TV_lektsia_3 (лекции 1-7)

Лекция 3. Случайные величины (СВ). Дискретная СВ, её рядраспределения. Примеры дискретных СВ: биномиальная, пуассоновская,геометрическая.ЧисловыехарактеристикидискретныхСВ:математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение.Функция распределения дискретной СВ. Непрерывные СВ: функцияраспределения, плотность вероятности, их свойства.ОЛ-1 гл. 4, 7; ДЛ-1 гл. 4, 5.Случайной величиной естественно называть числовую величину,значение которой зависит от того, какой именно элементарный исходпроизошел в результате эксперимента со случайным исходом.Множество всех значений, которые случайная величина можетпринимать, называют множеством возможных значений этой случайнойвеличины.Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждомуэлементарному исходу поставить в соответствие число − значение,которое примет случайная величина, если в результате испытанияпроизойдет именно этот исход.Определение.

Скалярную функцию Х(ω), заданную на пространствеэлементарных исходов, называют случайной величиной, если для любогомножествоисходов,x : Х    х элементарныхудовлетворяющих условию Х    х , является событием.Пример. На плоский экран падает частица. Будем считать, что намизвестна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е.имеющее площадь) множество на экране.

Случайными величинами вданном случае будут, например, расстояние X от центра экрана до точкипадения, квадрат этого расстояния Y = X2, угол Z в полярной системекоординат и т.д.Дискретные случайные величиныОпределение. Случайную величину X называют дискретной, еслимножество ее возможных значений конечно или счетно.Определение. Рядом распределения (вероятностей) дискретнойслучайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: вверхней строке перечислены все возможныеX x1 x2 ... xi ... xn значения случайной величины, а в нижней −P p1 p2 ... pi ... pn вероятностиpi = P{X = xi}того,чтослучайная величина примет эти значения.Таким образом, функция распределения дискретной случайнойвеличины является кусочно постоянной функцией, принимающей напромежутке (−∞, х1] значение 0, на промежутках (xi, xi + 1], 1 ≤ i <n, −значение р1 + ...

+pi и на промежутке (xn, +∞) − значение 1.Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина XпоX 01...i... n распределенабиномиальному закону, еслиP q n Cn1 pq n 1 ... Cni p i q n i pi ... pn она принимает значения 0,1,2,... , n в соответствии с распределением, заданным формулойP X  i  Pn (i)  Cni pi qni , i  0,..., nили, что тоже самое, рядом распределения, представленным в таблице,где 0 < p, q <1 и p + q = 1.Биномиальное распределение является не чем иным, как распределениемчисла успехов X в п испытаниях по схеме Бернулли с вероятностьюуспеха p и неудачи q = 1 − p.Распределение Пуссона.

Дискретная случайная величина XпозаконуX 012...n... распределена2nПуассона,еслионапринимает  P e e...... целыеeeнеотрицательные2n!значениясвероятностямиiP  X  i  P(i; )  e , i  0,1,..., или, по-другому, с вероятностями,i!представленными рядом распределения в таблице, где λ > 0 − параметрраспределения Пуассона.Распределение Пуассона также называют законом редких событий,поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое числоиспытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит"редкое" событие. В соответствии с законом Пуассона распределены,например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефоннуюстанцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; числораспавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли.Пусть X − число испытаний, которое необходимо провести, прежде чемX 0 12 ... n ... появится первый успех. Тогда X −случайнаявеличина,P p qp q2p ... qnp ... дискретнаяпринимающая значения 0, 1, 2, ..., n, ...Определим вероятность события {X = n}. Очевидно, что X = 0, если впервом же испытании произойдет успех.Поэтому P X  0  p . Далее, X = 1 в том случае, когда в первомиспытании произошла неудача, а во втором − успех. Но вероятностьтакого события, равна qp, т.е. P X  1  qp . Аналогично X = 2, если впервых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем − успех, и,значит, Продолжая эту процедуру, получаемP X  i  pqi , i  0,1,...,Случайную величину с таким рядом распределения называютраспределенной согласно геометрическому закону.Числовые характеристики дискретных случайных величинОпределение.

Математическим ожиданием (средним значением) MXдискретной случайной величины X называют сумму произведенийзначений xi случайной величины и вероятностей pi = P{Х = xi}, скоторыми случайная величина принимает эти значения: M X   i xi pi .При этом, если множество возможных значений случайной величины Xсчетно, предполагается, что| x | pii 1i т.е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно;в противном случае говорят, что математическое ожидание случайнойвеличины X не существует.Определение. Дисперсией DХ случайной величины X называютматематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Xот ее среднего значения, т.е.D X  M( X  M X ) 2Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулеD X   ( xi  M X ) 2 piiНетрудно видеть, что дисперсия DX имеет размерность квадратаразмерности случайной величины X.

Для практических же целей удобноиметь величину, характеризующую разброс значений случайнойвеличины вокруг ее математического ожидания, размерность которойсовпадает с размерностью X. В качестве такой величины естественноиспользовать   D X , которую называют средним квадратичнымотклонением случайной величины X (иногда также стандартом, илистандартным отклонением).Определение. k-тым начальным моментом (обычно опускают слово„начальный") mk дискретной случайной величины X называютматематическое ожидание от Xk:mk  MX k   xik piiОпределение. k-тым центральным моментом дискретной случайнойвеличины X называют математическое ожидание от k-той степеницентрированной случайной величины:oomk  M X k  M  X  MX kМомент первого порядка совпадает с математическим ожиданием,центральный момент первого порядка равен нулю, центральный моментвторого порядка является дисперсией.

Отметим также, что втеоретических изысканиях рассматривают моменты не обязательноцелого порядка k.Мода случайной величины дискретного типа определяется как такоевозможное значение хт, для которогоP  X  xm   max P{ X  xk }kТаким образом, мода случайной величины дискретного типа есть еенаиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно.Мода может не существовать, иметь единственное значение(унимодальное распределение) или иметь множество значений(мультимодальное распределение).Пример 1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величиныX, распределенной по биномиальному закону (число успехов в nиспытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р):nnnn!MX   iPn (i )   iCni p i q n i   ip i q n i  npi!(ni)!i 0i 0i 0Можно посчитать по-другому.

Представим число успехов X в nиспытаниях по схеме Бернулли в видеX  X 1  ....  X nгде Хi − число успехов в i-м испытании. Нетрудно видеть, что22MX i  0  q  1 p  p , DX i   0  MX i  q  1  MX i  p  pqЗначит, в силу свойства 3 MX  np . Учитывая, что случайные величиныХi являются независимыми, в силу свойства 4 дисперсии получаемDX  npq .Пример 2. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона.Тогдаi i 1 MX   i e    e i!i 0i  0 (i  1)!MX 2   i 2i 0 i e   ( MX  1)   2  , DX   2     2  i!Пример 3.

Пусть случайная величина X имеет геометрическоераспределение:'nq n MX   ipq i  pq  iq i 1  pq   q i  i 0i 1 i 1 q pqDX  2pОпределение. Функцией распределения (вероятностей) случайнойвеличины X называют функцию F(x), значение которой в точке х равновероятности события {X < x}, т.е. события, состоящего из тех и толькотех элементарных исходов ω, для которых Х    х :F(x) = P{X < x}Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равновероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х.Теорема. Функция распределения обладает следующими свойствами:1) 0  F ( x)  1 ;2) F(x1) < F(x2) при x1 < x2 (т.е.