Н.И. Ионкин - Численные методы, страница 9

Учитывая равенства (1) и (3), запишем интерполяционный полином в форме Лагранжа: () =∑︁=0() ( ).( − ) ′ ( )Оценим точность приближения функции () интерполяционным полиномом в форме Лагранжа.68Глава II . Интерполирование и приближение функцийОпределение. Пусть () — интерполяционный полином для функции ().

Тогда функция () = () − ()(4)называется погрешностью интерполирования функции () интерполяционным полиномом ().Пусть существует ( + 1)-я производная функции () на отрезке [, ].Тогда (+1) () () =(), где ∈ [, ].(5)( + 1)!Обычно оценку погрешности аппроксимации (5) записывают в виде⃒⃒+1⃒⃒| ()| 6|()| , где +1 = sup ⃒ (+1) ()⃒.( + 1)!∈[,](6)Вывод формул (5) и (6) в данном курсе не рассматривается,его можно найти в [1].Замечание 1.Если исходная функция является полиномом степени, непревышающей , то интерполяционный полином приближает ее точно, тоесть () ≡ 0.Замечание 2.Наличие в оценке погрешности (6) быстро убывающего мно1жителя (+1)!вовсе не гарантирует сходимость интерполяционного полинома к заданной функции при увеличении числа узлов в разбиении.

Болеетого, начальное разбиение может быть выбрано так, что мы вовсе не получим сходимости. Поэтому на практике лучше разбивать область определения функции на меньшие отрезки, на каждом из которых приближатьфункцию полиномом невысокой степени, и потом «сшивать» полученныеприближения в одну функцию, определенную уже на всем отрезке.

Так поступают в случае интерполирования сплайнами (см. [1], с. 140).Замечание 3.§3Разделенные разностиРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . . < 6 , ( ) = , = 0, .§3. Разделенные разности69Определение.

Разделенной разностью первого порядка, построенной понесовпадающим узлам и , называется отношение ( , ) = ( ) − ( ), − 0 6 , 6 .(1)Обычно мы будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам. Например, (0 , 1 ) =Замечание.водной. (1 ) − (0 ),1 − 0 (1 , 2 ) = (2 ) − (1 ).2 − 1Отношение (1) является дискретным аналогом первой произ-Разделенной разностью второго порядка, построенной понесовпадающим узлам 0 , 1 , 2 , называется отношениеОпределение. (0 , 1 , 2 ) = (1 , 2 ) − (0 , 1 ).2 − 0(2)Пусть даны ( , .

. . , + ) и (+1 , . . . , ++1 ) — разделенные разности -го порядка по соответствующим узлам, где 0 6 , 6 .Тогда разделенной разностью ( + 1)-го порядка, построенной по несовпадающим узлам , +1 , . . . , ++1 , называется отношениеОпределение. ( , +1 , . . . , ++1 ) = (+1 , +2 , . . . , ++1 ) − ( , +1 , . . . , + ).++1 − (3)Введем следующие обозначения:() =∏︁( − ) = 0, (),=0, () =∏︁( − ), = 0, 1, . .

. , , = 0, .=Очевидно, что′0,( ) =∏︁=0̸=′( − ), ,( ) =∏︁( − ), = , + 1, . . . , .≠=Покажем, как разделенная разность произвольного порядка выражаетсячерез значения функции () в узлах { }=0 .70Глава II . Интерполирование и приближение функцийУтверждение.Разделенная разность -го порядка представима в виде (0 , 1 , . . . , ) =∑︁ ( )′ ( ) .0,(4)=0Доказательство.Пусть = 1. ТогдаВоспользуемся методом математической индукции. (0 , 1 ) = (1 ) − (0 ) (1 ) (0 )=+.1 − 01 − 0 0 − 1Таким образом утверждение выполнено при k=1. Пусть теперь утверждениеверно для некоторого = .

Докажем его для = + 1.Следующие соотношения вытекают из предположения индукции: (0 , 1 , . . . , ) =∑︁ ( )′ ( ) ,0,(5)=0 (1 , 2 , . . . , +1 ) =+1∑︁=1 ( ).′1,+1( )(6)Запишем разделенную разность ( + 1)-го порядка: (0 , 1 , . . . , +1 ) = (1 , 2 , . . . , +1 ) − (0 , 1 , . .

. , ).+1 − 0(7)Подставим выражения (5) и (6) в равенство (7) и вынесем общий множительза скобку:(︃ +1)︃∑︁ ( )∑︁ ( )1− (0 , 1 , . . . , +1 ) =′′ ( ) .+1 − 01,+1( )0,=1=0Вынесем за скобку ( + 1)-е слагаемое первой суммы и нулевое слагаемоевторой: (0 ) (+1 )++′′(0 − +1 )0, (0 ) (+1 − 0 )1,+1(+1 )(︃ (︃)︃)︃∑︁111+ ( )− ′.′+1 − 01,+1( ) 0,( ) (0 , 1 , . . . , +1 ) =(8)=1Рассмотрим отдельно некоторые элементы этого равенства. Заметим, что:′′(0 − +1 )0,(0 ) = 0,+1(0 ),§3. Разделенные разности71′′(+1 − 0 )1,+1(+1 ) = 0,+1(+1 ),)︃(︃111− ′=′( ) 0,( )+1 − 0 1,+11=+1 − 0(︃ − 0 − +1− ′′1,+1 ( )( − 0 ) 0, ( )( − +1 ))︃=1.′( )0,+1Подставив найденные выражения в равенство (8), получим:+1=1=0∑︁ ( )∑︁ ( ) (0 ) (+1 ) (0 , 1 , .

