1005148_1 (Типовые по урматфизу (часть 2))

PDF-файл 1005148_1 (Типовые по урматфизу (часть 2)) Уравнения математической физики (УМФ) (5476): Домашнее задание - 6 семестр1005148_1 (Типовые по урматфизу (часть 2)) - PDF (5476) - СтудИзба2015-08-022015-08-02zzyxelСтудИзба

Типовые по урматфизу (часть 2)181

Описание файла

PDF-файл из архива "Типовые по урматфизу (часть 2)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "уравнения математической физики" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

12.5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = 4U xx , 0 < x < 5, t > 02 x 2 5, 0 ≤ x ≤ 5 2,U ( x, 0 ) = 5 − x, 5 2 < x ≤ 5,U ( 0, t ) = U ( 5, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinπ nxn =1l,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 2, l = 5 .Находим:2  2An = 5 552∫0x sindx + ∫ ( 5 − x ) sindx  .55522π nxπ nx5Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 5 dx = dv = sin π nx dx, v = − 5 cos π nx =πn5555u = x,du = dx5x2π nx 2 10 2π nx=−cos+x cosdx =5π nxπ nx =5 0 π n ∫05πndv = cosdx, v =sin55πn522π nxu = x2 ,5 5x2π nx 50 xπ nx 250π nx  2cos= −+ 2 2 sin+ 3 3 cos =n5n5n5πππ0=−125π n 250  π n π n 125cos+ 2 2 sin+− 1 . cos4π n2 π n2 π 3n3 21du = − dx∫ ( 5 − x ) sin 5 dx = dv = sin π nx dx, v = − 5 cos π nx =5255πn5π nxu = 5 − x, 5(5 − x )π nx 25π nx 25π n 25πn= −− 2 2 sin+ 2 2 sin .coscos =πn5π n5 52π n2 π n252Тогда2  2  125π n 125π n 250  π n  An =   −cos+ 2 2 sin+− 1  + cos5  5  4π n2 π n2 π 3n3 2π n 25π n  30π n 40  π n 25+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cos2π n2 π n2  π n2 π 3n 3 2Общее решение исходного уравнения: 2π n  t5  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 210∞22sinπ nx5.13.5.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 9∆U , 0 ≤ r < 8, t > 0, U ( r , 0 ) = 64 − r 2 , U ( 8, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 3, R = 8 .

Находим8r ( 64 − r ) J(µ ) ∫2An =28 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 7 r= x ⇒ r = 8 x, dr = 8dx , тогда811128 3An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02 ⋅ 8212Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==128J12 ( µ n )( S1 − S2 ) =512 4 J1 ( µ n )J21( µn )µ3n= J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  128  1J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn512.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 9 µn2  µn r U ( r , t ) = 512∑ 3J0 t. exp  −64 8 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1412.10. Найтирешениепервойсмешаннойзадачитеплопроводности на отрезке.U t = 4U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 2, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx  .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn4422u = x2 ,π nx2π nxπ nx4 x28=−cos+x cosdx =∫πn4 0 πn 042u = x,du = dx=π nxπ nx =4dv = cosdx, v =sinπn442 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−π n 64π n 128  π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 25дляуравненияdu = − dx∫2 ( 4 − x ) sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn444π nxu = 4 − x, 4(4 − x)π nx 16π nx = −− 2 2 sincos =ππn4n42π n 16πn8=cos+ 2 2 sin .πn2 π n24Тогда1  1  16π n 64π n 128  π n  An =   − cos+ 2 2 sin+− 1  + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n  24π n 32  π n 8+ cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения:πn  t2  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 28∞62sinπ nx4.13.10.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = ∆U , 0 ≤ r < 5, t > 0, U ( r , 0 ) = 25 − r 2 , U ( 5, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 1, R = 5 .

Находим5r ( 25 − r ) J(µ ) ∫2An =25 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 5 r= x ⇒ r = 5 x, dr = 5dx , тогда5113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02 ⋅ 521502Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:7x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==50( S1 − S2 ) =504 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn50200.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: µ n2  µn r U ( r , t ) = 200∑ 3J0  exp  − t  . 5 n =1 µ n J1 ( µ n ) 25 ∞1812.4. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = 16U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид:∞ π na − t l 2U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 4, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx  .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn442u = x,du = dx2π nxπ nx4 x28cosx cosdx ==−+4π nxπ nx =4 0 π n ∫04πndv = cosdx, v =sin44πn22u = x2 ,π nx2 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−4π n 64π n 128  π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 2∫ ( 4 − x ) sin2π nx4u = 4 − x,dx =dv = sindu = −dxπ nx4dx, v = −4π nx =cos4πn 4(4 − x)π nx 16π nx π n 16πn8coscos= −− 2 2 sin+ 2 2 sin . =πn4π n4  2 πn2 π n249Тогда1  1  16π n 64π n 128  π n  An =   − cos+ 2 2 sin+− 1  + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n  24π n 32  π n 8+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения:U ( x, t ) = 3πn4 π n   −(π n )2 t π nxsin+cos− 1  esin.∑π 2 n=1  n 22 π n3 248∞1013.4.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 10∆U , 0 ≤ r < 1, t > 0, U ( r , 0 ) = 1 − r 2 , U (1, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...

– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 10, R = 1 . Находим1r (1 − r ) J(µ ) ∫2An =21J212n00 µn r  dr . 1 Сделаем замену r = x ⇒ r = x, dr = dx , тогда113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()().0n0n0n∫0J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02122Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20120010Вычислим по частям интеграл:x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξx== ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .3x0011Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) =3300101= 2 x 2 J 0 ( x ) + x ( x 2 − 4 ) J1 ( x ) .Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =S1 = ∫ J 0 (ξ )J1 ( µ n ) .µµµµnnn 0n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3= 4µµµnnn0=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==2( S1 − S2 ) =24 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  µJ−−()  =1n3J12 ( µn )  µ nµµnn28µ J ( µn )3n 1.Общее решение исходного уравнения:∞U ( r , t ) = 8∑n =11µ J ( µn )3n 1J 0 ( µn r ) exp ( −10 µn2t ) .12.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.