Уравнение Дирака (Ф.Ю. Попеленский - Математические основы современной физики)

Óðàâíåíèå Äèðàêà.Ñïèíîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëîðåíöà ðåàëèçóåòñÿ ïîëåì Äèðàêà ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûì ñïèíîðîì, êîòîðîå ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå ñòîëáöàψ(x) = ψ1ψ2ψ3ψ4.Ñïèíîðíîå ïîëå ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Äèðàêà(1)(iγµ ∂ µ − m)ψ(x) = 0 ,ãäå ìàòðèöû Äèðàêà γµ ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðåõðÿäíûìè ìàòðèöàìè, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþγ µ γ ν + γ ν γ µ = 2η µν .(2)Óñëîâèå (2) íå çàäàåò ìàòðèöû Äèðàêà îäíîçíà÷íûì îáðàçîì. Îíè ìîãóò áûòüâûáðàíû ðàçíûìè ñïîñîáàìè òàê, ÷òî îíè îòëè÷àþòñÿ íà ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà(3)γµ → U −1 γµ U .U ïðîèçâîëüíûå ÷èñëîâûå ìàòðèöû 4×4, êîòîðûå îáû÷íî ïîëàãàþòñÿ óíèòàðíûìè,÷òîáû ñîõðàíèòü îäèíàêîâûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ γ ìàòðèö ïðè èõ ýðìèòîâîìñîïðÿæåíèè (ñì. íèæå ôîðìóëà (6)).×àñòî óäîáíî èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìîå ñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîììàòðèöû Äèðàêà çàïèñûâàþòñÿ â áëî÷íîì âèäå1 00 −10γ =!0 σn−σn 0n, γ =!(4),ãäå äâóõðÿäíûå ìàòðèöû 1, 0, σn åñòü, ñîîòâåòñòâåííî,1=σ1 =0 11 01 00 1!, σ2 =!0 00 0, 0=0 −ii 0!!, σ3 =,1 00 −1!.(5)Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî çàäàííûå ôîðìóëàìè (4) ìàòðèöû ïðè ýðìèòîâîì ñîïðÿæåíèè âåäóò ñåáÿ êàê++γ 0 = γ0 , γ n = −γn .(6)Ñâîéñòâî (6), êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ñèëó óíèòàðíîñòè ìàòðèö U ñïðàâåäëèâî è ïðèäðóãèõ âûáîðàõ ÿâíîãî âèäà ìàòðèö Äèðàêà.Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ (1) è ïîêàæåì, ÷òî åñëè ñïèíîðíîå ïîëå óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ Äèðàêà, òî òîãäà êàæäàÿ èç åãî ÷åòûðåõ êîìïîíåíò óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ÊëåéíàÃîðäîíàÔîêà.

Äëÿ ýòîãî ïîäåéñòâóåì íà óðàâíåíèå (1) ñëåâà äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì (iγ ν ∂ν + m) . Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (2) ïîëó÷èì(iγν ∂ ν + m)(iγµ ∂ µ − m)ψ(x) = −(∂µ ∂ µ + m2 )ψ(x) = 0 .1(7)Ò.ê. äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîé ìàòðèöå, òî óðàâíåíèåÊëåéíàÃîðäîíàÔîêà óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïîêîìïîíåíòíî.Óðàâíåíèå(1) ðåëÿòèâèñòñêè êîâàðèàíòíî. ×òîáû ðåëÿòèâèñòñêè êîâàðèàíòíîìóóðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿë òàêæå è ñîïðÿæåííûé ñïèíîð, îïðåäåëèì åãî ñïåöèàëüíûìîáðàçîì. Íàçîâåì äèðàêîâñêè ñîïðÿæåííûì ñïèíîðîì âûðàæåíèå+(8)ψ(x) =ψ (x)γ 0 ,ñîäåðæàùåå, ïîìèìî ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ, óìíîæåíèå ñïðàâà íà ìàòðèöó γ 0 .Âûïîëíèâ ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå óðàâíåíèÿ (1) è óìíîæèâ åãî ñïðàâà íà γ 0 , ñó÷åòîì (6) è (8) ïîëó÷èìi∂µ ψ(x)γ µ + mψ(x) = 0 .(9)Óðàâíåíèå (9) òàêæå çàïèñûâàþò â âèäå(10)ψ(x)(i∂µ γ µ + m) = 0 ,ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ, ñòîÿùóþ ñëåâà.