. . , +1 ) = ′+ ′+=.′′0,+1 (0 ) 0,+1 (+1 )0,+1( )0,+1( )Утверждение для = + 1 доказано, и в силу индукции справедлива формула (4).Значение функции () в произвольном узле , = 0, можно выразить через значение функции в узле 0 и разделенные разностидо порядка включительно.Утверждение.Доказательство.рядка:Пусть = 1. Запишем разделенную разность первого по- (0 , 1 ) = (0 ) (1 )+.0 − 1 1 − 0Домножим обе части равенства на (1 − 0 ) ̸= 0:(1 − 0 ) (0 , 1 ) = (1 ) − (0 ).Следовательно, (1 ) = (0 ) + (1 − 0 ) (0 , 1 ).Докажем утверждение для = 2.

Аналогично предыдущему случаю запишемразделенную разность 2-ого порядка и домножим обе части равенства на(2 − 0 )(2 − 1 ) ̸= 0:(2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ) = −2 − 02 − 1 (0 ) + (1 ) + (2 ).0 − 10 − 1Введем обозначения:=2 − 02 − 0 (1 ) =( (0 ) + (1 − 0 ) (0 , 1 )) =0 − 10 − 1=2 − 0 (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ),0 − 172Глава II . Интерполирование и приближение функций=− (0 )(2 − 1 ).0 − 1Следовательно,(2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ) = + + (2 ) ==2 − 0(2 − 1 ) (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ) − (0 ) + (2 ) =0 − 10 − 1= (2 ) − (0 ) − (2 − 0 ) (0 , 1 ).Выразив из последнего выражения (2 ), получим: (2 ) = (0 ) + (2 − 0 ) (0 , 1 ) + (2 − 0 )(2 − 1 ) (0 , 1 , 2 ).Переход от = к = +1 для произвольного ∈ производится по аналогии с рассмотренным переходом от = 1 к = 2, но здесь не приводится,так как сопровождается более громоздкими выкладками.

Далее мы иногдабудем пользоваться таким приемом, чтобы избегать громоздкости выкладок.Обобщив полученные результаты, запишем формулу для ( ): ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . .

. , ).Замечание.Формула (9) является дискретным аналогом формулы Тейлора ( ) = (0 )+( −0 ) ′ (0 )+§4(9)( − 0 )2 ′′( − 0 ) () (0 )+. . .+ (0 )+. . . .2!Интерполяционная формула НьютонаРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . . < 6 , ( ) = , = 0, .§4. Интерполяционная формула Ньютона73Воспользуемся результатами предыдущего параграфа и запишем формулудля ( ): ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ .

. . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(1)Подставив в эту формулу вместо , получим полином степени от : () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).Обозначим полученный полином как (): () = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ .

. . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).Утверждение.Полином (2) интерполирует функцию ().Доказательство.что(2)Для доказательства утверждения достаточно показать, ( ) = ( ), = 0, .Подставив в формулу (2) вместо , получим: ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) . . . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ).(3)В равенстве (3) все слагаемые, начиная с -ого, содержат множитель ( − ),равный нулю. Тогда получим ( ) = (0 ) + ( − 0 ) (0 , 1 ) + ( − 0 )( − 1 ) (0 , 1 , 2 )++ . . . + ( − 0 )( − 1 ) .

. . ( − −1 ) (0 , 1 , . . . , ) = ( ), = 0, ,что и требовалось доказать.Определение. Интерполяционный полином, задаваемый формулой (2), называется интерполяционным полиномом Ньютона.Интерполяционный полином Ньютона тождественно совпадает с интерполяционным полиномом в форме Лагранжа.Замечание 1.74Глава II .

Интерполирование и приближение функцийДоказательство. Этот факт следует из доказанного в первом параграфеутверждения, что для любой функции () существует единственный интерполяционный полином, построенный по ( + 1) узлу. То есть интерполяцоннный полином Ньютона и интерполяцоннный полином в форме Лагранжаявляются различными вариантами записи одного и того же полинома.Замечание 2. Так как интерполяционный полином Ньютона тождественно совпадает с интерполяционным полиномом в форме Лагранжа, он имееттакую же погрешность:| ()| 6+1|()| ,( + 1)!⃒⃒⃒⃒где +1 = sup ⃒ (+1) ()⃒.∈[,]Аналогично случаю с интерполяционным полиномом Лагранжа, если исходная функция является полиномом степени, не превышающей, то интерполяционный полином Ньютона приближает ее точно.Замечание 3.Выбор формы записи интерполяционного полинома функции () зависит от особенностей каждой конкретной задачи.

Например, еслиузлы зафиксированы и их число постоянно, а искомая функция меняется, тоудобно использовать интерполяционный полином в форме Лагранжа. Еслиже появляется необходимость в добавлении или удалении узлов при условиисохранения функции, то удобно использовать интерполяционный полином вформе Ньютона.Замечание 4.§5Интерполирование с кратными узлами.

ПолиномЭрмитаРассмотрим вещественную функцию (), ∈ [, ] ⊂ R,заданную в узловых точках произвольного разбиения отрезка [, ]: 6 0 < 1 < 2 < . . . < 6 , ( ) = , = 0, .Пусть, кроме того, в узле заданы значения всех производных функции ()до порядка ( − 1), = 0, . Натуральное число называется кратностьюсоответствующего узла .§5. Интерполирование с кратными узлами.