Н.И. Ионкин - Численные методы, страница 10

Полином Эрмита75Постановка задачи. Требуется построить полином () степени , удовлетворяющий условию:() ( ) = () ( ),Определение.Эрмита. = 0, ( − 1), = 0, .Полином () называется интерполяционным полиномомБудем искать интерполяционный полином () в виде () = ∑︁ −1∑︁, () () ( ),=0 =0где , () - полиномы степени .Сформулируем условие, при котором можно найти интерполяционный полиномом Эрмита.Утверждение.Если сумма кратностей узлов функции f(x) равна ( + 1):∑︁ = + 1,=0то существует, причем единственный, интерполяционный полином Эрмита степени для функции ().Рассмотрение задачи построения интерполяционного полинома Эрмита вобщей постановке, которую мы привели выше, выходит за рамки нашего курса.

Интересующиеся могут обратиться к [1], мы же далее будем рассматривать частный случай: построение интерполяционного полинома Эрмита дляфункции () по трем узлам, один из которых имеет кратность 2.Построение полинома Эрмита по трем узламРассмотрим функцию (), определенную вместе со своей первой производной на отрезке [, ].

Построим для функции () интерполяционный полиномЭрмита 3 () по трем узлам 0 , 1 и 2 : 6 0 < 1 < 2 6 , где узел 1 —кратный.По определению интерполяционного полинома Эрмита для 3 () должнывыполняться следующие равенства:3 (0 ) = (0 ), 3 (1 ) = (1 ), 3 (2 ) = (2 ), 3′ (1 ) = ′ (1 ).(1)76Глава II .

Интерполирование и приближение функцийБудем искать полином Эрмита 3 () в виде3 () = 0 () (0 ) + 1 () (1 ) + 2 () (2 ) + 1 () ′ (1 ),(2)где 1 () и (), = 0, 2 — полиномы третьей степени.Равенства (1) и (2) позволяют сформулировать условия нахождения коэффициентов 1 () и (), = 0, 2:0 (0 ) = 1,1 (0 ) = 0,2 (0 ) = 0,1 (0 ) = 0,0 (1 ) = 0,1 (1 ) = 1,2 (1 ) = 0,1 (1 ) = 0,0 (2 ) = 0,1 (2 ) = 0,2 (2 ) = 1,1 (2 ) = 0,′0 (1 ) = 0,′1 (1 ) = 0,′2 (1 ) = 0,′1 (1 ) = 1.Воспользуемся этими условиями и получим коэффициенты интерполяционного полинома (2) в явном виде.Из условий 0 (1 ) = 0, 0 (2 ) = 0 и ′0 (1 ) = 0 следует, что узлы 1 и 2являются корнями полинома 0 () двойной и единичной кратности соответственно.

Поэтому коэффициент 0 () будем искать в виде0 () = ( − 1 )2 ( − 2 ),где ∈ R.Для нахождения воспользуемся условием 0 (0 ) = 1:0 (0 ) = (0 − 1 )2 (0 − 2 ) = 1.Поделим это равенство на (0 − 1 )2 (0 − 2 ) (мы можем это сделать, так какузлы 0 , 1 , 2 различны):=1.(0 − 1 )2 (0 − 2 )В дальнейшем при делении на множители, содержащие разности узлов, мы не будем оговаривать неравенство нулю этих множителей,считая это очевидным.Замечание.Запишем представление для 0 () с учетом выражения для коэффициента :0 () =( − 1 )2 ( − 2 ).(0 − 1 )2 (0 − 2 )Очевидно, что коэффициент 2 () имеет аналогичную структуру с двукратным корнем 1 и однократным корнем 0 :2 () =( − 1 )2 ( − 0 ).(2 − 1 )2 (2 − 0 )§5. Интерполирование с кратными узлами. Полином Эрмита77Рассмотрим коэффициент 1 (), для которого точки 0 , 1 , 2 являютсяоднократными корнями.

Тогда1 () = 1 ( − 0 )( − 1 )( − 2 ),′1 () = 1 (( − 1 )( − 2 ) + ( − 0 )( − 2 ) + ( − 0 )( − 1 )).Для нахождения 1 воспользуемся условием ′1 (1 ) = 1:′1 (1 ) = 1 (1 − 0 )(1 − 2 ) = 1.Получаем выражение для 1 :1 =1.(1 − 0 )(1 − 2 )Тогда 1 () принимает вид1 () =( − 0 )( − 1 )( − 2 ).(1 − 0 )(1 − 2 )Из условий 1 (0 ) = 0, 1 (2 ) = 0 следует, что коэффициент 1 () обращаетсяв ноль в точках 0 и 2 .

