П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 4

Почему уравнение, правильно связывающее рааличные измеримые физические величины, лолжно по своей форме не зависеть от размера основных единиц? Как булто бы для этого нет никакой необходимости, диктуемой приролой самого физического измерения. Всякое уравнение есть описание явления или класса явлений. Оно утверждает в компактной форме, что оперируя определенным прелписанным способом так, чтобы получить ряд чисел, описывающих результаты операций, мы должны при подстановке этих чисел в уравнение удовлетворить последнему. Вообразим себя, например, в положении Галилея, пытающегося найти закон падения тел.

Материалом для наших наблюдений могут служить все свободно падающие тела на поверхности земли. В качестве измерительного инструмента пользуемся некоторой единицей длины, например метром, и некоторой единицей времени, например минутой. Мы применяем эти единицы по опрелелеиным правилам ко всем падающим телам и получаем пары чисел для различных тел, относящихся к пространству, пройденному за некоторое время, протекшее от начала явления. Мы делаем при этом великое открытие, заключающееся в том, что число, выражающее расстояние падения любого тела, любого размера и свойства, находится всегда в постоянном отношении к квадрату числа, АНАлиз глзмззйоствй вввдвиив 21 выражающего протекшее время.

Измеренные числа, вставляемые в это соотношение, были получены прп помощи некоторых совершенно определенных единиц. Тем не менее описание верно, и наше открытие очень важно даже при условии, что расстояние и время должны измеряться первоначально избранными частными единицами. Наше открытие можно записать в виде уравнения: а=сопл! тз.

Пусть некто, обитатель другой страны, пользующийся другой лт - „системой единиц, столь же ненаучной, как иаш метр и минута, ь яп~,, прослышав о нашем открытии, воспроизводит опыты со своими с уь измерительными инструментами. Он подтверждает наш резуль. "' "" тат, но значение постоянной в его уравнении другое.

Это значит, что постоянная зависит от размеров примененных елиниц, елч т. е. является пазмепной постоянной, Узнав о результатах проверки нашего открытия в другой лаА,«.; стране, мы начинаем размышлять. Наконец мы приходим к ь '" ": выводу, что так и должно быть и не могло быть иначе. Мы Уг '„',, беремся предсказать наперед, как изменится постоянная в зависимости от той или иной системы измерений. Если нас начи- 'оЬ' кают расспрашивать о деталях, то мы даем софистический -л~а Ф" ответ, что мы меняем постоянную так, чтобы в точности компенсировать всякое изменение чисел, представляющих длину или время, в результате получается по существу прежнее уравнение. Если единица длины вдвое меньше первоначальной, так что число, измеряющее некоторое расстояние падения, становится вдвое большим, то мы умножаем постоянную на 2, чтобы компенсировать лишний фактор 2 в левой части уравнения.

Точно так же, если единица времени втрое больше первоначальной, 1 т. е. число, выражающее длительность падения, имеет только З первоначального значения, постоянную придется умножить на 9, чтобы компенсировать фактор — „, который иначе появился бы 1 в первой части равенства. Иными словами мы приписываем постоянной размерность ЕТ ' и таким образом полумаем формулу, не зависящую от размера основных единиц. Эта улача ободряет нас н мы переносим процесс и на другие более сложные системы.

Например, мы наблюдаем высоту приливов в порту, пользуясь для измерения высоты воды футовой линейкой и часом, как единицей времени. В результате многих наблюдений находим, что высота воды может быть представлена формулой: й = 5 з!и 0,5066 !. Мы переписываем это уравнение в такой форме, чтобы всякий другой наблюдатель, применяющий для измерений другую систему единиц, мог ею воспользоваться, Для этого вводим в уравнение две размерные постоянные: йС~ —— 5з!п 0,5066 Сзг, где С, имеет размерность 1. и Сэ размерность Т Отсюда естественно слелует обобщение. Любое уравнение, какого угодно вида, правильно воспроизводящее результаты из.

мерений, выполненных при помощи некоторой системы единиц в физической системе, может быть приведено к такому виду, в котором оно верно и для других систем единиц. Для этого к каждой наблюдаемой величине нужно ввести в виде множител размерную постоянную, размерность которой должна быть об. ратной по отношению к размерности самой наблюлаеиой вели- чины. Числовая величина этой постоянной должна быть такой чтобы в первоначальной системе единиц она имела значение 1, Разумеется во многих случаях форма уравнения может быть такой, что две, или большее число таких размерных постоянных сливаются в один множитель.

Вышеприведенный пример па- дения тела относится к этому случаю. Только что приведенное ' общее правило требует введения двух размерных постоянных, одной при з слева, другой при тз справа; посредством пере- множения их можно, однако, слить в одну. На наш вопрос получен ответ, мы видим, что всякое урав- нение можно привести к такому виду, что оно выполняется не- зависимо от размеров основных единиц.

