1005159_2 (Типовые по урматфизу (часть 4)), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 4)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 4U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 1, a12 = 2, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 22 − 1 ⋅ 3 = 1 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае dy − 3dx = 0,.dy−dx=0.Делаем замену ξ = y − 3 x, η = y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −3U ξξ − 4U ξη − Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:9U ξξ + 6U ξη + Uηη − 12U ξξ − 16U ξη − 4Uηη + 3U ξξ + 6U ξη + 3Uηη = 0.−4U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 3 x ) + C2 ( y − x ) ,где C1 ( y − 3 x ) , C2 ( y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.103.8.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 8U xy + 12U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 1, a12 = 4, a22 = 12 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 42 − 1 ⋅ 12 = 4 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае dy − 6dx = 0,.dy−2dx=0.Делаем замену ξ = y − 6 x, η = y − 2 x .
ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −6U ξ − 2Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 36U ξξ + 24U ξη + 4Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −6U ξξ − 8U ξη − 2Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:36U ξξ + 24U ξη + 4Uηη − 48U ξξ − 64U ξη − 16Uηη ++ 12U ξξ + 24U ξη + 12Uηη = 0.−16U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 6 x ) + C2 ( y − 2 x ) ,где C1 ( y − 6 x ) , C2 ( y − 2 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.11.