1005154_1 (Типовые по урматфизу (часть 3))
Описание файла
PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 3)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
14.9. Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( 0, t ) = −1, U (1, t ) = −3;U ( x, 0 ) = 9sin 3π x − 1 − 2 x, U t ( x, 0 ) = 0.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = −1 +−3 − ( −1)1x = −1 − 2 x .Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 25Vxx , V ( 0; t ) = V (1; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 9sin 3π x, Vt ( x; 0 ) = 0 .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()t∫π na 0l 0llllНаходим119, n = 3;2π nxAn = ∫ 9sin 3π x sindx = 18∫ sin 3π x sin π nxdx = 1010, n ≠ 3.0Bn = 0 .ПолучилиV ( x; t ) = 9cos15π t sin 3π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = 9cos15π t sin 3π x − 1 − 2 x .115.9.
Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0U tt =1U xx + 37 e−6t sin 7 x .49Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ∫ 37 e−6 tsin 7 x sin nxdx =074π37 e −6t , n = 7;=n ≠ 7.0,Получаем, чтоU 7′′ + U 7 = 37 e−6t , U 7 ( 0 ) = U 7′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 7( общ. од н.) = C1 cos t + C2 sin t .2e−6 tπ∫ sin 7 x sin nxdx =0U 7( част . неод н.) = A e −6t .U 7′( част . неод н.) = −6 A e −6t , U 7′′( част . неод н.) = 36 A e −6t .36 A e −6t + A e −6t = 37e−6t ⇒ A = 1 .U 7 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t + e −6t .U 7′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 6e −6t .C1 + 1 = 0,C1 = −1,U 7 ( 0 ) = 0,⇒⇒C2 − 6 = 0.C2 = 6.U 7′ ( 0 ) = 0.U 7 ( t ) = − sin t + 6cos t + e−6t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( − sin t + 6cos t + e−6t ) sin 7 x .314.22.
Решить смешанную задачу.U tt = 64U xx ; U ( 0, t ) = 2, U ( 3, t ) = −7;U ( x, 0 ) = 2 − 3 x, U t ( x, 0 ) = 24π sin 3π x.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = 2 +−7 − 2x = 2 − 3x .3Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 64Vxx , V ( 0; t ) = V ( 3; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 0, Vt ( x; 0 ) = 24π sin 3π x .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()l 0llπ na ∫0 tllНаходимAn = 0 .31, n = 9;6π nxBn =24sin3xsindx=sin3xsindx=πππ8π n ∫03n ∫030, n ≠ 9.23π nxПолучилиV ( x; t ) = sin 24π t sin 3π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = sin 24π t sin 3π x + 2 − 3 x .415.22. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .U tt =1U xx + 48sin 7t sin 8 x .64Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.
в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ96∫ 48sin 7t sin 8 x sin nxdx = π0 48sin 7t , n = 8;=n ≠ 8.0,Получаем, чтоU 8′′ + U 8 = 48sin 7t , U 8 ( 0 ) = U 8′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 8( общ . од н.) = C1 cos t + C2 sin t .5πsin 7t ∫ sin 8 x sin nxdx =0U 8( част .
неод н.) = A cos 7t + B sin 7t .U 8′( част . неод н.) = −7 A sin 7t + 7 B cos 7t , U 8′′( част . неод н.) = −49 A cos7t − 49 B sin 7t .−49 A cos 7t − 49 B sin 7t + A cos7t + B sin 7t = 48sin 7t .A = 0, B = −1 .U 8 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − sin 7t .U 8′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 7 cos7t .C1 = 0,U 8 ( 0 ) = 0,⇒C2 = 7.U 8′ ( 0 ) = 0.U 8 ( t ) = 7sin t − sin 7t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( 7sin t − sin 7t ) sin8 x .6.
