1005159_2 (Типовые по урматфизу (часть 4))
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 4)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
3.13. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 3U xy + 2U yy = 0 .Решение3Имеем a11 = 1, a12 = , a22 = 2 . Т.к.2213a − a11 ⋅ a22 = − 1 ⋅ 2 = > 0 ,42212то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случаеdy − dx = 0,.dy − 2dx = 0.Делаем замену ξ = y − x, η = y − 2 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − 2Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 4U ξη + 4Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −U ξξ − 3U ξη − 2Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:U ξξ + 4U ξη + 4Uηη − 3U ξξ − 9U ξη − 6Uηη + 2U ξξ + 4U ξη + 2Uηη = 0.−U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − x ) + C2 ( y − 2 x ) ,где C1 ( y − x ) , C2 ( y − 2 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.13.11.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.64U xx + 32U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 64, a12 = 16, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 162 − 64 ⋅ 3 = 64 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае64dy − 24dx = 0,64dy − 8dx = 0.8dy − 3dx = 0,.8dy−dx=0.Делаем замену ξ = 8 y − 3 x, η = 8 y − x .
ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 8U ξ + 8Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −24U ξξ − 32U ξη − 8Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 64U ξξ + 128U ξη + 64Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:576U ξξ + 384U ξη + 64Uηη − 768U ξξ − 1024U ξη − 256Uηη ++ 192U ξξ + 384U ξη + 192Uηη = 0.−256U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 8 y − 3 x ) + C2 ( 8 y − x ) ,где C1 ( 8 y − 3 x ) , C2 ( 8 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.23.22.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 28U xy + 49U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 14, a22 = 49 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 142 − 3 ⋅ 49 = 49 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 7 dx = 0,3dy − 21dx = 0.3dy − 7 dx = 0,.dy−7dx=0.Делаем замену ξ = 3 y − 7 x, η = y − 7 x .
ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −7U ξ − 7Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 3U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 49U ξξ + 49U ξη + 49Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −21U ξξ − 28U ξη − 7Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:147U ξξ + 147U ξη + 147Uηη − 588U ξξ − 784U ξη − 196Uηη ++ 441U ξξ + 294U ξη + 49Uηη = 0.−343U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 3 y − 7 x ) + C2 ( y − 7 x ) ,где C1 ( 3 y − 7 x ) , C2 ( y − 7 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.33.12.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 20U xy + 25U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 10, a22 = 25 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 102 − 3 ⋅ 25 = 25 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 15dx = 0,3dy − 5dx = 0.dy − 5dx = 0,.3dy−5dx=0.Делаем замену ξ = y − 5 x, η = 3 y − 5 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −5U ξ − 5Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 3Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 25U ξξ + 50U ξη + 25Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −5U ξξ − 20U ξη − 15Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 6U ξη + 9Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:75U ξξ + 150U ξη + 75Uηη − 100U ξξ − 400U ξη − 300Uηη ++ 25U ξξ + 150U ξη + 225Uηη = 0.−100U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 5 x ) + C2 ( 3 y − 5 x ) ,где C1 ( y − 5 x ) , C2 ( 3 y − 5 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.43.10.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.49U xx + 28U xy + 3U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 49, a12 = 14, a22 = 3 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 142 − 49 ⋅ 3 = 49 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае 49dy − 21dx = 0, 49dy − 7 dx = 0.7 dy − 3dx = 0,.7dy−dx=0.