П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 10

чений и разрешить относительно остающихся величин. Таким образом получается л — Ач значений, определяющих л — т произ. ведений, не имеющих размерности. Иногда это не возможно, и система величин а, Ь, с,, которой можно приписать произ. вольные вначения, не может быть выбрана вполне свободно. Это имеет место в том случае, когда некоторые детерминанты иэ ряда показателей равны нулю. Мы не будем развивать здесь общей теории, так как исключения позаботятся сами о себе, как это всегда бывает при решении конкретных залач.

Заметим, что П-теорема не содержит ничего существенно нового, она не дает нам новых способов анализа задач, способов, отличных от тех, которыми мы уже пользовались во введении. П-теогема 49 Преимушества теоремы — в ее удобстве, она представляет результат в такой форне, в которой им можно пользоваться с меньшим умственным напряженнем и в весьма гибкой форме. При помощи втой теоремы результаты анализа размерностей могут быть представлены в разнообразных формах, зависящих от переменных, которые нас наиболее интересуют Все это составляет важное преимущество. Результат этого анализа размерностей не ставит каких-либо ограничений в отношении формы функций, выражающих резуль.

таты опытов, ограничивается только форма аргументов. Как бы ни сложна была функция, если она только удовлетворяет основным требованиям развитой выше теории, то всегда возможно перегруппировать члены таким образом, чтобы функция зависела только от аргументов, не имеющих размерности. Пользуясь теоремой, мы обычно заинтересованы в том, чтобы выразить одну нз величин в функции остальных.

Это достигается решением функции для частного произзеления без размерности, в котором содержится интересуюшая нас переменная. Затем это произведение без размерности умножается (так же как и другая сторона уравнения) на обратную величину тех переменных, которые соединены в произведении без размерности. В резуль. тате на одной стороне уравнения остается единствечная переменная, в то время как на другой располагаются пронвзедения остальных переменных в некоторых степенях, умноженные ка произвольную функцию других произведений без размерности.

Эта произвольная функция может быть сколь-угодно трансцендентна; она ничем не ограничена, только ее аргументы не должны обладать размерностью. Это согласуется с нашими пр:вы~ными саелениями относительно возможных функциональных соотношений. Мы привыкли к тому, что всякий аргумент под знаком трансцендентной функции не должен иметь размерности. Обычно говорят, что бессмысленно' брать, например, гиперболический синус от времени, возможен только гиперболический синус от числа '.

Замечание о том, что обычно аргумент гиперболического синуса в нашем анализе не имеет размерности, верно, однако приведенное толька что объяснение этого — неправильно. Нет основания, по которому мы не могли бы составить зп от числа, измеряющего некоторый промежуток времени в часах, нли от числа яблок, помещающихся в мерке.

Обе операции вполне мыслимы,. однако ограничения, налагаемые П-теоремой, таковы, что мы очень редко встречаемся с зп от величины, имеющей размерность. Если бы мы натолкнулись все же на Брчлимзв. а АНАЛИЗ РАЭМЕРНОСТЕй П.ТЕОРЕМА 51 такой случай, то перегруппировкой членов, как уже объяснено, можно освободиться от трансценлеитной функции с размерным аргументом, слив две или большее число таких функций в й елинственного аргумента, не имеющего размерности.

Так например, нет никаких препятствий к написанию уравнения падающего тела в такой форме: ЗЬ О = з)ь дг, но этого никто не станет лелать, потому что такая форма много сложнее обычной. Э о уравнение можно написать и в такои виде: з)ь ю с!д дТ вЂ” СЬ и з)д ЙЧ = О. В этом случае пер группировка, требуемая для освобождения от трансцендентной функции размерного аргумента, уже не столь ясна, особенно если .бы тригонометрическая форма стала привычной. Однако„ и эта форма вполне пригодна дла числен ных расчетов в том сиысле, что она всегда будет давать верный результат и остается справедливой при изменении разчерь основных единиц.

Еще один вывод в отношении показателей в связи с этими зам.чаннями о трансцендентных функциях, Ясно, что в общем случае не может быть показателя, имеющего размерность, Если таковой присутствует, его возможно комбинировать с другими так, что размерность исчезнет. Но не существует никакого ограничения в отношении числовых значений показателей, оии могут быть целыми, дробными или иррациональными. Часто думают, что формула размерности некоторой величины не может содержать основных единиц в дробных степенях (6). Это заклю. ч ние связано с общей точкой зрения иа фо мулы размерностей, как на выражение операций с конкретными физическими прел- метами: при таком взгляде на дело трудно приписать, например, какой-либо смысл времени в степени двух третей.

