П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 5

Вообще для первичных величин характерно, что существуют правила, посредством которых первичная величина непосредственно измеряется единицами того же рода. Легко убелиться, что при выборе таких правил мы молчаливо налагаем некоторое требование. Например при измерении длины это требование прн замене первоначальной единицы длины, скажем половинной единицей, сводится к тому, чтобы числа, прелставляюшие меру любой конкретной длины в новых единицах, были вдвое больше первоначальных чисел. Методологии систем измерений до сих пор уделялось очень мало внимания; я не знаю, например, формулировалась ли когла-либо только что приведенная характеристика всех наших систем измерения. Из рассмотрения любой практически применяемой системы измерений, очевилно, олнако, что указанное свойство имеет место.

Нзли. чие этого свойства связано с чрезвычайно важным слелствием, состоящем в том, что отношение чисел, выражающих измерения например двух конкретных длин, не зависит от размера единицы„ при помощи которой произведено измерение. Это след- ФОРМУЛЫ РАЗМЕРНОСТИ стане несомненно сраау очевилно, ибо, меняя размер основной единицы в л раз, мы, согласно сделанной гипотезе, меняем меру ) каждой длины в — рав и таким образом оставляем неизменным п отношение мер любых лвух ллнн. Это значит, что отношение длин лвух произвольных предметов имеет абсолютное значение, независимое от размера единиц. Справедливо и обратное заклю.

чение, как это явствует после небольшого размышления. Если мы требуем, чтобы наша система измерений первичных количеств посредством ейиниц того же вида была такой, чтобы отношение мер лвух любых объектов не зависило от размера единиц, в та. ком случае меры конкретных объектов должны изменяться об.

ратно пропорционально размерам елиницы. Помимо первичных величин существует другая группа величин, которые можно назвать аглоричными. Их числовые значения не получаются операцией непосредственного сравнения с другой величиной того же вида, принимаемой за единицу; метод измерения в этом случае окольный и более сложный.

Вто. ричные величины измеряются посрелством промера некоторых первичных величин, связанных с рассматриваемыми, согласно правилам, лающим число, определяемое как мера данной вторичной величины. Например скорость обычно определяется как вторичная величина. Мы получаем ее меру, измеряя длину н время (т. е. две первичных величины), соответствующее данной длине, и разделяя число, измеряющее длину на число, измеряющее время (или, условно говоря, разделяя ллину на время).

Существует некоторое ограничение в отношении тех правил операций, которыми мы своболно можем распоряжаться при опрелеленин вторичных величин. Мы налагаем то же самое требование как и на первичные величины, т. е. отношение 4исел, нзмеряюшнх любые дра конкретных образца вторичнсй величины, лолжно не зазисАть от размера основных единиц, применяемых при выполнении требуемых первичных измерений. Если, скажем, олно вешсство обладает вязкостью вдвое большей чем другое, н олин автомобиль движется втрое скорее другогоь то это утверждение должно иметь абсолютное значение н зависимо от размера основных, первичных единиц.

Это требование не является необходимым лля производства измерений вообще, Любые правила операций могут служить ос-' нованием системы измерений, сопрягаюших числа с явленнямй . таким образом, чтобы своеобразие данного явления однозначно озрелелялось числом в Связи с правилами оперзцнй. Однако 3 лн*лиа еьзмвзноствй требование постоянства отношения, или, как можно сказать, абсолютного значения относительного количества, существенно для всех систем измерений, применяемых в науке. Анализ размерностей не применим к системам, не удовлетворяющим этому требованию, поэтому в эгой книге мы рассматривалн только такие системы.

Следует в особенности заметить, что линия раздела между первичнымн и вторичными величинами не является резко и раз навсегда установленной естественными условиями; она в значи. тельной степени произвольна и зависит от того или иного ряда правил операций, которые мы находим удобными принять, определяя нашу систему измерения. Например в нашей обычной системе механики сила является вторичной величиной, и мера ее получается перемножением числа, измеряющего массу на число, измеряющее ускорение (которое и само является вторичной величиной). Но физически сила вполне достойна зэннмать место первичной величины, потому, что мы понимаем смысл утверждения, что одна сила вдвое больше другой, н нам известен процесс, при помощи которого сила может измеряться при помощи единицы ее же собственного вида.