Делаем замену ξ = 7 y − 3 x, η = 7 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −3U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = 7U ξ + 7Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 9U ξξ + 6U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −21U ξξ − 28U ξη − 7Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = 49U ξξ + 98U ξη + 49Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:441U ξξ + 294U ξη + 49Uηη − 588U ξξ − 784U ξη − 196Uηη ++ 147U ξξ + 294U ξη + 147Uηη = 0.−196U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( 7 y − 3 x ) + C2 ( 7 y − x ) ,где C1 ( 7 y − 3 x ) , C2 ( 7 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.53.2.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 8U xy + 4U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 4, a22 = 4 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 42 − 3 ⋅ 4 = 4 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 6dx = 0,3dy − 2dx = 0. dy − 2dx = 0,.3dy−2dx=0.Делаем замену ξ = y − 2 x, η = 3 y − 2 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −2U ξ − 2Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 3Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 4U ξξ + 8U ξη + 4Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −2U ξξ − 8U ξη − 6Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 6U ξη + 9Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:12U ξξ + 24U ξη + 12Uηη − 16U ξξ − 64U ξη − 48Uηη ++ 4U ξξ + 24U ξη + 36Uηη = 0.−16U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 2 x ) + C2 ( 3 y − 2 x ) ,где C1 ( y − 2 x ) , C2 ( 3 y − 2 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.63.15.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 12U xy + 27U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 1, a12 = 6, a22 = 27 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 62 − 1 ⋅ 27 = 9 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае dy − 9dx = 0,.dy−3dx=0.Делаем замену ξ = y − 9 x, η = y − 3 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −9U ξ − 3Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 81U ξξ + 54U ξη + 9Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −9U ξξ − 12U ξη − 3Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:81U ξξ + 54U ξη + 9Uηη − 108U ξξ − 144U ξη − 36Uηη ++ 27U ξξ + 54U ξη + 27Uηη = 0.−36U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 9 x ) + C2 ( y − 3 x ) ,где C1 ( y − 9 x ) , C2 ( y − 3 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.73.17.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.U xx + 20U xy + 75U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 1, a12 = 10, a22 = 75 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 102 − 1 ⋅ 75 = 25 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае dy − 15dx = 0,.dy−5dx=0.Делаем замену ξ = y − 15 x, η = y − 5 x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −15U ξ − 5Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = 225U ξξ + 150U ξη + 25Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −15U ξξ − 20U ξη − 5Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 2U ξη + Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:225U ξξ + 150U ξη + 25Uηη − 300U ξξ − 400U ξη − 100Uηη ++ 75U ξξ + 150U ξη + 75Uηη = 0.−100U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − 15 x ) + C2 ( y − 5 x ) ,где C1 ( y − 15 x ) , C2 ( y − 5 x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.83.3.
Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду.3U xx + 4U xy + U yy = 0 .РешениеИмеем a11 = 3, a12 = 2, a22 = 1 . Т.к.a122 − a11 ⋅ a22 = 22 − 3 ⋅ 1 = 1 > 0 ,то уравнение принадлежит к гиперболическому типу.Уравнения характеристик в данном случае3dy − 3dx = 0,3dy − dx = 0. dy − dx = 0,.3dy−dx=0.Делаем замену ξ = y − x, η = 3 y − x . ТогдаU x = U ξ ξ x + Uηη x = −U ξ − Uη .U y = U ξ ξ y + Uηη y = U ξ + 3Uη .U xx = U ξξ ξ x2 + 2U ξηξ xη x + Uηηη x2 + U ξ ξ xx + Uηη xx = U ξξ + 2U ξη + Uηη .U xy = U ξξ ξ xξ y + U ξη (ξ xη y + ξ yη x ) + Uηηη xη y + U ξ ξ xy + Uηη xy == −U ξξ − 4U ξη − 3Uηη .U yy = U ξξ ξ y2 + 2U ξηξ yη y + Uηηη y2 + U ξ ξ yy + Uηη yy = U ξξ + 6U ξη + 9Uηη .Подставляем полученные результаты в исходное уравнение:3U ξξ + 6U ξη + 3Uηη − 4U ξξ − 16U ξη − 12Uηη ++ U ξξ + 6U ξη + 9Uηη = 0.−4U ξη = 0 .U ξη = 0 ⇒ U (ξ , η ) = C1 (ξ ) + C2 (η ) .Следовательно, общее решение исходного уравнения может быть записано ввидеU ( x,y ) = C1 ( y − x ) + C2 ( 3 y − x ) ,где C1 ( y − x ) , C2 ( 3 y − x ) – произвольные дважды непрерывно дифференцируемыефункции.93.4.