 äàëüíåéøåì ìû, êàê ïðàâèëî, íå áóäåì óêàçûâàòü èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ â ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèè γ∂.Ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç êîìïîíåíò äèðàêîâñêîãî ñïèíîðà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÊëåéíàÃîðäîíàÔîêà, òî ôóðüåïðåäñòàâëåíèå ñïèíîðíîé ôóíêöèè ψ(x) çàïèñûâàåòñÿ â âèäåZ3ψ(x) = (2π)− 2 d4 keikx δ(k 2 − m2 )ψ̃(k) .(11)Âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî k0 , ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëîæèòåëüíî èîòðèöàòåëüíî ÷àñòîòíûõ ÷àñòåé ôóíêöèè ψ(x)− 32±ψ (x) = (2π)Zd3 ke±ikx χ± (~k) .(12)qÍà÷èíàÿ ñ ýòîé ôîðìóëû, êàê îáû÷íî, k0 = ~k 2 + m2 . Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,÷òî â îòëè÷èå îò ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëû äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, â èíòåãðàëå (12)1íåò ìíîæèòåëÿ (2k0 )− 2 . Ýòî îçíà÷àåò ïðîñòî äðóãîé âûáîð íîðìèðîâêè ñïèíîðíûõôóíêöèé χ± (~k).Óðàâíåíèå (1) äëÿ ñïèíîðíûõ ôóíêöèé χ± (~k) ïðåâðàùàåòñÿ â(m ± γp)χ± (~k) = 0 .(13)Ðàññìîòðèì ýòî óðàâíåíèå â ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé ~k = 0 . ýòîé ñèñòåìå k0 = m, è óðàâíåíèå (13) âûãëÿäèò êàê(14)(I ± γ0 )χ± (0) = 0 . ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè γ ìàòðèö äëÿ êàæäîé èç ôóíêöèé χ± (0) ïîëó÷èì ïîäâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ âèäàv1− (0) = C1 1000 , v2− (0) = C2 0100 ; v1+ (0) = C3 20010 , v2+ (0) = C4 0001.Ci (i = 1, 2, 3, 4) íåêîòîðûå îòëè÷íûå îò íóëÿ ÷èñëà, çàäàþùèå íîðìèðîâêó.×òîáû ïîëó÷èòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå, âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ñïèíîðîâ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõËîðåíöà.

Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èìïóëüñ ~k íàïðàâëåí âäîëü îñè x3 , ò.å.kµ = (k0 , 0, 0, k3 ).  ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:1ϕv(k3 ) = exp − [γ3 , γ0 ]v(0) ,22(15)ãäå [γ3 , γ0 ] = γ3 γ0 − γ0 γ3 , à óãîë ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïîâîðîòà ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìèv1√.(16)cosh ϕ = √,sinhϕ=−1 − ~v 21 − ~v 2Âñïîìèíàÿ âûðàæåíèå èìïóëüñà ÷åðåç ñêîðîñòü:~k = √ m~v ,1 − ~v 2ïîëó÷èìqk0k3cosh ϕ = , sinh ϕ = − , k0 = k32 + m2 .mm ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü,1− [γ3 , γ0 ] =2Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì0 σ3σ3 0è ðàçëàãàÿ ýêñïîíåíòó â ðÿä ïîëó÷èì(0 σ3σ3 0exp!Òàêèì îáðàçîì,v(k3 ) =ϕ2)0 σ3σ3 0(17)!(18).!2(19)= I,ϕϕ= cosh I + sinh221 cosh ϕ2 σ3 sinh ϕ2σ3 sinh ϕ2 1 cosh ϕ20 σ3σ3 0!(20).!(21)v(0) .Ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè ïîëîâèííîãî óãëà ñ ó÷åòîì (17) ðàâíûϕcosh =2sk0 + mϕ, sinh =2m2sk0 − mk3=q.2m2m(k0 + m)(22) èòîãå ïîëó÷èì 4 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêàsv1− (k3 )= C1k0 + m 2m 10k3k0 +m0sk0 + m− , v (k3 ) = C222m3010−k3k0 +m,sv1+ (k3 )= C3k0 + m 2m k3k0 +m , v + (k3 ) = C42010sk0 + m 2m +0−k3k0 +m01.(23)∗±Îáîçíà÷èì ðåøåíèå äëÿ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîãî ñïèíîðà ψ (x) ÷åðåç v s (k3 ), s = 1, 2,à äëÿ äèðàêîâñêîãî ñîïðÿæåííîãî ñïèíîðà ψ(x) ÷åðåç v ±s (k3 ).