То же самое можно сказать от. носительно скорости: возможно найти способ непосредственного сложения скоростей и таким образом измерять скорость единицами ее собственного вила, т. е. возможно рассматривать скорость как первичную величину; можно пожалуй усомниться в том, что любая физическая величина пригогна в случае на. добности и удобства в качестве первичной. Сразу, например, не ясно, можно ли придумать физические приемы для непосредственного сравнения двух вязкостей без измерения величин другого роааР Но этот вопрос не существенен для дальнейшего н не должен нас задерживать, хотя сам по себе он очень интересен, Ко сгатир>ем только, что сопряжение чисел с измеряемыми количествами требует некоторой системы правил операций такого рода, что величины распадаются на две группы, которые мы называем первичными и вторичными.

Мы говориля уже, что требование „абсолютного значения относительной величины" налагает определенные ограничения на операции, посредством которых вторичные величины могут быть измерены через первичные, Формулируем это ограничение аналитически. Назовем первичные величины, при помощи которых измеряются вторичные, через а,,", т и т. д. Измерения первичных величин комбинируются определенным образом так, чтобы по. Фогмулы Рьзмвгиости лучилась мера вторичной величины. Представим зту комбинанацию функциональным символом У, полагая, следовательно, что вторичная величина =у (а,,'1, Т,...). Всли имеются два конкретных образца вторичной величины, то связанные с ними первичные величины имеют различные численные значения. Обозначим зна чения, связанные с первым образцом, индексом 1, со вторым— индексом 2.

Тогда ~(а„ (1о То...) будет мерой первого образца, у (аг, ррг, тг,...) — мерой второго. Изменим теперь размер основных единиц. Возьмем единицу, измеряющую а в х раз меньшей, Тогда, как мы видели, число, измеряющее а, будет в х раэ больше, или ха. Точно также возьмем единицу, измеряющую ';. в у раз меньшей, и соответствующее число станет равным уь'.

!1оскольку правило операции, посредством которого численное значение вторичной величины получено иэ первичных величин, не зависит от размера первичных елиниц, число, измеряющее вторичную величину, делается теперь равным г (ха, у,'.....). Мерами двух конкретных образцов вторичного количества теперь будут г" (хао фо „,) и у (хат, у,"г, ...). Наше требование абсолютного значений относительной величины аналитически выразится так: у (а„а, ) у'(хаьууь...) Г (ав йн...) г (хаь уэь...) Это отношение должно быть справедливым для любых зна. чеиий а,,...

аг,,'.)ы... и х, у, г,... Мы хотим отсюда найти вид неизвестной функцяи у. Перепишем нашу формулу в таком виде: ~(ха„у,'.о...) =у'(хат, у Ьа,...) Х Й ; Р~,- )' Лифференцируя по х н обозначая через г', — частную произ. водную относительно первого аргумента и т.

д. имеем: а,/, (ха„у рм...) = а„у, (хат, ура,...) Х у(.,).,") ' Положим теперь х, у, = и т. д, равными 1, тогда )1(а„й1, ...) / (а ч,...) Г(а~, й...) а у(аь уь,,) Эта формула должна выполняться для любых значений а~ н.., и аг,ра,... АнАлиз РАзмаРностзй Отсюда, полагая аь, ',".„... постоянными и позволяя а,",'о.. изменяться, имеем: ггг — — „= соль! ,г' Й или 1 гт1 сгпт ,гй ь откуда интегрированием находим: в ь в ! 1 Множитель С, есть функция других переменных р, т,... Этот прием можно повторить, частично дифференцируя от.

носительно у, г,... и затем интегрируя. Окончательный результат очевидно будет: у" = Саа ~в т с где а, Ь, с... и С вЂ” постоянные, Таким образом каждое вторичное количество, удовлетво- ряющее условию абсолютною значения относительной вели- чины, должно выражаться как некотпорая постоянная, у.нчо- женная на первичные величина е некоторых степенях. Мы уже говорили, что только вторичныевеличнны такого рода при- меняются в научных измерениях, величины иного характера здесь не рассматриваются, Итак мы ответили на один из вопросов вводной главы: по- чему в формулах размерностей основные единицы входят всегда как произведения в степенях? Ясно, что операции, посредством которых вторичная вели- чина измеряется при помощи первичных, математически опреде- лены коэффициентом С и показателями степеней различных пер- вичных величин.