П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 21

Получится тот же результат„если только нет специальных соотношений между размерными показателями, Наличие или отсутствие таких специальных связей легко определяется в каждом отдельном случае. 1(аждому, приступающему к летальному развитию теории структуры вещества такого рола, полевио выполнить предварительное исследование, выяснить подчиняются ли в действительности свойства вещества закону соответственных состояний, и в зависимости от результата предпринимать следующие шаги. Значение такой пгедварительной разведки бесспорно.

Привеленные рассуждения в некоторых своих частях напоминают анализ М е с л з н а 16), но они значительно общее. М е с л в н применял свой анализ только к уравнению состояния, прелполагая существование критической или других особых точек. В качестве последнего применения анализа размерностей к теоретической физике рассмотрим определение так называемых абсолютных систем единиц.

Абсолютные размеры обычных елиниц фиксированы произвольно, причем могут существовать логические связи между различными видами единиц. Единица длины, сантиметр, была, например, первоначально опрегелена в связи с четвертью длины земного меридиана, а единица массы была.

выбрана, как масса количества воды, занимающей единицу обьема. Выбор земли и воды, как обьектов, фиксирующих размер единицы, конечно, совершенно произволен. В нашем изложении мы многократно встречались с размер. ными постоянными. Обычно эти постоянные входят в какой. нибудь фактор пропорциональности в выражении эмпирически открытого закона природы. Такими постоянными являются: по.

стоянная тяготения, скорость света, квант действия, постоянная закона Стефана и т. д. Числовая величина размерных постоян. ных зависит от величины основных единиц, причем вид втой за- висимости выражается формулами размерности. Меняя величину основных единиц, мы можем изменять как угодно числовую величину размерных постоянных. В частности, приписывая основным единицам подходящие величины, мы можем приравнять числовые значения некоторых размерных постоянных единице. Но размерные постоянные обыкновенно являются выражением некоторого универсального закона прнролы.

Если основные елиницы выбраны так, что размерные постоянные равны единице, то тем самым мы опрелелвем размер единиц по отношению к универсальным явлениям вместо того, чтобы связывать их с такими случайными явлениями, как, например, плотность воды при атмосферном лавлении и определенной температуре. Вслелствие этого наши единицы становятся более значительными.

Всякая система единиц, определенная таким способом от. носительно явлений универсальной распространенности и значения, может быть названа абсолютной системой единиц. Первая такая система дана Планком 16) в его кинге о тепловом излучении. Он связал свою систему сквантомдействия, и по изложению Планка может показаться, что ло открытия кванта не было известно достаточного числа размерных постоянных подходящего характера, чтобы построить универсальную систему единиц. Это не так. Планку принадлежит первая идея о возможности абсолютных единиц, я он применил квант действия для их опрелеления, олнако никакой необходимости оперировать именно с квантом нет, как будет видно из дальнейшего изложения. Определим по формулам размерности группу абсолютных единиц, данных Пданком.' Для фиксации единиц мы выбираем 'постоянную тяготения, скорость света, квант действия н газовую постоянную.

Мы требуем, чтобы основные единицы обла. дали такими размерами. чтобы эти универсальные постоянные все имели значение 1 в новой системе. Задачу можно упростить лля нашего изложения, опустив газовую постоянную, потому что только в нее входит единица температуры. Ясно, однако, что после определения единиц массы, длины и времени можно сделать газовую постоянную равной единице соотзетствующим выбором велнчяны градуса. При определении величины новых единиц мы полагаем удобным пользоваться приемами главы Ш, применявшимися при изменении единиц. Напишем:постояннаятягогення=,0=6,668 10 зг — 'см'сек.

з Числовое вначенне в новой системе единиц найдется полстановкой в формулу для О выражений новых единиц через старые. Если новая единица массы такова, что она равна х з, 106 Анллнз Рлзмззноствй пгнмвнзння к теогвтнчвской еизнкв 107 Это значит, что: 3 новая единица ллнны равна у см, а новая единица времени равна г сек., то мы получим уравнение для опрелелення х, у н х, в котором числовое значение постоянной тяготения приравнено единице в новой снстеме: 6,656 ° 10 г г ' смз сек. г = 1(хг) ' (у см)' (г сек.) '. Две другие раамерные постоянные дадут два добавочных уравнения, требуемых для определения х, у и г. Зная числовые значения н формулы размерностей скорости света н кванта действия, сразу напишем: 3 10'есм сек.

з=1 (усм) (х сек.) 6,55 10 г смг сек. '=1(хг) (у ем)з (г сек) Эта система трех уравнений легко разрешается, и мы нмеем х=5,43.10 г; у=4,02 10; г=1,34 ° 10~". новая единица мессы равна 5,43 10 г длины , 4,02 10 см времени „ 1,34 10 сек До снх пор мы лвигалнсь впе„ед, все ясно н не возни кает никаких вопросов. Однако, иногда делаются попытки итти дальше в поисках некоторого абсолютного значения у полученных цифр на ннх смотрят как на характеристику самого меха- $ 1 низка, связанного с универсальными постоянными.

Эддннггон ( ), например, пишет: „Существуют трн постоянных прнроды, эа. нимающих доминирующее положение: скорость света, постоянная тяготения н квант действия. На нх основе можно построить еднннцу дляны, равную 4 10 см. Существуют н другие есте-гз ственные единицы длины, радиусы положительных н отрнцательных авралов, но нх размеры совершенно другого, высшего по. рядка величины.

