alimov-7-algebra-gdz (Алгебра - 7 класс - Алимов), страница 11

Пусть x м — сторона квадрата, тогда (x – 12) м — ширина прямоугольника; (x + 12) м — длина прямоугольника.Sкв. = x2 (м2)Sпр. = (x – 12) ⋅ (x + 12) = x2 – 144Ответ: площадь прямоугольника на 144 м2 меньше площадиквадрата.419. Пусть товарный поезд проходит расстояние за x часов, тогдапассажирский поезд затратит на это расстояние (x – 2) часов.40x = 60 ⋅ (x – 2); 20x = 120x = 6 (ч) — время движения товарного поезда;40 ⋅ 6 = 240 (км) — расстояние между пунктами.Ответ: 240 км.420. Пусть x ч — время движения I мотоциклиста до встречи со IIмотоциклистом, тогда время второго — x –1ч.2Составим уравнение:⎛⎝1⎞2⎠60x + 50 ⋅ ⎜ x − ⎟ = 16260x + 50x – 25 = 162; 110x = 187x = 1,7 — время движения I мотоциклиста;1,7 – 0,5 = 1,2 = 1ч 12 минОтвет: 1 ч 12 мин.421. 1) a ⋅ (3,478 – b) – 8 ⋅ (3,478 – b) = (3,478 – b) ⋅ (a – 8)a = 72; b = 2,353:(3,478 – 2,353) ⋅ (72 – 8) = 1,125 ⋅ 64 = 722) a2b + ab2 – ab = ab ⋅ (a + b – 1)a = 12,5; b = – 4,412,5 ⋅ (– 4,4) ⋅ (12,5 – 4,4 – 1) = 12,4 ⋅ (– 4,4) ⋅ 7,1 = – 390,5422.

1) (a + (b + c)) ⋅ (a – (b + c) = a2 – (b + c)2 = a2 – b2 – 2bc – c22) (a2 – (b – c)) ⋅ (a2 + (b – c)) = a4 – (b – c)2 = a4 – b2 + 2bc – c2423. 1) (2x – 1) ⋅ (4x2 + 2x + 1) – 4x ⋅ (2x2 – 3) == 8x3 – 1 – 8x3 + 12x = 12x – 1x = 0,5:12 ⋅ 0,5 – 1 = 52) x ⋅ (x + 2) ⋅ (x – 2) – (x – 3) ⋅ (x2 + 3x + 9) == x3 – 4x – x3 + 27 = – 4x + 27x=1:4–4⋅1+ 27 = 26487424. 1) (x – 2) ⋅ (x2 – 2x + 4) – x ⋅ (x – 3) ⋅ (x + 3) = 26x3 + 8 – x3 + 9x = 269x = 26 – 89x = 18; x = 22) (x – 3) ⋅ (x2 + 3x + 9) – x ⋅ (x + 4) ⋅ (x – 4) = 21x3 – 27 – x3 + 16x = 2116x = 48; x = 33) (2x – 1) ⋅ (4x2 + 2x + 1) – 4x ⋅(2x2 – 3) = 238x3 – 1 – 8x3 + 12x = 2312x = 24; x = 24) (4x + 1) ⋅ (16x2 – 4x + 1) – 16x ⋅ (4x2 – 5) = 1764x3 + 1 – 64x3 + 80x = 1780x = 16; x =15425.

1) Чтобы сумма трех последовательных натуральных чиселбыла нечетной, нужно, чтобы самое маленькое из них былочетным (чет + нечет + чет = нечет).Пусть I число = 2n, II = 2n+ 1, III = 2n + 2;их произведение 2n(2n + 1)(2n + 2)Т.к. это три последовательных числа, то одно из них обязаноM 3; т.к. присутствуют 2 последовательных четных числа, то одно из них M 2, а второе M 4, тогда их произведение делится на 24:2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24Условие задачи доказано.2) Рассмотрим 2 случая. Т.к. результат не зависит от того, какие мы возьмем числа, то возьмем 4 последовательных числа.а) Пусть I число 2n; II число (2n + 2); III число (2n + 4); IV число (2n + 1);2n ⋅ (2n + 1) ⋅ (2n + 2) ⋅ (2n + 4) = 8n ⋅ (2n + 1)(n + 1)(n + 2)произведение — четное число.б) Пусть I число (2n + 1); II число (2n + 3); III число (2n + 5); IVчисло 2n;(2n + 1) ⋅ (2n + 3) ⋅ (2n + 5) ⋅ 2n — четное число.426.

