Д.В. Гальцов - Программа и задачи к экзамену по физике

Программа и задачи к экзамену по физикеЛектор — Дмитрий Владимирович Гальцов8–9 семестр, 2006 г.1. 8 семестр1.1. Программа экзамена (2005, 2006)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.Электростатика. Потенциал, энергия электрического поля.Магнитное поле, вектор-потенциал, сила Лоренца, энергия магнитного поля.Электромагнитная индукция. Сохранение заряда и ток смещения Максвелла.Уравнения Максвелла в трехмерной форме.

Теорема Умова – Пойнтинга.Электромагнитные волны. Волновой вектор.Преобразования Лоренца. Кинематические эффекты СТО. Сложение скоростей.Пространство Минковского. Мировая линия, 4-скорость и 4-ускорение.4-потенциал и тензор электромагнитного поля. Преобразование компонент поля. Уравнение Максвеллав четырёхмерной форме.Принцип наименьшего действия в релятивистской механике.Обобщенный импульс. Гамильтониан. Уравнение Гамильтона – Якоби для заряда в электромагнитном поле.Движение заряда в кулоновом поле.Действие для электромагнитного поля. Тензор энергии – импульса.Функции Грина уравнения д’Аламбера.

Запаздывающие потенциалы.Излучение ускоренного заряда.Гравитационное поле. Принцип эквивалентности. Метрика и связность.Уравнение геодезических и уравнение Гамильтона – Якоби частицы в гравитационном поле.Решение Шварцшильда. Отклонение луча, смещение перигелия.Тензор кривизны. Уравнения Эйнштейна.Однородные и изотропные космологические модели.1.2. Экзаменационные билеты (2005, 2006)К каждому билету прилагается одна задача из списка.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.Закон Кулона. Потенциал, уравнение Пуассона.

Энергия электрического поля.Магнитное поле. Вектор-потенциал. Сила Лоренца. Энергия магнитного поля.Закон электромагнитной индукции. Сохранение заряда и ток смещения Максвелла.Уравнения Максвелла в трехмерной форме. Теорема Умова – Пойнтинга. Тензор натяжений.Электромагнитные волны. Волновой вектор, поляризация.Преобразования Лоренца. Кинематические эффекты СТО. Сложение скоростей.Пространство Минковского.

Мировая линия, 4-скорость и 4-ускорение.4-потенциал и тензор электромагнитного поля. Преобразование компонент поля. Уравнение Максвелла вчетырёхмерной форме.Уравнения движения релятивистского заряда. Функция Лагранжа и действие. Принцип наименьшего действия в релятивистской механике.Обобщенный импульс. Гамильтониан. Уравнение Гамильтона – Якоби для заряда в электромагнитном поле.Движение релятивистского заряда в кулоновом поле.Действие для электромагнитного поля.

Тензор энергии-импульса.Функции Грина уравнения Д’Аламбера. Запаздывающие потенциалы.114. Излучение ускоренного заряда.15. Гравитационное поле. Принцип эквивалентности. Метрика и связность.16. Уравнение геодезических и уравнение Гамильтона – Якоби частицы в гравитационном поле. Симметрии изаконы сохранения.17. Решение Шварцшильда. Отклонение луча, смещение перигелия.18. Тензор кривизны.

Уравнения Эйнштейна. Принцип наименьшего действия. Линейное приближение.19. Однородные и изотропные космологические модели.Литература[1][2][3][4][5]Д. В. Гальцов, Ю. В. Грац, В. Ч. Жуковский. Класические поля. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.Д. В. Гальцов. Теоретическая физика для студентов-математиков. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2003.Л.

Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. — М.: ФизМатЛит, 2001.В. И. Арнольд. Математические основы классической механики. — М.: Наука, 1989.Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: методы и приложения. — 5-е изд.,испр. — М.: УРСС, 2001.1.3. Задачи1.3.1. Электростатика и электродинамика. Магнитное полеq1. Найти ёмкость C = ϕ1 −ϕ21) плоского конденсатора (не заполненного диэлектриком), состоящего из двух параллельных пластинплощади S на расстоянии d (d2 ≪ S);2) конденсатора, образованного двумя концентрическими сферами радиусов R1 и R2 .2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.Здесь q — заряд одной из обкладок, ϕ1 и ϕ2 — потенциалы обкладок.Найти электростатический потенциал и электрическое поле шара радиуса R (внутри и снаружи), заряженного по объёму с плотностью ρ.Рассчитать распределение поверхностного заряда на бесконечной проводящей заземлённой плоскости, индуцированное точечным зарядом q, находящимся на расстоянии h от неё.Рассчитать распределение поверхностного заряда на проводящей сфере радиуса R, индуцированное точечным зарядом q, находящимся на расстоянии h > R от её центра.Равномерно заряженная сфера (заряд Q, радиус R) разрезана на две половины.

