Д.В. Гальцов - Программа и задачи к экзамену по физике, страница 2

Фазовая и групповая скорость. Расплывание.Состояния и наблюдаемые. Непрерывный спектр. Квантовые скобки Пуассона. Представления.Одновременно измеримые величины. Соотношение неопределенностей. Полные наборы наблюдаемых.Картины Гейзенберга и Шредингера. Уравнение Шредингера.

Оператор эволюции.Квазиклассическое приближение. Сшивание волновых функций в точках поворота для одномерного движения. Формула Бора – Зоммерфельда.Стационарная теория возмущений. Случай вырождения невозмущенного спектра. Эффект Штарка.Общие свойства спектра одномерного оператора Шредингера.

Потенциальная яма и потенциальный барьер. Периодический потенциал.Гармонический осциллятор. Когерентные состояния.Движение в центральном поле. Падение на центр.Атом водорода. Симметрия SO(4).Рассеяние в центральном поле. Фазы и сечение рассеяния. Формула Резерфорда.Заряд в электромагнитном поле. Калибровочная инвариантность уравнения Шредингера. Спектр энергийв однородном магнитном поле.Квантовые переходы в дискретном и непрерывном спектре. Борновское приближение в теории рассеяния.Спин. Уравнение Паули.Тождественные частицы. Обменное взаимодействие.Понятие о периодической системе элементов.

Модель Томаса-Ферми.Матрица плотности. Уравнение эволюции.Энтропия и температура. Термодинамические потенциалы. Химический потенциал.Микроканоническое и каноническое распределения. Вычисление статистической суммы в квазиклассическом приближении.Большое каноническое распределение. Больцмановский идеальный газ.Статистика Ферми. Вырожденный идеальный Ферми-газ. Уравнение состояния в нерелятивистском и ультрарелятивистском случаях.Статистика Бозе. Конденсация идеального Бозе-газа. Химический потенциал вблизи точки конденсации.Черное излучение.2.2. Задачи1. Записать стационарное уравнение Шредингера в импульсном представлении для одномерного движенияв полеU = −α δ(x), α > 0и построить решения, принадлежащие дискретному и непрерывному участкам спектра.2.

«Одномерная молекула». Найти спектр энергий связанных состояний En , (занумерованных в порядкевозрастания начиная с n = 0) в полеU = −α(δ(x + a/2) + δ(x − a/2)),α > 0.Показать что «энергия молекулы» в основном состоянии как функция расстояния между центрамиV (a) =q2+ E0 (a),aq = constимеет минимум.3. Построить гейзенберговские операторы координаты и импульса для частицы в полеU (x) = a + bx + cx2 ,4a, b, c = const.4.

Найти комплексные собственные значения энергии квазистационарных состояний в полеU = ∞ θ(−x) + αδ(x − a),α > 0,предполагая, чтоψ(x) = A exp(ikx),при x > a.5. Найти спектр энергий в полеU =gn=∞Xk∈C(−1)n δ(x + nl)n=−∞6. Доказать формулу Бейкера – Хаусдорфа,eX eY = eZ/2 e(X+Y ) ,где X, Y, Z операторы, удовлетворяющие соотношениям[X, Y ] = Z,[X, Z] = 0,[Y, Z] = 0.7. Вычислить коммутаторы[x, f (p)],[p, f (x)],[a, f (a+ )],где x, p, a, a+ операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям[p, x] =~,i[a, a+ ] = 1и f – аналитическая функция.8. Имеет ли оператор id/dx самосопряженные расширения в L2 ([0, ∞))? То же для оператора i(d/dx + 1/x).Построить все самосопряженные расширения оператора id/dx в L2 ([0, 1]).9. Построить решения задачи на собственные значения для гамильтонианаH=p2mω 2 x2++ αδ(x)2m2для всех значений вещественных параметров ω, α.10.

Найти коэффициенты в рекуррентных соотношениях для нормированных собственных векторов |l, m >операторов L2 = L2x + L2y + L2z и LzL+ |l, m >= C|l, m + 1 >,L− |l, m >= D|l, m − 1 >,где L± = Lx ± iLy .11. Найти спектр энергий частицы в «непробиваемой консервной банке»pU = 0, приx2 + y 2 < a, 0 < z < h,и U = ∞ во внешней области.12. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии частицы, движущейся в трехмерномпространстве в полеαU = −p.x2 + y 213. Построить интегралы движения для электрона в постоянном и однородном магнитном поле (описываемом уравнением Паули) включая спиновый. Доказать, что угловая скорость прецессии спина совпадает сугловой скоростью орбитального движения.14.

Построить волновые функции стационарных состояний электрона в параллельных (постоянных и однородных) электрическом и магнитном полях напряженности E, B.15. В рамках теории возмущений рассчитать расщепление уровней атома водорода (с учетом спина электрона)в слабом однородном магнитном поле. Спин-орбитальным взаимодействием пренебречь.16. В борновском приближении вычислить дифференциальное сечение рассеяния на потенциале Юкавы:V (r) = g5e−arr17. Нейтральная частица со спином S = 12 и магнитным моментом µ находится при t = 0 в состоянии с проекцией спина на некоторое направление, равной 12 . Рассмотреть прецессию магнитного момента в магнитномполе, перпендикулярном этому направлению и имеющем напряженность B. Решить задачу в представлении Гейзенберга. Найти направление, вдоль которого ориентирован спин в момент времени t.18.

Найти собственные значения и собственные векторы оператора exp(σk ak ), где σk – матрицы Паули, аa1 , a2 , a3 – действительные числа.19. В рамках теории возмущений вычислить поправку к энергии орто- и парагелия в основном состоянии засчет взаимодействия между электронами.20. Вычислить вероятности квантовых переходов одномерного гармонического осциллятора под действиемвозмущенияV = α x δ(t).21.

Вычислить давление и теплоемкость идеального Ферми - газа при T < ǫF (энергия Ферми).УказаниеZ 2ǫν dǫ1 2Tµν+11+ π ν ν +1+ ...=ν +16µexp( ǫ−µT )+122. Доказать, что для идеального Бозе / Ферми газа(np~ − hnp~ i)2 = hnp~ i (1 ± hnp~ i) .23. Вычислить давление и теплоемкость идеального Бозе-газа при T < T0 (температура вырождения). Показать, что производная теплоемкости по температуре испытывает скачок при T = T0 .24. Получить распределение Планка для спектра излучения черного тела. Вычислить энтропию и свободнуюэнергию.25. Найти КПД цикла Карно и доказать его максимальность для замкнутых циклов.26.

Найти свободную энергию системы гармонических осцилляторов в термостате при температуре T .27. Матрица плотности осциллятора равна:ρb =∞ Pn|nihn| exp − EkTn=0∞Pi=0Eiexp − kTНайти плотность распределения координаты.Последняя компиляция: 23 декабря 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.6.