1005160 (Типовые по урматфизу (часть 4))

3.5. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.16U xx + 16U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 16, a12 = 8, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 82 − 16 ⋅ 3 = 16 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае16dy − 12dx = 0,16dy − 4dx = 0.4dy − 3dx = 0,.4dy−dx=0.Делаем замену ξ = 4 y − 3 x, η = 4 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 4U ξ + 4Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −12U ξξ − 16U ξη − 4Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 16U ξξ + 32U ξη + 16Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:144U ξξ + 96U ξη + 16Uηη − 192U ξξ − 256U ξη − 64Uηη ++ 48U ξξ + 96U ξη + 48Uηη = 0.−64U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 4 y − 3 x ) + C2 ( 4 y − x ) ,где C1 ( 4 y − 3 x ) , C2 ( 4 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.13.24.

Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.27U xx + 12U xy + U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 27, a12 = 6, a22 = 1 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 62 − 27 ⋅ 1 = 9 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае 27 dy − 9dx = 0, 27 dy − 3dx = 0.3dy − dx = 0,.9dy−dx=0.Делаем замену ξ = 3 y − x, η = 9 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 3U ξ + 9Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 2U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −3U ξξ − 12U ξη − 9Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 9U ξξ + 54U ξη + 81Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:27U ξξ + 54U ξη + 27Uηη − 36U ξξ − 144U ξη − 108Uηη ++ 9U ξξ + 54U ξη + 81Uηη = 0.−36U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 3 y − x ) + C2 ( 9 y − x ) ,где C1 ( 3 y − x ) , C2 ( 9 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.28.5.

Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 5sin 3ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; 2π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π5, n = 2;π nϕ53nϕϕϕϕϕ5sin3sind=sin3sind=∫02ππ ∫020, n ≠ 2.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 5r 3 ⋅ sin 3ϕ .313.5. Решить смешанную задачу.U tt = 9U xx ; U ( x, 0 ) = 5sin 5π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x ( 2,5; t ) = 0..Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим2,5(π + 2π n ) x dx =2An =5sin5xsinπ2,5 ∫05π + 2π n 2,5π + 2π n ) x(105π = 5, n = 12;=sin5xcosdx=π5=2,5 ∫05⇒ n = 12 0, n ≠ 12.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 5cos15π t sin 5π x .48.24. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 24sin10ϕ , U ( r ; 0 ) = 0, U ϕ r ; π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sin(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2ππ + 2π n )ϕ(24dϕ =∫ 24sin10ϕ sin∫ sin10ϕ cos 2 (1 + 2n )ϕ dϕ =π2π02⋅424, n = 2;= {2 (1 + 2n ) = 10 ⇒ n = 2} = 0, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 24r10 ⋅ sin10ϕ .5π013.24. Решить смешанную задачу.U tt = 49U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 49π cos7π x;U x ( 0, t ) = 0, U ( 2,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 04Bn =7π (1 + 2n )28=1 + 2n2,5∫2,5∫ 49π cos 7π x cos0(π + 2π n ) x dx =5π + 2π n ) x(7π =cos 7π x cosdx =05ПолучилиU ( x; t ) = sin 49π t cos 7π x .6π + 2π n 5⇒ n = 17 1, n = 17;=0, n ≠ 17..