) . Действительно, ( x ) xlim lim  (x )  0 .x  0x 0xТаким образом, справедлива формулаy  Ax  o(x ) ,где A  f '( x0 ) .Теорема доказана.С учетом доказанной теоремы, формула, выражающая определение дифференцируемостифункции в точке, может быть записана в виде:y  f '( x0 )x  o(x ) .Теорема (о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции).

Еслифункция дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.Доказательство. Из определения дифференцируемости:y  Ax  o(x )очевидно, что при x  0 y  0 , но это и означает, что функция f ( x )непрерывна в точке x0 .Теорема доказана.8Замечание. Обратное не верно: из непрерывности функции не следует еедифференцируемость.Пример. Функция, график которой представлен на рис. 4 является непрерывной вточке x0 , но не является дифференцируемой в этой точке (не имеет в ней производной).§5. Правила дифференцирования.Теорема.

Производная постоянной равна нулю: C '  0 .Доказательство. Действительно, для функции y  C  const приращение в любойyyточке равно y  f ( x  x )  f ( x )  C  C  0 . Поэтому 0 и y '  lim 0.x0xxТеорема доказана.Теорема. Пусть существуют производные функций u ( x) и v( x) в точке x0 . Тогдасуществует также производная суммы этих функций y  u ( x )  v( x ) в точке x0 и она равнасумме производных:y '( x0 )  u '( x0 )  v '( x0 ) .Доказательство. Приращение функции y ( x) равноy  y ( x0  x)  y ( x0 )  u ( x0  x )  v( x0  x)  (u ( x0 )  v( x0 ))  u  v .Поэтомуyu  vuvy '( x0 )  lim lim lim lim u '( x0 )  v '( x0 ) .x  0  xx  0x 0 xx  0 xxПереход от предела суммы к сумме пределов осуществлен на том основании, чтопоследние по условию теоремы существуют.Теорема доказана.Теорема.

Пусть существуют производные функций u ( x) и v( x) в точке x0 . Тогдасуществует также производная произведения этих функций y  u ( x)v ( x ) в точке x0 и онаравнаy '( x0 )  u '( x0 )v ( x0 )  u ( x0 )v '( x0 ) .Доказательство. По определению приращения функции,u  u ( x0  x)  u ( x0 ) , v  v( x0  x)  v( x0 ) .Следовательно,u ( x0  x)  u ( x0 )  u , v( x0  x )  v( x0 )  v .Приращение функции y ( x) равноy  y ( x0  x)  y ( x0 )  u ( x0  x)v ( x0  x )  u ( x0 )v ( x0 )  (u ( x0 )  u )(v( x0 )  v)  u ( x0 )v( x0 )  (u ( x0 )  u )(v( x0 )  v)  u ( x0 )v( x0 )  u ( x0 ) v  v ( x0 )u  uv .Поэтомуu ( x0 )v  v( x0 )u  uvyvuuy '( x0 )  lim lim u ( x0 ) lim v ( x0 ) lim limv x  0  xx  0x  0 xx 0 xx  0 xx u ( x0 )v '( x0 )  v ( x0 )u '( x0 ) .Переход от предела суммы к сумме пределов осуществлен на том основании, чтопоследние по условию теоремы существуют.

Пределuulimv  lim lim v  u '( x0 ) lim v  0 ,x  0 xx  0 x x 0x 0поскольку функция v( x) дифференцируема, а следовательно непрерывна в точке x0 .Теорема доказана.Следствие. Постоянную можно выносить за знак производной:9(Cy ) '  Cy ' .Действительно,(Cy ) '  C ' y  Cy '  Cy ' ,т.к. производная постоянной C равна нулю.Теорема. Пусть существуют производные функций u ( x) и v( x) в точке x0 .Причем v( x0 )  0 . Тогда существует также производная отношения этих функцийu ( x)yв точке x0 и она равна:v( x)u '( x0 )v ( x0 )  u ( x0 )v '( x0 )y '( x0 ) .v 2 ( x0 )Эта теорема доказывается аналогично предыдущей. Рекомендуется доказать ее вкачестве упражнения.Пример. Найдем производную функции y  tgx . Поскольку (sin x) '  cos x , а(cos x ) '   sin x (см.

предыдущую лекцию), то'221 sin x  cos x  sin x(tgx ) '  .2cos xcos 2 x cos x Подобным образом можно найти производную функции y  ctgx . Сделайте этосамостоятельно, в качестве упражнения.1v'равна y '   2 .v ( x)vДействительно, эту формулу получим, выбрав в формуле дифференцированиячастного u ( x)  1 .Итак, мы получили следующий набор правил дифференцирования:1. C '  02.

(u  v ) '  u ' v '3. (uv ) '  u ' v  uv '4. (Cu ) '  Cu 'Следствие. Производная функции y ' u  u ' v  uv '5.   v2v'v'16.     2 ,vvкоторые будут постоянно использоваться при дифференцировании функций.§6. Производная обратной функции.Теорема. Пусть функция y  f ( x ) в некоторой окрестности точки x0 имеетобратную функцию x  f 1 ( y )   ( y ) и пусть существует конечная производнаяf '( x0 )  0 .

