Численные методы. Ионкин (2009), страница 13
Описание файла
PDF-файл из архива "Численные методы. Ионкин (2009)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "численные методы" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 13 страницы из PDF
Ñèñòåìà1.ReλJk < 0,2.s(t) >> 1.6s=maxReλJk.minReλJk(3) íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè:Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓÐàññìîòðèì ëèíåéíóþ çàäà÷ó:du= Λu, t > 0dtu(0) = u0Ïðè ýòîìΛ(1) ñîáñòâåííûå çíà÷åíèå ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ J ñèñòåìû (4).Îïðåäåëåíèå. Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷èæåñòâî âñåõ òî÷åê êîìïëåêñíî ïëîêîñòèÏðèìåð:µ = τ Λ ∈ C,(3) íàçûâàåòñÿ ìíî-äëÿ êîòîðûõ ìåòîä óñòîé÷èâ.Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèåæåñòêèõ ñõåì ÄÓ92ßâíàÿ ñõåìà ÝéëåðàÌåòîä ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì,yn+1 − yn= λyn , yn+1 = (1 + µ)ynτåñëè |q| < 1, q = 1 + µ. Òîãäà îáëàñòüóñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿåòñÿíåðàâåíñòâîì:|1 + µ| ≤ 1|1 + µ0 + iµ1 | ≤ 1(1 + µ0 )2 + µ21 ≤ 1 äàííîì ñëó÷àå îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíóòðåííîñòü êðóãà ñ öåíòðîì âòî÷êå (0, -1) è ðàäèóñîì 1 â êîîðäèíàòàõµ0 , µ1 .Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðàyn+1 − yn= f (tn+1 , yn+1 )τyn+1 − yn− λyn+1 = 0τyn+1 (1 + τ λ) = ynÎáîçíà÷èìq=1.1 − τλÍàéäåì îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè:||q| ≤ 11|≤11 − τλ|1 − µ| ≥ 1(1 − µ0 )2 + µ21 ≥ 1Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè íåÿâíîé ñõåìû Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòü êðóãà ðàäèóñà 1 ñ öåíòðîìâ òî÷êå (1, 0).Îïðåäåëåíèå.
Ðàçíîñòíûé ìåòîä A-óñòîé÷èâ, åñëè îáëàñòü åãî óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèòëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü.Çàìå÷àíèå. Åñëè ðàçíîñòíûé ìåòîä À-óñòîé÷èâ, òî îí àáñîëþòíî óñòîé÷èâ.Óòâåðæäåíèå. Äîêàçàíî, ÷òî àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõ ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ íåñóùåñòâóåò.Óòâåðæäåíèå. Äîêàçàíî, ÷òî íå ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõ ìíîãîøàãîâûõ íåÿâíûõðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ, òî÷íîñòü êîòîðûõ âûøå 2 ïîðÿäêà.Ðàññìîòðèì ïðèìåð ðàçíîñòíîãî ìåòîäà, èìåþùåãî âòîðîé ïîðÿäîê òî÷íîñòè, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ À-óñòîé÷èâûì.Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèåæåñòêèõ ñõåì ÄÓ93Ñèììåòðè÷íàÿ ñõåìàyn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÏðîâåðèì, áóäåò ëè äàííàÿ ñõåìà àáñîëþòíî óñòîé÷èâîé:yn+1 − yn− 0.5λ(yn + yn+1 )τ(yn+1 − yn ) − τ − 0.5µ(yn + yn+1 ) = 0(1 − 0.5µ)yn+1 = (1 + 0.5µ)ynyn+1 = qyn , q =(1 + 0.5µ)(1 − 0.5µ)Óñòîé÷èâîñòü|q| ≤ 1|1 + 0.5µ| ≤ |1 − 0.5µ|(1 + 0.5µ0 )2 + µ21 ≤ (1 − 0.5µ0 ) + µ211 + µ0 + 0.25µ20 ≤ 1 − µ0 + 0.25µ20À ýòî âîçèîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëèµ0 ≤ 0.Îïðåäåëåíèå.
Ðàçíîñòíûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì (α > 0), åñëè îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ìåòîäà ñîäåðæèò óãîë â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè (µ0≤ 0).Çàìå÷àíèå. ßâíûõ À(α)-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ íå ñóùåñòâóåò. Áûëè íàéäåíû A(α)-óñòîé÷èâûåìåòîäû 3ãî è 4ãî ïîðÿäêà.Ðàññìîòðèì ïðèìåð ðàçíîñòíîé ñõåìû 4ãî ïîðÿäêà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿíåêîòîðîãîA(α)-óñòîé÷èâîÿα > 0:25yn+4 − 48yn+3 + 36yn+2 − 16yn+1 + 3yn= f (tn+4 , yn+4 )12τäëÿ.