TV_lektsia_5 (лекции 1-7)

Лекция 5. Двумерные и многомерные случайные величиныДвумерная СВ, совместная функция распределения и ее свойства. Дискретная двумерная СВ. Непрерывная двумерная СВ. Независимые случайные величины. Ковариация икоэффициент корреляции СВ, их свойства. Условное математическое ожидание. Регрессия.ОЛ-1 гл 5, 7, 8.Определение. Совокупность случайных величин X1 = X1(ω), .... Хп = Хn(ω),заданных на одном и той же вероятностном пространстве (Ω, B, Р),называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мернымслучайным вектором. При этом сами случайные величины Х1, Х2, ..., Хпназывают координатами случайного вектора. В частности, при n = 1 говорят об одномерной, при n = 2 − двумерной случайной величине (илидвумерном случайном векторе).Пример.

Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания пристрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной(X, Y), где X − отклонение по дальности, а Y − отклонение в боковом направлении.Определение. Функцией распределения (вероятностей)F ( x1 ,..., xn )  FX1 ,..., X n ( x1 ,..., xn )(n-мерного) случайного вектора ( X 1 ,..., X n ) называют функцию, значение которой в точке ( x1 ,..., xn )  R n равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X1 < x1}, ..., {Xn < xn}, т.е.F ( x1 ,..., xn )  FX1 ,..., X n ( x1 ,..., xn )  P{ X 1  x1 ,..., X n  xn }Функцию распределения F ( x1 ,..., xn ) называют также совместной (nмерной) функцией распределения случайных величин Х1, Х2, ..., Хп.Теорема. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующимсвойствам.1.

0 ≤ F(x1, x2) ≤ 1.2. F(x1, x2) − неубывающая функция по каждому из аргументов х1 и х2.3. F (, x2 )  F ( x1 , )  0 .4. F (, )  1 .5. P{a1  X 1  b1 , a2  X 2  b2 }  F (b1 , b2 )  F (b1 , a2 )  F (a1 , b2 )  F (a1 , a2 ) .6. F(x1, x2) − непрерывная слева в любой точке ( x1 , x2 )  R 2 по каждому изаргументов x1 и x2 функция.7. FX1 , X 2 ( x, )  FX1 ( x) , FX1 , X 2 (, x)  FX 2 ( x) .Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и водномерном случае. 3. События {Х1 < −∞} и {Х2 < −∞} являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, какизвестно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю.

Отсюда с учетом определения вытекает утверждение 3.Аналогично из того, что события {Х1 < +∞} и {Х2 < +∞} так же, как и ихпересечение, являются достоверными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4.Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной величины(Х1, Х2)впрямоугольник{a1  x1  b1 , a2  x2  b2 } (на рис. заштрихован), сначала определим вероятностьпопаданиявполуполосу{x1  b1 , a2  x2  b2 } (отмечена двойнойштриховкой).

Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант {x1  b1 , x2  b2 } за вычетом вероятности попадания в квадрант {x1  b1 , x2  a2 } т.е.P{ X 1  a1 , a2  X 2  b2 }  F (b1 , b2 )  F (b1 , a2 )Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник{a1  X 1  b1 , a2  X 2  b2 } совпадает с вероятностью попадания в полуполосу { X 1  b1 , a2  X 2  b2 } , из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу {x1  a1 , a2  x2  b2 } , равная F (a1 , b2 )  F (a1 , a2 ) . Окончательно получим утверждение 5.Подобно одномерному случаю доказывается и утверждение 6.

Наконец,событие {Х2 < +∞} является достоверным, поэтому{ X 1  x1}  { X 2  }  { X 1  x1} { X 1  }  { X 2  x2 }  { X 2  x2 }Утверждение 7 устанавливает естественную связь между двумернойфункцией распределения FX1 , X 2 случайного вектора (Х1, Х2) и функциямиFX1 и FX 2 , которые называют одномерными (говорят также частными,или маргинальными) функциями распределения случайных величин X1 иХ2.Дискретные двумерные случайные величиныОпределение.

Двумерную случайную величину (X, Y) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной.Как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар (xi, yi) значений координат случайного вектора (X, Y) исоответствующих вероятностей, скоторыми эти пары значений принимают случайные величины X и Y.Для простоты ограничимся конечным множеством возможных значений, когда случайная величина X может принимать только значения х1,..., хп, Y − значения y1, ..., yп.