Мне кажется, однько, одинаково трудныч найти физический смысл для времени н степени минус лва, между тем возможность таких степеней лопускается всеми. Б - теорема в изложенной форме содержит все элементы, необходимые для наших целей, Однако в применениях имеется большой простор для выбора аргументов функции, что явствует иэ возможности различными способами выбрать независимые решения системы алгебраических уравнений.

Избранный путь определяет форму произвелеиий, не имеющих размерности, и наилучшая форма для этого находится в зависимости от характера проблемы. В главе шестой мы рассмотрим несколько кон. «ретных примеров, которые покажут, каким образом нужно вы* бирать произведения в специальных случаях. ЛИТЕРА ТУРА, 1.

Е. Виси!пй'пав. Риуэ кеч. 4, 345, 1914. 2. к оп!'и Рупат!сд. 3. ). Н. ч е а п д, Рг с. Коу. 8ос. 76, 545, 1905. ь, Е. В и с К! п9 Вам см. (1), также ьоцгп. Ъ'аэп. Асаб. 4,347,1914, 5. Е. Вцс)с!пйпаю см. (1), стр. 346:,Такие выражения как !9 !) или а!п О ие встречаются в физических уравнениях, ибо никакой чисто арифметический оператор эа исключением простого числового множителя, не может быть применен к величине, которая сама не яв. дается числом беэ размерности. Мы не можем прийнсать никакого апре. деленного смысла результату такой операции.' 6.

5. Р. Т'и о В связи с этим см. также стр. 266 книги Томпсона. . Т о ар эоп Элементарные уроки по электричеству и магнетизму. стр. 352. „Также кажется абсурдным, что размерность единицы эдектрнче! стда должна иметь дробные показатели, ибо такие величины, дак Мд идн !. не имеют смысла", д %. цг!11атэ. РЫ! Мэй. 34, 23, !892! .Поскольку 1., М н Т яв- ляются основными единицами, мы не можем ожидать дробных с р е динамические концепции строятся в конечном счете тепе- и оцесс явд нь основе этих трек понятий: массы, данны и в!емеии, а пос ол к ьку п оисхо нт р ается синтетическим, строющим сложное иэ простого р , все степеней 1., М и р д э соотвегств:и с принципами алгебры посредством пе Т ... аэукеется, если масса, длина и время — пре. р и лых степени 1.

М и Т, дельные физические концепции, мы не можем истолковать роо потому что мы ие в состоянии свести э!и понятна ар ные д чему-либо более простому. Оставаясь иа почве любой физической теории, мы е инте и е|и оват Р Р Р ь формулы, солержащие .пробные показатели основы не можем ных единиц', |А ГЛАВА ПЯТАЯ, РАЗМЕРНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ И ЧИСЛО ОСНОВНЪ|Х ЕДИНИЙ. Существенный результат П-теоремы состоит в ограничении, налагаемом ею на число аргументов произвольной функции.

Чем меньше аргументов, тем более ограничена функция, тем более исчерпывающий ответ мы получаем. Если в задаче четыре переменных и три основных единицы, то наш анализ показывает, что имеется единственное произведение без размерности, которое можно определить, и что некоторая функция этого произведения равна нулю.,Это — эквивалентно утверждению, что в данном частном случае само произведение являетсв некоторой постоянной, и мы имеем полные сведения о характере решения за исключением численной величины постоянной.

Такое решение мы имели в первой глазе при рассмотрении задачи о маятнике. Без применения анализа размерностей всякое не про. тнзоречивое соотношение между четырьмя аргументами могло казаться возможным, и мы не могли бы догадаться об истинном решении. Если число переменных на дза больше чем число основных, то будет два произведения беэ размерности, решением будет произвольная функция двух этих произведений, равная нулю.

Эта функция может быть разрешена для одного из произведений в функции другого. С таким случаем мы астре. чались в задаче о теплопроводности. Разумеется суше. ственно знать, что решение имеет именнотакую форму, Не применяя анализа размерностей, мы могли бы только утверждать, что существует некоторая функция пяти переменных, равная нулю. Очевидно в наших интересах, чтобы число аргументов, связанных функциональным соотношением, было минимальным. Переменные, входящие в уравнения, к которым применялся наш ьь газмвгные постоянныя и число единиц 53 анализ, и являются всеми переменными, которые могут изменяться численно по условиям задачи.

Эти переменные могут быть разделены на двв группы. Первая группа — физические пере. мвнныв, являвшиеся мерой некоторых физических величин и могушие изменяться по величине во всей области, к которой применимы наши результаты. Числа, измеряющие эти физические величины, могут меняться при изменении размера основных единиц. Ко второй группе относятся другие аргументы, имеющие характер каэффикивктав в уравнения, они не изменяют числовой величины, если меняется только. физическая система, но приобретают иное значение при перемене размера основных измеряюших единиц.