Наша неуверенность в отношении размерных постоянных от этого не становится од- нако, меньшей. Не существуют ли свои размерные постоянные для каждого типа задач и как можно сказать наперед с какой размерной постоянной мы встретимся? Положение кажется еще более безнадежным чем сначала; мы могли с грехом пополам понять, почему гравитационная постоянная должна входить в задачу о двух вращающихся телах, можно согласиться с неко- торым подобием обоснования при внесении скорости света в задачу об электромагнитной массе, ио несомненно очень трудно!~ открыть общее основание нли способ предсказания для присут-~, ствия или отсутствия размерных постоянных в качестве множи-.

телей у измеряемых величин. 22 анализ Рззмвгносгзй Решая наши задачи, мы встретились еше с одним обстоятельством, требующим пояснений. Мы заметили, что каждая формула размерности измеряемой величины содержит основные единицы в виде произведения этих единиц в степенях. Насколько это необходимо, н могут ли существовать другие формулы раз мерности для количеств, измеряемых другим способом, а если так, то как следует применять наши методы к таким количествам? В итоге, в этой вводной главе мы натолкнулись на ряд важных вопросов, на которые следует дать ответ, прежде чеи ,у нас образуется уверенность в правильности результатов, получаемых методами анализа размерностей. Эти вопросы следующие: Прежде всего, когда входят размерные постоянных и каков их вид? Насколько необходимо, чтобы формула размерности любо~о измеряемого количества являлась произведением основных единиц в соответствующих степенях? В чем смысл величин, не имеющих размерностей? Могут ли функции„описывающие явления, ограничивзтьсн классом сумм произведений некоторых переменных в степенях? Какого рода количества должны выбираться в виде основ.

ных, при помощи которых осуществляется измерение других ' количеств? В частности сколько должно быть видов основных единиц? Правильно ли уменьшать насколько возможно число основных единиц введением определений в соответствии с экспери. ментальными фактами? Наконец, в чем состоит критерий пренебрежения некоторыми переменными в задаче, например вязкостью в задаче о теплопроводности, и каков характер получаемого результата? Является ли он приближенным илн точным? Если резульгат приближенный, то каково это приближение? ГЛАВА ВТОРАЯ. ФОРМУЛЫ РАЗМЕРНОСТИ. В вводной главе рассиотрено несколько отдельных задач, возбудивших ряд вопросов, на которые необходимо ответить, прежде чем стремиться к действительному овладению методом анализа размерностей.

Мы приступим теперь к последовательному изложению предмета, помня поставленные вопросы и постепенно на них отвечая. Цель анализа размерностей дать некоторые сведения и соотношениях, существующих между измеримыми величинами, связанными с различными явлениями. Преимушество метода в его быстроте; он избавляет ог необходимости производить полный анализ задачи, нет надобности, например, выписывать уравнения движения механической системы. С другой стороны, анализ раз. мерностей дает далеко не все сведения, которые могут быть получены при детальном рассмотрении. Рассмотрим прежде всего природу соотношений между из.

иеримыми величинами, интересуюшими нас. Оперируя с некоторым явлением или группой явлений мы применяем наш метод, приблизительно, так: сначала мы измеряем некоторые количества, в отноц~ении которых есть основания считать их важными при описании явлений. Эти измеряемые величины — различного рода; для каждой величины мы имеем особые правила для измерения, т. е. для сопряжения их с некоторыми числами. Получив достаточное количество таких измеренных чисел, мы ищем связи между найденными величинами.

Если мы достаточно опытны и удачливы, то находим соотношения, которые можно выразить в математической форме. Обыкновенно особенно интересна одна из величин, которую и пытаются выразить как функцию остальных. Иначе говоря, мы ищем соотношения: х, =Дх„х„...), АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ гле хн х, и т. л. — числа, выражающие различные измеренные физические величины. Так например х, может соответствовать скорости, хз — вязкости и т. д. Для краткости этот ловольно ллинный оборот речи можно заменить условным утвержленнем, что х, — скорость, в лействительности это не так, это только число, измеряющее скорость. Первое замечание, которое следует сделать в отношении функционального соотношения типа написанного, состоит в том, что аргументы распадаются на две группы в зависимости от способа, которым эти числа получены фактически. Первую группу количеств мы назовем первичными или основнымн.

Это те количества, которые соответственно специальным правилам операций, сопрягаюшим числа с явлениями,рассматриваются как основные и обладают несводимой более степенью простоты. Так в обычной системе механики основными первичными величинами являются масса, длина и время. В функциях рассматриваемого вила некоторые аргументы могут быть числами, являющимися мерой длин, масс или времен. Мы условимся называть такие величины первичными, При измерении первичных количеств должны существовать некоторые правила операций, устанавливающие физическую процедуру, посредством которой возможно измерять длину при помощи специальной длины избираемой в качестве единицы, или время при помощи специального интервала времени, избираемого стандартом.