Тогда существует также конечная производная  '( y0 ) , где y0  f ( x0 ) , причем1 '( y0 ) .f '( x0 )Доказательство. По определению производной,x1 '( y0 )  lim lim.y  0  yy  0 y / x10Т.к. функция y  f ( x ) дифференцируема в точке x0 то она непрерывна в этойточке, а значит, при x  0 y  0 . Однако, из этого не следует, что при y  0обязательно x  0 . Но, как мы знаем, функция обратная к непрерывной в точке x0непрерывна в соответствующей точке y0  f ( x0 ) . В силу непрерывности функцииx  f 1 ( y )   ( y ) , при y  0 x  0 . Таким образом,111 '( y0 )  lim.x  0 y / xy f '( x0 )limx  0 xТеорема доказана.Итак, мы получили формулу, выражающую связь производных прямой и обратнойфункций в точке, т.е. связь двух чисел.

Чтобы обобщить эту формулу на связь междуфункциями f '( x) и  '( y ) , нужно, чтобы в правой части равенства стояла функция той жепеременной, что и влевой, т.е. нужно учесть зависимость x( y ) : '( y ) 1f '( x).x  ( y )Т.е. для того, чтобы найти производную обратной функции, нужно найти производнуюпрямой функции, разделить единицу на получившееся выражение и ввести заменуx   ( y) .Пример. Найдем производную функции y  arcsin x . Эта функция являетсяобратной к функции x  sin y , производная которой равна (см.

предыдущую лекцию)x '  cos y .По формуле дифференцирования обратной функции, имеем:1111y' .x ' cos y1  sin 2 y1  x2Знак «+» перед корнем выбран потому, что область значений функции y  arcsin x  (рис. 7): y    ,  , а на этом отрезке cos y  0 . 2 2Рис. 7. График функции y  arcsin x .11§7. Производная сложной функции.Теорема. Пусть функция v( x) дифференцируема в точке x0 , а функция u (v) – вточке v0  v ( x0 ) , тогда сложная функция y  u (v( x)) дифференцируема в точке x0 , причемее производная равнаy '( x0 )  u '(v0 )v '( x0 ) .Доказательство. Т.к. функция v( x) дифференцируема в точке x0 , ее приращениепредставимо в видеv  v '( x0 )x  o(x ) .Т.к. функция u (v) дифференцируема в точке v0 , ее приращение представимо в видеu  u '(v0 )v  o(v ) .Приращение сложной функции, соответствующее приращению аргумента x , очевидно,равно приращению внешней функции.

Таким образом,y  u '(v0 )[v '( x0 )x  o(x )]  o(v)  u '(v0 )v '( x0 )x  u '(v0 )o(x )  o(v) .Из выражения приращения v очевидно, что при x  0 v имеет либо тот же порядокмалости, что и x , либо высший порядок малости (если v '( x0 )  0 ). В обоих случаях,o(v )  o(x ) . Таким образом,u '(v0 )o(x)  o(v)  o(x) .Имеемu '(v0 )v '( x0 )x  o(x )o(x)y '( x0 )  lim u '(v0 )v '( x0 )  lim u '(v0 )v '( x0 ) .x  0x  0 xxТеорема доказана.Итак, производная сложной функции равна произведению производной внешнейфункции по промежуточной переменной на производную внутренней функции понезависимой переменной (при условии, что две последние существуют):y '  u '(v )v '( x ) .Примеры.1.

Найдем производную степенной функции y  x ( x  0 ). Представим этуфункцию в виде y  x  eln x  e ln x . Мы получили сложную функцию, причемвнутренняя функция – v   ln x , а внешняя – u  e v . По формуле дифференцированиясложной функции, имеем: y '  e ln x ( ln x ) '  e ln x  eln x  x   x 1 .x xx2. Найдем производную функции y  sin x 2 . Это сложная функция, причемвнутренняя функция v  x 2 , а внешняя: u  sin v .

Соответственно, производнаявнутренней функции равна v '  2 x , а внешней – u '  cos v . Поэтомуy '  2 x cos x 2 .3. Найдем производную функции y  sin 2 x  (sin x )2 . Здесь, наоборот, внутренняяфункция v  sin x , а внешняя – u  v 2 . Поэтомуy '  2sin x cos x  sin 2 x .В случае, если функция имеет несколько уровней сложности, полученная формулаприменяется в несколько этапов.2Пример. Найдем производную функции y  esin x .222y '  esin x (sin x 2 ) '  esin x cos x 2 ( x 2 ) '  2 xesin x cos x 2 .12Конечно, при решении практических задач, ответ следует писать сразу, но здесь мы даемподробные разъяснения каждого действия, с целью избегания недопонимания.Используя формулу для производной экспоненты и формулу дифференцированиясложной функции, не трудно получить также формулу для производной показательнойфункции y  a x ( a  0 ):y '  a x ln a .Рекомендуется проделать это самостоятельно, в качестве упражнения.Лекция 9§1.