2b5 + (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)(a – b) = 2b5 + a5 + a4b + a3b2 ++ a2b3 + ab4 – a3b2 – a2b3 – ab4 – b5 = b5 + a5(a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)(a + b) == a5 – a4b + a3b2 – a2b3 + ab4+ a4b – a3b2 + a2b3 – ab4 + b5 = a5 + b5a5 + b5 = a5 + b5 ⇒ равенство верное.88Глава V. Алгебраические дроби§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей427.428.a 2 − b2( a − b) 2c3 + d 32cd429. 1)x4x = 2:1:2a2)5x=a = 25:a = 12,5:3)25=5;512,5= 2,5 ;5c = 5,3:x = 4,24:a = – 125:a = 0:8= −2 ;44,24= 1,06 ;4−−125= −25 ;50= 0;518= 6;8−518= 60 ;5,3 − 5c = – 13:18= −1 ;− 13 − 53 + 2bbb = – 3:b = 0,3:3−6=1;b = 5:−33 + 0,6 3,6== 12 .0,30,33; a ≠ 0;aa−b3); a ≠ – 2;a+2430. 1)x = – 8:18c−5c = 8:4)2 1= ;4 211= ;2⋅4 83+ 2⋅5= 2,6 ;5−4;b≠0ba+54);a≠33−a2)89431. 1) p = 2 ⋅ (a + b);2a = p – 2b; a =p − 2b22) s = s0 + vt( s − s0 )v=t−3 −a=;a=911 33432.

1)a8=; a = 64;9 722)3)x2a=; a = x3;bxb4) −5)433. 1)3)− xy2x z=−y; a = xz;a2) −2 ⋅ a 2 a 2 2a; =;=3 ⋅ a 3a 3 3a4)−48 6−64 4= ; 2)= ;− 56 7− 80 5435. 1)6ab3b=− ;− 4a23)436. 1)− a 4b− ab3=a3b22812111= −2= − ; 4)− 145553) −2) −;9a 34)3a ⋅ (a + b)1=9a ⋅ ( a + b) ⋅ ( a − b) 3 ⋅ ( a − b)5)2 ⋅ ( a − b)= −2 ;(b − a)3)29m ⋅ ( x − 1)2==b3a7 a ⋅ ( a − b) 7 a=5 ⋅ ( a − b)52)2b ⋅ (m − n)1;=8b ⋅ ( m − n) ⋅ ( m + n) 4 ⋅ (m + n)3m ⋅ (1 − x)14c2=−49c73a 2b4)4 ⋅ ( m + n) 4= ;5 ⋅ ( m + n) 53⋅927327; − ==−5⋅9455 − 452a ⋅ ab 2a 2b=7b ⋅ ab 7 ab 23)437. 1)90m3n a= ; a = 4m2mn46)6 ⋅ 3 18 6 18; =;=7 ⋅ 3 21 7 21434. 1)c c2=; a = – bcba6)5 ⋅ ( x − y)1=−15 ⋅ ( y − x)318a 2 b ⋅ ( a − b )2; 2)=323m ⋅ ( x − 1)a⋅(a− b)4a b ⋅ (b − a )( a − b) 2= a−b;a −b4)m−n( n − m) 2=1m−n438.

1)3x + 3 y 3 ⋅ ( x + y ) x + y;==6c6c2c4)12a − 3 3 ⋅ (4a − 1) 4a − 1==6a + 9 3 ⋅ ( 2a + 3) 2a + 32)8a8a2a==4m − 4n 4 ⋅ ( m − n) m − n5)ac − bc c(a − b) a − b;==ac + bc c(a + b) a + b3)2a + 2b 2 ⋅ (a + b)a+ba + ab a (1 + b) 1 + b6)====4a − 4b 4 ⋅ (a − b) 2 ⋅ (a − b)a − ab a(1 − b) 1 − b439. 1)a22a + ab=a2apq 3pq 3q2===; 2) 22a ( a + b) a + bpq ( p − q ) p − qp q − pq7 a + 14b 7(a + 2b) 73)= ;=3a + 6b3( a + 2b) 35)440. 1)2)3)5k + 15 f 5(k + 3 f )=5=3f + k3f + k3a − 6b 3(a − 2b)12m − 4n 2(m − 2n)1== − ; 6)=−=16n − 8m 8(2n − m)412b − 6a 6(2b − a)212 x 2 − 30 xy230 x − 12 xy=6 x(2 x − 5 y ) 2 x − 5 y=6 x(5 x − 2 y ) 5 x − 2 y=12a(3a + 2b) 3a + 2b=12a(2a + 3b) 2a + 3b36a 2 + 24ab224a + 36abm 3 − 3m 2 n23m n − 3m34)4)3=2a − 2a b3 242a b − a bm 2 (m − 3n)23m (n − m)==a 2 (a − 2b)3a b(2b − a )m − 3n3( n − m)=−1aba 2 − b 2 ( a − b)(a + b)= a−b ;=a+ba+ba−ba−b12) 2==a − b 2 ( a − b)(a + b) a + b441. 1)3)4c 2 − 9 x 2 (2c − 3x)(2c + 3x)= 2c + 3x=2c − 3x2c − 3 x4)25 − x 2 (5 − x)(5 + x)=5+ x=5− x5− x442.