Будем искать его в виде1 () = ( − 0 )( − 2 )( + ),где , ∈ R.Так как 1 (1 ) = 1, то получаем, что1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 )(1 + ) = 1.Перепишем равенство относительно (1 + ):1 + =1.(1 − 0 )(1 − 2 )(3)Для нахождения коэффициента вычислим производную ′1 () в точке 1 :′1 () = ( − 0 )( − 2 ) + ( + )(2 − 0 − 2 ).Значит,0 = ′1 (1 ) = (1 − 0 )(1 − 2 ) + (1 + )(21 − 0 − 2 ).Подставив вместо (1 + ) равенство (3), получим представление для коэффициента :(21 − 0 − 2 )=−.(1 − 0 )2 (1 − 2 )278Глава II .

Интерполирование и приближение функцийВыразим из равенства (3) коэффициент :=11(21 − 0 − 2 ).− 1 =+ 1(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )2 (1 − 2 )2Тогда коэффициент 1 () принимает вид:(︂1(21 − 0 − 2 )++1 () = ( − 0 )( − 2 ) −(1 − 0 )2 (1 − 2 )2(1 − 0 )(1 − 2 ))︂(21 − 0 − 2 )+ 1.(1 − 0 )2 (1 − 2 )2Упростив последнее выражение, получим(︂)︂( − 0 )( − 2 )( − 1 )(21 − 0 − 2 )1 () =1−.(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )Итак, мы нашли все необходимые коэффициенты для построения полиномаЭрмита 3 ().Заметим, что из-за появления кратных узлов сложность вычисления коэффициентов полинома Эрмита значительно возросла.

Если дляинтерполяционных полиномов в форме Лагранжа и в форме Ньютона существуют единые формулы для вычисления всех коэффициентов, то дляполинома Эрмита необходимо вычислять коэффициенты для разных узловпо-разному.Замечание.Оценка погрешности для 3 ()Зафиксируем ∈ (0 , 2 ) ⊂ R: ̸= 1 . Введем функцию ():() = () − 3 () − (), ∈ [0 , 2 ],где () = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ), а — некая зависящая от постоянная.Выберем константу так, чтобы () = 0. Тогда () − 3 () − () = 0,= () − 3 ().()Введем погрешность для полинома Эрмита 3 ():3 () = () − 3 ().§5. Интерполирование с кратными узлами.

Полином Эрмита79Пусть для любого ∈ [0 , 2 ] существует (4) (). Функция () имеет не менее четырех нулей: три — в узлах 0 , 1 , 2 , а четвертый — в точке (мы подобрали коэффициент таким образом, чтобы был корнем). Воспользуемсятеоремой Ролля. Так как () имеет не менее четырех нулей, то ′ () имеетне менее трех нулей на отрезке [0 , 2 ]. Так как узел 1 является кратнымузлом для интерполяционного полинома Эрмита 3 (), то точка 1 являетсянулем ′ (): ′ (1 ) = 0.

Следовательно, первая производная имеет не меньшечетырех нулей. Вторая производная имеет не менее трех нулей, а третья —не менее двух. Следовательно, существует точка такая, что⃒ () − 3 ()⃒ (4) () = 0 = ( (4) () − 4! )⃒= (4) () − 4!.()=В результате получим следующее выражение для погрешности:3 () = () − 3 () =Обозначим4 =sup∈[0 ,2 ] (4) ()().4!⃒⃒⃒ (4) ⃒⃒ ()⃒ .Отсюда приходим к оценке|3 ()| 64|()|,4!где () = ( − 0 )( − 1 )2 ( − 2 ).В общем случае погрешность интерполяционного полиномаЭрмита степени ∈ N для функции () имеет вид (см. [1] c. 137)Замечание 1. () = (+1) ()(−0 )0 (−1 )1 .

