1005154_2 (Типовые по урматфизу (часть 3))
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 3)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
12.9. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = 16U xx , 0 < x < 1, t > 02 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 2,U ( x, 0 ) = 1 − x, 1 2 < x ≤ 1,U ( 0, t ) = U (1, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An en =1sinπ nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 4, l = 1 .Находим:112 2 2An = 2 ∫ x sin π nxdx + ∫ (1 − x ) sin π nxdx .1 012Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin π nxdx = dv = sin π nxdx, v = − 1 cos π nx =πn11u = x,du = dx2x22 2= − cos π nx +∫0 x cos π nxdx = dv = cos π nxdx, v = 1 sin π nx =nπnπ0πn1u = x2 ,221 x2 22x2= − cos π nx + 2 2 sin π nx + 3 3 cos π nx =π nπ n πn0=−14π ncosπn2+12 πnπn sin− 1 .+ 3 3 cos2 π n 2π n2 211u = 1 − x,1dv = sin π nxdx, v = −∫ (1 − x ) sin π nxdx =2du = − dx=1cos π nxπn1πnπn111 1− x= −cos π nx − 2 2 sin π nx =cos+ 2 2 sin .2 π n2π n πn 1 2 2π nТогда 1πn1πn2 π n An = 2 2 −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos− 1 +πππ4n2n2n2 πnπn πnπn 1168 +cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos− 1 . = 2 2 sin2π n2 π n2 π n2 π n 2Общее решение исходного уравнения:U ( x, t ) = 3πn4 π n −( 4 π n )2 tsin+cos− 1 esin π nx .∑2 π n3 2π 2 n=1 n 22∞213.9.
Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 5∆U , 0 ≤ r < 4, t > 0, U ( r , 0 ) = 16 − r 2 , U ( 4, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2 µ r U ( r , t ) = ∑ An exp − 2 n t J 0 n ,n =1 R R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...
– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 5, R = 4 . Находим4r (16 − r ) J(µ ) ∫2An =24 J21Сделаем замену2n00 µn r dr . 4 r= x ⇒ r = 4 x, dr = 4dx , тогда41112 ⋅ 4232 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()().0n0n0n∫0J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n ) ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .
Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==32( S1 − S2 ) =324 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n ) J−−µ() =1nµn3 J12 ( µn ) µ n µn32128.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 5µ n2 µn r U ( r , t ) = 128∑ 3J0 t. exp −16 4 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1412.22. Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 25U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид:∞ π na − t l 2U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...
.l 0llВ нашем случае a = 5, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An = ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn442u = x,du = dx2π nxπ nx4 x28cosx cosdx ==−+4π nxπ nx =4 0 π n ∫04πndv = cosdx, v =sin44πn22u = x2 ,π nx2 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−π n 64π n 128 π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 2du = −dx∫2 ( 4 − x ) sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn444π nxu = 4 − x, 4(4 − x)π nx 16π nx π n 16πn8= −cos− 2 2 sincos+ 2 2 sin . =πn4π n4 2 πn2 π n245Тогда1 1 16π n 64π n 128 π n An = − cos+ 2 2 sin+− 1 + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n 24π n 32 π n 8+ cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2 π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения: 5π n t4 3πn4 π n −U ( x, t ) = 2 ∑ 2 sin+ 3 cos− 1 eπ n=1 n2 πn 28∞62sinπ nx4.13.22.
Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 4∆U , 0 ≤ r < 2, t > 0, U ( r , 0 ) = 4 − r 2 , U ( 2, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2 µ r U ( r , t ) = ∑ An exp − 2 n t J 0 n ,n =1 R R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 2, R = 2 . Находим2r (4 − r ) J(µ ) ∫2An =22 J21Сделаем замену2n00 µn r dr . 2 r= x ⇒ r = 2 x, dr = 2dx , тогда21112 ⋅ 228 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n ) ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:7u = ξ 2,x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =3du = 2ξ d ξ=dv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ0x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .
Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==8( S1 − S2 ) =84 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n ) J−−µ() =1nµn3 J12 ( µn ) µ n µn832.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: µn r 2J0 exp ( − µn t ) .3 2 n =1 µ n J1 ( µ n )∞U ( r , t ) = 32∑18.