1)2)8 − 3c9c 2 − 64=8 − 3c1=−(3c − 8)(3c + 8)3c + 8100 − 49b 2 (10 − 7b)(10 + 7b)= 10 − 7b=7b + 107b + 10913)4)5)6)2 y − 1025 − y25y − y225 − y2=2( y − 5)2=−(5 − y )(5 + y )5+ y=y (5 − y )y=(5 − y )(5 + y ) 5 + yb2 − c244b n−c n=b2 − c22n(b + c 2 )(b 2 − c 2 )5a 3 b + 5ab 34a −b1n(b 2 + c 2 )5ab(a 2 + b 2 )=4=2222(a − b )(a + b )=5ab2a −b2d 2 − 6d + 9 ( d − 3) 2= d −3;=d −3d −3b+7b+712) 2==b + 14b + 49 (b + 7) 2 b + 7443. 1)9 − 6a + a 2 (3 − a ) 2= 3−a;=3−a3−a1− 2p1− 2p14)==221−2p1− 4p + 4p(1 − 2 p )3)444. 1)3)4)445. 1)2)1 − a2( a − 1) 2=4)92(1 − a ) 2=( m − n) 2 ( n − m) 21+ a; 2)=n−m=n−mn−m1− a4 y 2 − 4 y + 1 (2 y − 1) 2 1 − 2 y 1== −y=2 − 4y2(1 − 2 y )225 − 2x=24 x − 20 x + 254y2 − 4y + 14y2 −116a 2 − 1216a − 8a + 123)(1 − a)(1 + a)5 − 2x(5 − 2 x)2=15 − 2x(2 y − 1) 22y −1=(2 y − 1)(2 y + 1) 2 y + 1==( 4a − 1)(4a + 1)(4a − 1)2=4a + 14a − 123a − 6ab + 3b3(a − b) 2a −b==226(a − b)(a + b) 2(a + b)6a − 6b50m 2 + 100mn + 50n 2215m − 15n2=50( m + n) 210( m + n)=15(m − n)(m + n) 3(m − n)ax − ay + bx − by a( x − y ) + b( x − y )( x − y )(a + b)=== x− ya+ba+ba+b2a + 2b + ax + bx 2(a + b) + x( a + b)( a + b)(2 + x)2)=== a+b2+ x2+ x2+ x446.

1)3)=( x − y )(2 x − 1)x− y=(2 x − 1)(2 x + 1) 2 x + 14)=2 x 2 − 2 xy − x + y 2 x ( x − y ) − ( x − y )==(2 x − 1)(2 x + 1)4x2 − 1x2 − y 223x − 2 x + 3 y − 2 xy=( x − y )( x + y )=x(3 − 2 x) + y (3 − 2 x)( x − y )( x + y )x− y=(3 − 2 x)( x + y ) 3 − 2 x447. 1)2)3)4)448. 1)a 2b − ab 2a 2 − ab=ab(a − b)=b;a ( a − b)2a 2 − 4a 2a(a − 2) a==4a − 84(a − 2)22 x 3 y + 2 xy 32x +y2x4 y2 − x2 y 4x 2 ( x + y)==9c 2 − 1616 − 24c + 9c 22 xy ( x 2 + y 2 )x2 + y2= 2 xyx2 y2 (x2 − y2 )x 2 ( x + y)==(3c − 4)(3c + 4)( 4 − 3c) 2y 2 ( x + y )( x − y )= y 2 ( x − y)x+ y=3c + 43c − 47 + 1277+4+419493= −3== 3 =777 − 12 − 553⋅ − 4−4393224 x − 4 xy + y(2 x − y ) 2y − 2x2)==22(y2x)(y2x)y+ 2x−+y − 4xx = – 0,2;y = 0,1:20,1 − 2 ⋅ ( −0,2) 0,1 + 0,4= −1=30,1 + 2 ⋅ (−0,2) 0,1 − 0,47c= :93⋅93449.