. . (− ) ,( + 1)!0 +1 +. . .+ = +1,где { }=0 — разбиение области определения функции (), ∈ N, и функция () должна быть ( + 1) раз дифференцируема на своей области определения.Интерполяционный полином Эрмита дает более гладкое приближение, чем ранее рассмотренные интерполяционные полиномы в формеЛагранжа и в форме Ньютона.Замечание 2.Задача. Показать, что интерполяционный полином Эрмита 3 () можно получить из интерполяционного полинома Лагранжа 3 () с помощьюпредельного перехода.80Глава II . Интерполирование и приближение функцийПусть 0 , 1 , 2 — узловые точки функции () на отрезке [0 , 2 ].Добавим фиктивный узел 3 ∈ [0 , 2 ], 3 ̸= , = 0, 2.

Построим полиномв форме Лагранжа по этим четырем узлам:Решение.( − 0 )( − 1 )( − 2 )( − 0 )( − 2 )( − 3 ) (3 ) + (1 )+(3 − 0 )(3 − 1 )(3 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 3 )( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 0 )( − 1 )( − 3 ) (0 ) + (2 ).+(0 − 1 )(0 − 2 )(0 − 3 )(2 − 0 )(2 − 1 )(2 − 3 )(4)3 () =Покажем, что lim 3 () = 3 ().3 →1При стремлении 3 к 1 , коэффициент при (0 ) в формуле (4) приметвид:( − 1 )2 ( − 2 )= 0 ().(0 − 1 )2 (0 − 2 )Аналогично получим, что выражение коэффициента при (2 ) совпадает скоэффициентом 2 () из интерполяционного полинома Эрмита (2) при 3 →1 .Рассмотрим два оставшихся коэффициента: обозначим через (3 ) первыедва слагаемых суммы (4). (3 ) можно представить в виде(3 ),3 − 1( − 0 )( − 2 )( − 3 )( − 0 )( − 1 )( − 2 ) (3 ) − (1 ).(3 ) =(3 − 0 )(3 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(3 ) =При переходе к пределу функции (3 ) при 3 → 1 возникает неопределенность вида 0/0.

Для вычисления предела воспользуемся правилом Лопиталяи получим: ′ (3 )lim (3 ) = lim= lim ′ (3 ).3 →13 →13 →1 (3 − 1 )′Так как ′ (3 ) уже не содержит неопределенности при 3 → 1 , тоlim ′ (3 ) = ′ (1 ).3 →1После проведения всех необходимых вычислений получим, что ′ (1 ) =( − 0 )( − 1 )( − 2 ) ′( − 0 )( − 2 ) (1 ) +·(1 − 0 )(1 − 2 )(1 − 0 )(1 − 2 )(︂)︂( − 1 )(21 − 0 − 2 )· 1− (1 ).(1 − 0 )(1 − 2 )§6.

Оценка погрешности формулы Симпсона при помощи полинома Эрмита81Видно, что при ′ (1 ) и (1 ) мы получили выражения, в точности совпадающие с коэффициентами 1 () и 1 () из формулы для интерполяционногополинома Эрмита (2).§6Использование интерполяционного полиномаЭрмита 3 () для оценки погрешности квадратурной формулы СимпсонаРассмотрим задачу приближенного вычисления определенного интеграла∫︁=(1) ()от интегрируемой по Риману на отрезке [, ] ⊂ R функции ().Построим разбиение отрезка [, ]: 6 0 < 1 < .

. . < 6 ,где ∈ N,так, чтобы выполнялось условие − −1 = ℎ, = 1, ,где ℎ — некоторая константа, задающая шаг разбиения, причем ℎ = − .Отрезки [−1 , ], = 1, , называются частичными сегментами.Будем искать интеграл в виде суммы интегралов по всем частичнымсегментам: ∫︁∑︁= ().(2)=1 −1Для вычисления интеграла на всем отрезке достаточно построить приближение интеграла на -м частичном сегменте [−1 , ] для = 1, .Формулы приближенного вычисления определенного интеграланазывают квадратурными формулами.Замечание.Запишем формулу Симпсона для -го частичного сегмента функции (), = 1, :∫︁)︁ℎ (︁ () ≈ (−1 ) + 4 (− 1 ) + ( ) ,(3)26−1где − 1 =2 +−12— полуцелая точка.82Глава II .

Интерполирование и приближение функцийУтверждение. Квадратурная формула Симпсона (3) является точной длялюбого полинома степени не выше трех.Приведем доказательство данного утверждения для -гочастичного сегмента, = 1, .Пусть () = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 = 2 () + 3 3 , 3 ̸= 0.Доказательство.Квадратурная формула Симпсона (3) точна для 2 (), так как по построению задает приближение функций параболами, то есть полиномами второйстепени.