Такое перечисление удобно представить ввиде таблицы.Используя табл., нетрудно определить совместную функцию распределения FX,Y(x, y). Ясно, что для этого необходимо просуммировать рij повсем тем значениям i и j, для которых xi < х, yj < у, т.е.F ( x, y )   piji: xi  xj: y j  yПример. В соответствии со схемой Бернулли с вероятностью успеха р ивероятностью неудачи q = 1 − р проводятся два испытания. Выпишемраспределение двумерного случайного вектора (X1, Х2), где Xi, i = 1,2, −число успехов в i-м испытании.

Каждая из случайных величин Х1 и Х2может принимать два значения: 0 или 1.Непрерывные случайные величиныОпределение. Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:F ( x1 , x2 ) x1 x2  p( y , y )dy dy1212 Функцию p ( x1 , x2 ) называют совместной двумерной плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределенияслучайного вектора (X, Y).Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что p ( x1 , x2 ) непрерывная (или непрерывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам.

Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцированииинтеграла с переменным верхним пределом совместная плотность рас-пределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторуюсмешанную производную совместной функции распределения: 2 F ( x1 , x2 )  2 F ( x1 , x2 )p( x1 , x2 ) x1x2x2x1Теорема.

Двумерная плотность распределения обладает следующимисвойствами:b1b2a1a2l) p( x1 , x2 )  0 2) P{a1  X  b1 , a2  Y  b2 }   dx1  p( x1 , x2 )dx2 3)  p( x , x )dx dx12121 4) P{x1  X  x1  x1 , x2  Y  x2  x2 }  p ( x1 , x2 )x1x25) P{ X  x1 , Y  x2 }  0 ; 6) P{( X ; Y )  D}   p( x1 , x2 )dx1dx2D7) pX ( x) pX ,Y( x, y)dy ; 8) pY ( y) pX ,Y( x, y)dxДоказательство. Свойства 1−5 аналогичны свойствам одномернойплотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2.Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения и определения двумерной плотности распределения вытекает:x FX ( x)  FX ,Y ( x, ) pX ,Y( y1 , y2 )dy1dy2X ,Y( y1 , y2 )dy1dy2  yFX ( x)  FX ,Y (, y) p откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу,получаем утверждение 7 для одномерных (частных, маргинальных)плотностей распределения рX(х) и pY(y) случайных величин X и Y.Определение.

Случайные величины X и Y называют независимыми, еслисовместная функция распределения FX,Y(х, у) является произведениемодномерных функций распределения FX(x) и FY(y): FX,Y(х, у) = FX(x)FY(y).В противном случае случайные величины называют зависимыми.Теорема. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y былинезависимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех х и уpX,Y(х, у) = pX(x)pY(y).Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимые. Тогда,согласно определению, FX,Y(х, у) = FX(x)FY(y). С учетом свойств совместной плотности распределения имеем 2 F ( x, y)  dFX ( x)   dFY ( y)   pX ( x) pY ( y)xy dx   dy Тем самым необходимость утверждения доказана.Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением двумерной плотности распределения и определением независимостислучайных величинx yFX ,Y ( x, y )   p X ,Y (v, w)dvdw    p X (v)dv    pY ( w)dw   FX ( x) FY ( y) v  x   pX ,Y ( x, y)  w yТеорема.

Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений xi и yi:pi, j  P{X  xi , Y  y j }  P{X  xi }P{Y  y j }  pXi pYjОпределение. Ковариацией (корреляционным моментом) cov(X1, X2) случайных величин X1 и X2 называют математическое ожидание произведения случайных величин X 1  X 1  M X 1 и X 2  X 2  M X 2cov( X 1 , X 2 )  M( X 1 X 2 )  M(( X 1  M X 1 )( X 2  M X 2 ))Для дискретных случайных величин X1 и X2cov( X1 , X 2 )   ( xi  M X1 )( y j  M X 2 ) piji, jдля непрерывных случайных величин X1 и X2 cov( X1 , X 2 )   ( x  M X )( x1 12 M X 2 ) pX1 , X 2 ( x1 , x2 )dx1dx2Полезное равенство для произвольных случайных величинD( X  Y )  D X  D Y  2 cov( X 1 , X 2 )Теорема.