Найти силу взаимодействия половин.По тонкому проводнику, образующему правильный n-угольник со стороной a, течёт постоянный ток J.Найти магнитное поле в центре.Найти силу, разрывающую на две половины равномерно заряженный по объёму шар (заряд Q, радиус R).Диск радиуса R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью σ, вращается с постоянной угловойскоростью ω. Найти магнитное поле на оси симметрии.Шар радиуса R, равномерно заряженный с плотностью ρ, вращается с постоянной угловой скоростью ω.Найти магнитное поле в центре шара.Определить потенциал и электростатическое поле, создаваемое плотностью заряда ρ(~r) = ρ0 cos(~k, ~r), где~k — заданный постоянный вектор.Рассчитать вектор-потенциал и магнитное поле, создаваемое равномерно заряженной сферой (полныйзаряд Q, радиус R), вращающейся с постоянной угловой скоростью ω.Найти магнитное поле, создаваемое постоянным и однородным поверхностным током, текущим по бесконечной плоскости.Найти магнитное поле постоянного тока плотности i, текущего по поверхности цилиндра радиуса R1) параллельно оси;2) вдоль окружностей.21.3.2.

Специальная теория относительности1. Получить формулы релятивистского сложения скоростей в векторном виде, считая скорость движущейсясистемы отсчёта произвольно направленной.2. Получить формулы преобразования трёхмерного ускорения при переходе к движущейся системе отсчёта.3. Записать преобразования Лоренца в форме SL(2, C).4. Показать, что композиция двух преобразований Лоренца с непараллельными скоростями не является чистым преобразованием Лоренца.5.

Найти закон движения частицы, испытывающей постоянное ускорение в собственной системе отсчёта.6. Рассчитать движение релятивистского заряда в постоянных и однородных электрическом и магнитномполях равной величины1) ортогональных,2) параллельных.7. С помощью уравнения Гамильтона – Якоби найти закон движения и траекторию релятивистского зарядав поле плоской электромагнитной волны круговой поляризации, описываемой вектор-потенциаломn z z o, sin ω t −,0A = A0 cos ω t −cc8. Рассчитать движение релятивистского заряда в кулоновом поле.

Рассмотреть все случаи финитного иинфинитного движений.9. Исходя из релятивистского закона сохранения энергии и импульса, доказать, что электрон-позитроннаяпара не может аннигилировать в один фотон. Возможна ли аннигиляция с образованием двух фотонов?10.

Определить скорость системы отсчёта, в которой постоянные и однородные электрическое и магнитноеполя параллельны. Всегда ли существует решение и единственно ли оно?11. Найти закон отражения и частоту отражённой волны при наклонном падении на плоское зеркало, движущееся со скоростью V1) параллельно своей плоскости,2) перпендикулярно ей.12.

Показать, что сумма тензоров энергии-импульса системы релятивистских зарядов и электромагнитногополя имеет нулевую дивергенцию в силу уравнений движения и уравнений Максвелла.1.3.3. Излучение. Общая теория относительности1. Вычислить угловое распределение и полную интенсивность излучения нерелятивистского заряда, совершающего гармонические колебания вдоль оси с амплитудой z0 и частотой ω (ωz0 ≪ c).2. Найти время жизни электрона, движущегося по круговой орбите в атоме водорода, при учёте излучения.3. Найти полную интенсивность и угловое распределение излучения релятивистского заряда, движущегося впостоянном и однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной полю.

Какова доля излучения,поляризованного в плоскости движения (вектор электрического поля лежит в этой плоскости)?4. Получить сечение рассеяния электромагнитной волны частоты ω на связанном электроне, совершающемколебания частоты ω0 вдоль оси, направленной по вектору поляризации волны.

Движение считать нерелятивистским.5. Вывести формулу для смещения полуоси эллиптической орбиты за счёт релятивистских поправок придвижении в поле Шварцшильда.6. Показать, что радиальные геодезические в поле Шварцшильда приближаются к горизонту событий забесконечное время по часам удалённого наблюдателя.

Каково время падения по собственным часам?7. Рассчитать параметры всех круговых орбит массивных и безмассовых частиц в поле Шварцшильда.8. Рассчитать космологическое красное смещение в однородных и изотропных моделях Вселенной.Последняя компиляция: 23 декабря 2006 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.32. 9 семестр2.1. Программа экзамена (2006)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.Волновой пакет.