Н.И. Ионкин - Численные методы

Московский государственный университет имени М. В.ЛомоносоваФакультет вычислительной математики и кибернетикиЛекции по курсуЧисленные методыЛекторН. И. ИонкинМосква, 2015ОглавлениеПредисловие5Введение7Список обозначений10Глава I Численные методы линейной алгебры11§1§2§3§4§5Основные задачи главы I . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .Связь метода Гаусса с факторизацией матрицы . . . . . . . . .Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана . . . . . . . . .Метод квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Примеры и канонический вид итерационных методов решенияСЛАУ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§6 Теоремы о сходимости итерационных методов . . . . . . . . . .§7 Оценка скорости сходимости итерационных методов . . . . . .§8 Исследование скорости сходимости ПТИМ . . . . . . . . . . .§9 Методы решения задач на собственные значения . . . . . . . .§10 Приведение матрицы к верхней почти треугольной форме . .§11 Понятие о QR-алгоритме решения полной проблемы собственных значений .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§12 Предварительное преобразование матрицы к ВПТФ. Неухудшение ВПТФ при QR-алгоритме . . . . . . . . . . . . . . . . .....11131821......243037424754. 59. 62Глава II Интерполирование и приближение функций§1§2§3§4§5§6§7§8Постановка задачи интерполирования . . . . . . .

. . . . . . .Интерполяционная формула Лагранжа . . . . . . . . . . . . .Разделенные разности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интерполяционная формула Ньютона . . . . . . . . . . . . . .Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита . . .Оценка погрешности формулы Симпсона при помощи полинома Эрмита . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Наилучшее среднеквадратичное приближение функции . . . .Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных таблично . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64.....6466687274. 81. 85. 91Глава III Численное решение нелинейных уравнений и системнелинейных уравнений§1§2§3§4Способы локалзации корней нелинейного уравнения . . . .Метод простой итерации . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Метод Ньютона и метод секущих . . . . . . . . . . . . . . .Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости93............939699105Глава IV Разностные методы решения задач математическойфизики§1§2§3§4§5§6§7§8§9109Первая краевая задача для уравнения теплопроводности . . . .

109Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость112Чисто неявная разностная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость, устойчивость в норме 2 (ℎ ) . . . . . . . . . 124Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Методы решения разностной задачи Дирихле . . . . . . . . . . . 144Основные понятия теории разностных схем . . . . . . . . . . . . 146Глава V Методы решения обыкновенных дифференциальныхуравнений и систем ОДУ§1§2§3§4§5§6§7152Постановка задачи Коши и численные методы ее решения . . . 152Общий -этапный метод Рунге–Кутта .

. . . . . . . . . . . . . . 161Многошаговые разностные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Понятие устойчивости разностного метода . . . . . . . . . . . . 168Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений 175Дальнейшие определения устойчивости . . . . . . . . . . . . .

. 179Разностные методы решения краевой задачи для ОДУ второгопорядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Литература191Предметный указатель192Приложение А194ПредисловиеЧитателю предлагается курс лекций по численным методам, который авторчитает более трех десятков лет студентам III–IV курсов потока программистских кафедр факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова. Безусловно,программа и содержание курса неоднократно менялись за эти годы как всвязи с обновлениями курса, так и в связи с преобразованиями учебных планов, происходившими в разные годы на факультете ВМК.

Здесь представленвариант курса, читаемый автором в последние годы.Отечественными математиками написан ряд замечательных учебных пособий по численным методам (см. [1]-[6], [8], [9]). При подготовке курса наиболее существенно использовалось учебное пособие А. А. Самарского и А. В. Гулина "Численные методы". На содержание курса самым благоприятным образом повлияли многочисленные беседы и обсуждения автора со своим учителем академиком А. А.

Самарским, другом и коллегой профессором А. В. Гулиным, другими коллегами по кафедре. Многие замечания и советы, сделанные ими, были учтены и, несомненно, способствовали улучшению содержаниялекций. Считаю честью выразить им свою искреннюю благодарность.Решение издать курс лекций продиктовано постоянными из года в годпросьбами студентов, слушающих этот курс, оформить лекции в печатномвиде.

Необходимость издания лекций в настоящее время обсуловлена тем,что лекции читаются на выпускном IV курсе. Промежуток времени междуэкзаменом по численным методам и госэкзаменом, в который, в частности,входят вопросы по численным методам, мал и, по мнению автора, наличиеучебного пособия будет способствовать более эффективной подготовке к этимиспытаниям и значительно сократить время поиска нужного материала.Данный курс лекций, в основном, ориентирован на студентов (и читателей), главной специализацией которых не является разработка и теоретическое обоснование численных методов решения прикладных задач. Предполагается, что читатель знаком с базовыми понятиями линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и уравнений матема-тической физики. При построении и обосновании численных алгоритмов используются, по возможности, наиболее доступный математический аппаратперечисленных выше разделов математики.

Одной из главных задач курсаявляется обретение студентами навыка ориентирования в области численныхметодов. В процессе работы над предложенным курсом читатель знакомитсяс идеями построения и обоснования вычислительных алгоритмов и приобретает знания, которые он может использовать для разработки новых алгоритмов.С большим удовольствием выражаю благодарность студентам – слушателям лекций, которые оказали неоценимую помощь при оформлении данныхлекций.

Привлекая студентов к работе над текстом в течение ряда последних лет, автор лекций старался понять и учесть пожелания слушателей поформе изложения материала. В результате этой работы автор остановилсяна предложенном здесь варианте. Не имея возможности перечислить всехстудентов поименно, автор выражает всем им глубокую благодарность и судовольствием вспоминает совместную работу.Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность,заслуженный преподаватель МГУ Н.И.

ИонкинВведениеПредмет численных методов, если его понимать не как учебный курс, а какотрасль науки, весьма обширен и неоднороден. В очень общих чертах егоможно охарактеризовать как совокупность приемов и методов, позволяющихс помощью компьютера решать те или иные задачи, уже получившие математическую формулировку.Предполагается, что читатель знаком с некоторыми численными методами. Так, в курсах анализа и алгебры рассматривались приближенные методывычисления определенных интегралов, нахождения корней алгебраическихуравнений, решения систем линейных алгебраических уравнений. Из курса«Введение в численные методы» читатель получил представление о приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений с помощьюметода конечных разностей.Нетрудно видеть, что общим для всех перечисленных методов являетсяпостроение и обоснование алгоритма, позволяющего дать решение исходнойзадачи в виде числа или таблицы чисел.Обычно процесс решения прикладной задачи складывается из нескольких крупных этапов, образующих, как иногда говорят, «колесо Самарского»(А.

А. Самарский — один из крупнейших математиков XX века в области численных методов решения актуальных прикладных задач). Позднее А. А. Самарским этапы решения задач вычислительной математики были укрупненыи сформулированы в виде триады: модель, алгоритм, программа.Принцип колеса Самарского заключен в следующем: сначала по изучаемому объекту строится его математическая модель, которая отражает существенные в данной задаче свойства изучаемого объекта.