1)=3a 3 + ab 2 − 6a 2b − 2b 35449a − ab − 18a b + 2b(3a 2 + b 2 )(a − 2b)44( a − 2b)(9a − b )=5=a(3a 2 + b 2 ) − 2b(3a 2 + b 2 )9a 4 (a − 2b) − b 4 (a − 2b)3a 2 + b 22(3a + b 2 )(3a 2 − b 2 )==13a 2 − b 2a = 0,2;b = 0,4:1= −253 ⋅ 0,04 − 0,162)=3ac 2 + 3bc 2 − 3ab 2 − 3b3 3c 2 (a + b) − 3b 2 (a + b)==6ac 2 + 6bc 2 − 6ab 2 − 6b3 6c 2 (a + b) − 6b 2 (a + b)3 ⋅ ( a + b)(c 2 − b 2 )6 ⋅ (a + c)(c 2 − b 2 )=12Значение выражения не зависит от a, b, c и равно1.2450.

1)|a| 1= , при a > 0;2a 22)3a= −3 , при a < 0|a|3)−2a= 2 , при a < 0;|a|4)|a|1= − , при a > 03− 3a§ 25. Приведение дробей к общему знаменателю12и2312и3)3аа3454и ;и2)6671416аaии; 4)3а3аb2b451. 1)452. 1)94аb2иbaa2b3и;abab2)3ba2и4a2b3)b a2,a bc2ab2b 2 2a 3с,и2ab 2ab2ab4)b 3cc,и3a 2b6ab2b 2 9acc,и6ab 6ab6abи3b 22a 3и4ab4ab103и14142aaи2b2b453.

1)2)12p216b23a 218a 2 b 23)2ab2a2 + b2,3k 211и6 pk3k 2,2 29a bи6 p2k 2426 p2k 260 x 4 y 4454. 1)2),и18a 2 b 2120a 43310 x 3 y60 x 4 y 411иx− yx+ y7a6bи3x − y3x + y3 43 4,16ab 3и3 460a bx+ y2x −yx− yи22x − y27 a(3x + y )29x − y6b(3x − y )и29x 2 − y 243bи 2b−2b −47aaи2) 2x+3x −93b(b + 2 )2b −47ax2 −91a22a;и1− a 1+ a1− a 27 xy6x3;и 2;4)x− y x+ yx − y23)60a 3 b 460 x 4 y 4103и4x − 44x − 46xxи8 ⋅ (x + y )8 ⋅ (x + y )455. 1)980 x 2и53и2x − 24x − 43xxи4)4x + 4 y8x + 8 y3)ии1+ a1− a 26 x ⋅ (x + y ) 7 xy ⋅ (x − y )3;и 22222x −yx −yx − y2966 p2k 23a − a 2и15a b20a b60a b7314,и,4)20 x 4 y 6 xy 33x 2 y 421 y 32p218ab 218a 2 b 2,и3− a2a 2 + 2b 2,pk,42b −4a ⋅ (x − 3)x2 −9;2a ⋅ (1 − a )1− a 2иa21− a 2456.