Î÷åâèäíî, ÷òî∗±(24)v s = (vs∓ )+ .Âûáåðåì âñå íîðìèðîâî÷íûå êîýôôèöèåíòû â ôîðìå Ci =∗±v s (k3 )vr∓ (k3 ) = δsr .mk3(i = 1, 2, 3, 4). Òîãäà(25)Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ñïèíîðû ñ ïðîèçâîëüíûì íàïðàâëåíèåì ~k. Äëÿ íèõòîæå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè∗±v s (~k)vr∓ (~k) = δsr ,(26)à òàêæå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè ñïèíîðîâ ñ àðãóìåíòàìè, îòëè÷àþùèìèñÿ çíàêàìè,∗±~ = 0.v s (~k)vr∓ (−k)(27)Íåòðóäíî òàêæå âûâåñòè óñëîâèå îðòîíîðìèðîâàííîñòè äëÿ äèðàêîâñêè ñîïðÿæåííûõ ñïèíîðîâm∗±~ ∓~v±δsr , (v ± =v γ0 ) .(28)s (k)vr (k) = ±k0Èòàê, ïðîèçâîëüíûé ñïèíîð, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ Äèðàêà, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåçàâèñèìûõ ðåøåíèéχ± (~k) =X~ ±~a±s (k) vs (k) ,(29)∗±~as (~k) v ±s (k) ,(30)s=1,2χ± (~k) =Xs=1,2∗±~~ãäå a±s (k), as (k) ÷åòûðå ïðîèçâîëüíûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè.Óðàâíåíèÿ (1) è (10) ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èçëàãðàíæèàíàiihL=ψ(x)γ∂ψ(x) − ∂ψ(x)γψ(x) − mψ(x)ψ(x) .(31)2Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñòðóêòóðó ëàãðàíæèàíà (31).

Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ëåâûì ÷àñòÿì óðàâíåíèé (1) è (10). Ïîýòîìó, åñëè ïîäñòàâèòü â L â êà÷åñòâå ïîëåé ψ(x) è ψ(x) ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Äèðàêà,òî ëàãðàíæèàí (31) îáðàòèòñÿ â íóëü.4Ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñïèíîðíîãî ïîëÿ, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿäëÿ òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà è âåêòîðà òîêà:T µν =iihψ(x)γ µ ∂ ν ψ(x) − ∂ ν ψ(x)γ µ ψ(x) ,2(32)J µ = ψ(x)γ µ ψ(x) .(33)T µν 6= T νµ .(34)Çàìåòèì, ÷òîÏîâòîðÿÿ âû÷èñëåíèÿ àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå ïðèâåëè ê ñîîòâåòñòâóþùèìôîðìóëàì äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, è èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (28), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿäëÿ âåêòîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà è çàðÿäà â âèäå èíòåãðàëîâ ïî ~k ïðîñòðàíñòâóPµ =Zd3 k kµ∗−~~ +~as (~k)a−s (k)− as (k)as (k) ,X ∗+(35)∗−~ +~~as (~k)a−s (k)+ as (k)as (k) .(36)s=1,2Q=Z3~dkX ∗+s=1,25.