1005159_1 (Типовые по урматфизу (часть 4))
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 4)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
8.13. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 13sin 6ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; 5π6) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π13, n = 5;π nϕ136nϕϕϕϕϕ13sin6sind=sin6sind=∫05ππ ∫050, n ≠ 5.6ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 13r 6 ⋅ sin 6ϕ .113.13.
Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( x, 0 ) = 13sin 5π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим1,5(π + 2π n ) x dx =2An =13sin5xsinπ1,5 ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(525π = 13, n = 7;=sin5xcosdx=π3=3 ∫03⇒ n = 7 0, n ≠ 7.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 13cos 25π t sin 5π x .28.11.
Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 11cos5ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = 0, U r ; π2) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cos(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2ππ + 2π n )ϕ(11dϕ = ∫ cos5ϕ cos (1 + 2n )ϕ dϕ =∫ 11cos5ϕ cosπ2π02⋅211, n = 2;= {1 + 2n = 5 ⇒ n = 2} = 0, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 11r 5 ⋅ cos5ϕ .3π013.11.
Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 36π sin 9π x;U ( 0, t ) = 0, U x ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 0 .0,5(π + 2π n ) x dx =4Bn =36sin9xsinππ4 (π + 2π n ) ∫010,59π = π + 2π n 1, n = 4;36πππ=sin9xsin+2nxdx=()=∫⇒n=4n1+2()0 0, n ≠ 4.ПолучилиU ( x; t ) = sin 36π t sin 9π x .48.22. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 22cos12ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = U ϕ r ; π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.
Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π 22, n = 4;π nϕ2222cos12cosd=cos12sin3nd=ϕϕϕϕϕ∫0ππ ∫00, n ≠ 4.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 22r12 ⋅ cos12ϕ .513.22. Решить смешанную задачу.U tt = 49U xx ; U ( x, 0 ) = 22cos 7π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим1,5(π + 2π n ) x dx =2An =22cos7xcosπ1,5 ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(447π = 22, n = 10;=cos7xcosdx=π3=1,5 ∫03⇒ n = 10 0, n ≠ 10.Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 22cos 49π t cos 7π x .68.12. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 12sin 3ϕ , U ( r ; 0 ) = 0, U ϕ r ; 3π2) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к.
в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sin(π + 2π n )ϕ , λ2αn=π + 2π n2αи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos(π + 2π n )ϕ dϕ .2α0Находим1Cn =π ⋅ 1n2π∫2ππ + 2π n )ϕ((1 + 2n )ϕ dϕ =1212sin 3ϕ sindϕ =sin 3ϕ cos02 ⋅ 3π212, n = 4;= {1 + 2n = 9 ⇒ n = 4} = 0, n ≠ 4.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 12r 3 ⋅ sin 3ϕ .7π∫0313.12. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 0, U t ( x, 0 ) = 28π cos7π x;U x ( 0, t ) = 0, U ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λn2l=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходимAn = 04Bn =4π (1 + 2n )28=1 + 2n0,5∫ 28π cos7π x cos0(π + 2π n ) x dx =17π = π + 2π n 1, n = 3;πππcos7xcos+2nxdx=()=∫0⇒n=3 0, n ≠ 3.0,5ПолучилиU ( x; t ) = sin 28π t cos 7π x .88.10. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 10cos 4ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = U ϕ r ; 5π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к.
в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π10, n = 5;π nϕ104nϕ10cos4cosd=cos4sind=ϕϕϕϕ∫05π5π ∫00, n ≠ 5.4ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 10r 4 ⋅ cos 4ϕ .913.10. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 10cos 7π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U ( 4,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим4,5(π + 2π n ) x dx =2An =10cos7xcosπ4,5 ∫0920=4,54,5∫0π + 2π n ) x(7π =cos 7π x cosdx =9Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 10cos 28π t cos 7π x .10π + 2π n 9⇒ n = 31 10, n = 31;=0, n ≠ 31.8.2.
Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:U (1; ϕ ) = 2cos 2ϕ , Uϕ ( r ; 0 ) = Uϕ ( r ; π ) = 0 .Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π2, n = 2;π nϕ42cos2cos=cos2sin=dndϕϕϕϕϕ∫0ππ ∫00, n ≠ 2.ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 2r 2 ⋅ cos 2ϕ .1113.2.
Решить смешанную задачу.U tt = 4U xx ; U ( x, 0 ) = 2cos 7π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим2An =0,50,5∫ 2cos 7π x cos0(π + 2π n ) x dx =10,57π = π + 2π n 2, n = 3;4πππ=x+nxdx=cos7cos2()=∫0,5 0⇒ n = 3 0, n ≠ 3.Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 2cos14π t cos7π x .128.15.