За вовможным исключением теория материи Осборна Рейнольтса нн одна теорня не пыталась дойти до столь тонкого дробления. Но, очевидно, что эта длина должна служить ключом к некоторой, весьма существенной структуре". Спекулацни такого рода не могут возбуднть снмпаткн в ~ тех, кто разделяет наскол ко и т иалнстическ точк з ения 1 моего изложения. Единственным фактом некоторого значения во всем этом является только то, что размерные формулы трех постоянных поэволнлн определить новые единицы, вместе с тем эначенне этого факта не может быть большим, потому что есть шансы прн любой комбннацнн трех размерных постоянных, набранных наудачу, достигнуть того же самого, До тех пор, пока не будет раскрыта внутренняя связь между механизмами, определяющими постоянную тяготения, скорость света и кванта действия, размеры еднниц, найденных указанным способом, едва лн могут иметь какое-либо нное значение помимо связи этнх единиц с уннверсадьнымн явлениями.

Продолжим теперь вывол абсолютных единиц н перейлем к газовой постоянной. Для нее мы имеем уравнение: Гаэоваяпостоянная з) =гг=2,06 10 'г. смг сек. 5 '= =1 (хг) (усм)г (г сек.) г (озб) '; х, у, г уже определены, н,, следовательно, из уравнения сразу находится гв. Получаем 2,37 10, это значит, что новый градус должен равняться 2,37. 10 обычных градусов 1Хельсня. Даже в самых фантастических спекуляцнях астрофизики никто никогда не говорил о таких температурах, и будет лн проф.

Эллингтон утверждать, что эта температура должна быть ключом к каким то основным космическим явлениям? Теперь должна стать очевидной возможность получения систем абсолютных единиц разнообразными путями в завнснмости от универсальных постоянных нли явлений, численкое значение которых желательно упростнть. Прн любом выборе постоянных метод в общем будет тем же самым, как и в разобранном случае. Вообще говоря, должны быть четыре основных еднннцы, если только мы удовлетворяемся электростатнческой системой измерения зарялов н определяем величину заряда тем, что сила между двумя зарядами равна нх произведению, деленному на квадрат расстояния между ними.

Если мы не желаем ограннчи. ваться электростатической системой, то могут существовать пять видов основных единиц, Ничего существенного в этом чнсле 5 нет, оно возникает только потому, что обычно мы применяем механнческую систему единиц, в которойз фактор В Газовая постоянная, применяемая здесь, отличается от прикятой 3 яз множитель — т, е.

соответствует трем степеням свободы. Прим.ргд. 2$ 109 пеимзнзний к твовзтической аизнкв 108 лнллнз РлзмвРнастзй пропорциональности между силой и произвеленнем массы на ускорение всегда приравнивается единице. Удобство такой системы в случае механических явлений очевидно, благодаря их универсальной распространенности.

Но если бы течпературные эффекты были бы столь же распространены и привычны, то мы с равным правом могли бы настаивать на системе единиц, в которой газовая настоянная имеет значение единицы. Договорившись таким образом о наиболее удобном числе основных единиц и выбрав те числовые постоянные, значения которых желательно упростить, мы поступаем как и раньше. Очевидно, что нам нужно выбрать столько же постоянных, сколько имеется основных единиц, иначе не хватит уравнений лля определения неизвестных.

Так например, в только что разобранном случае мы фиксировали 4 константы: гравитационную, постоянную, скорость света, квант действия и газовую постоян'- ную; в соответствии с этим у нас было 4 основных единицы. Существенно помнить однако, что не всякие 4 алгебраических уравнения с 4 неизвестными имеют решение, для этого нх коэффицинты должны удовлетворять некоторому условию. В применении к формулам размерности, в которые входят неизвестные, это условие сводится к тому, что детерминант показателей не должен равняться нулю.

Вообще говоря, нельзя ожидать, что случайно взятый четырехстрочный детерминант будет равняться нулю. В случае детермннантов, составленных из показателей формул размерностей постоянных природы, это однако, не так. Соответствующие формулы размерности почти всегда очень просты и показатели почти всегда малые целые числа. При таких условиях равенства нулю детерминанта показателей явление обычное, и часта предложенная схема определения абсолютных единиц оказывается невозможной. Исчезновение детермйнанта указывает, что все величины не являются размерно независимыми, т. е.

вместо четырех независимых величин, при помощи которых нада определить неизвестные, мы имеем меньшее число. Например, мы нашли, что постоянная тяготения имеет формулу размерности, совпалающую с размерностью квадрата отношения заряда к массе электрона. Это значит, что мы не можем построить систему абсолютных единиц, в которой приравнены единице постоянная тяготения, заряд и масса электрона. Выпишем таблицу некоторых важных постоянных природы и посмотрим, какие имеются возможности в отношении оцределення систем абсолютных единиц. Тлвлицл 24. Название постоянной Симгол Числовая гсличина Постоянная тяготеяяя , . .. 6 6,658 10 г г' ' смг сек, з Скорость света, .. .

.. .. с 3 10'е см сек, ' Квант действия ....... Л 6,547 10 тг г см' сек. ' Газовая посговвная г) . . . . д 2,058 1О 'г г смг сек. з 'С ' Постаяннаг Стефана ..... а 7,60 10 'з г см ~ сек. г'С Первая спектральная настоянная С 0 353 г смч сек Вторая спектральная постоянная ....... ... .. и' 1,431 см'С Постояннал Рядберга.....,гс 3,290 10гз сек. Заряд электрона....... чг 4,774.10 'Е ей см ~ сек. Масса электрона....... нг 8,8 10 ~ г Число Авогадро...., .. Н 6,06 10гз г ~ Второе чясло Авогадро.... Ас 7,29.10'з г, ' см гсек.' 'С Некоторые ив приведенных величин нужно пояснить. Постоянная Стефана и определяется соотношением и =ибг, где и есть плотность энергии в полости при равновесии со стенками при температуре 8.