1)(m + n )2m+nn2 + m2и2m − 2nm2 − n2(3)(a − b )4)a −ba +bи 25a + 5ba − b27(x − y )5с(с − 2)и5x− yи6c−222cb457. 1) a и7(x − y )2)5a + 5b(и5⋅ a2 − b25 ⋅ (x − y ))))(x − y )26 ⋅ (c − 2 )(c − 2)2и2) 3b−n22и2276aи18ab6aи76a4ab 2 6ca,и4b4b4b32и4abab 24a 2 b 34ab2,3b4abи284ab 2(a − b ) ⋅ (a + b ) , a − b и a + b11и;a+ba −ba2 − b2a2 − b2a2 − b22ab ⋅ (a 2 − b 2 ) 3 ⋅ (a − b )ab31и;,иaba −bab ⋅ (a − b )ab ⋅ (a − b )ab ⋅ (a − b )125⋅ a − babcи ;bb4) ab,458. 1)2(c − 2)23caи2b4b6) a + b,()(2 ⋅ (m25c3) ab,5) a − b,22⋅ m − n22)22⋅ m2 + n2и21,1иa − 4b3a + 6ab2ab − a 2111,и(a − 2b ) ⋅ (a + 2b ) 3a ⋅ (a + 2b )a ⋅ (2b − a )−3 ⋅ (a + 2b )3aa − 2b,и22223a ⋅ a − 4b3a ⋅ a − 4b3a ⋅ a 2 − 4b 2(2)()()54x1,и2)224x − 4 1− x3x + 3x54x1,и4 ⋅ (x − 1) (1 − x ) ⋅ (1 + x )3x ⋅ (x + 1)15 x ⋅ (x + 1)(2)12 x ⋅ x − 1,− 48 x 2(2)12 x ⋅ x − 1и4 ⋅ (x − 1)()12 x ⋅ x 2 − 1975x3)23x + y,x − 4 x + 4x + 43x + y5x,(x − 2 ) ⋅ (x + 2 ) (x + 2 )2(5x ⋅ x 2 − 4)(x − 2 )2 ⋅ (x + 2 )2y−xи22x − 4x + 4y−xи( x − 2 )2(3x + y ) ⋅ (x − 2)2(x − 2 )2 ⋅ (x + 2 )2,и( y − x ) ⋅ (x + 2 )2( x − 2 )2 ⋅ ( x + 2 )23a4a5b,и22a − 3 2a + 34a c − 9c3a4a5b,и2a − 3 2a + 3с ⋅ (2a − 3) ⋅ (2a + 3)3ac ⋅ (2a + 3) 4ac ⋅ (2a − 3)5b,и22c ⋅ 4a − 9c ⋅ 4a − 9c ⋅ 4a 2 − 94)(459.

1))()((2 x + 1) ⋅ (x + 3) − (4 − x ) ⋅ (4 + x ) =7525x ⋅ (x + 2)152 x 2 + x + 6 x + 3 − 48 + 3 x 2 = 5 x 2 + 10 x3x = −45 ; x = −152)()x ⋅ (x − 1) 2 ⋅ x 2 + 1 (x − 1) ⋅ (x + 2 )−=728142 x2 − 2 x − x2 − 1 = x2 − x + 2 x − 213x = 1 ; x =33)(2 − x ) ⋅ (2 + x ) − x − x 2 = (x − 1)2 − 7 x 23493648 − 12 x 2 − 9 x + 9 x 2 = 4 x 2 − 8 x + 4 − 7 x 2− 12 x 2 + 9 x 2 − 4 x 2 + 7 x 2 + 8 x − 9 x = 4 − 48x = 444)(x − 2)2 + 2 x 2 − 3 = (x − 1) ⋅ (x + 1)52153223 x − 12 x + 12 + 2 x − 3 = 5 x − 5−12 x = −5 + 3 − 1212 x = 141x =1698)460. 1)5aa−3,3a − 275a(a − 3)⋅ (a5a2a + 3a + 9+ 3a + 9)(a − 3),1a−3и2a −3,и2a + 3a + 921a −3a 2 + 3a + 9иa 3 − 27 a 3 − 27a 3 − 27В задачнике в условии допущена опечатка.x +1x+232)и, 32x+ 2 x +8x − 2x + 4x +1x+23,и22x + 2 ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 x + 4)x − 2x + 43 ⋅ x 2 − 6 x + 123)x2 +82mx +1,x3 + 82n,(m − n )3 (m − n )22mи( x + 2 )2x3 + 81m2 − n22n,1и(m + n ) ⋅ (m − n )(m − n )(m − n )22n ⋅ (m 2 − n 2 )и(m + n ) ⋅ (m − n )3(m + n )⋅ (m − n )2(m − n )(m − n )2m ⋅ (m + n ),(m + n ) ⋅ (m − n )32и212,k 3 + 3k 2 + 3k + 1k 2 −112,и3()k−1⋅ (k + 1)(k + 1)4)k −1(k + 1)2(k + 1) ⋅ (k − 1) (k + 1) ⋅ (k − 1)3461.

1)1x4n−y4n,31x2n−y2n,k 2 + 2k + 132 ⋅ (k + 1)2,3ии()3⋅ k 2 −1(k + 1) ⋅ (k − 1)31nx − ynОбщий знаменатель: x 4 n − y 4 n2)1a 2n − b2n,1a n − bn,1a n + bnОбщий знаменатель: a 2n − b 2 n99§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробейc + d 2c − d c + d + 2c − d 3c+==2a2a2a2aa + 2b 5a − 2b a + 2b + 5a − 2b 2a2)+== 23c 23c 23c 2ca +b a −b a +b−a +b b−==3)2c2c2cc462.