KT-19 (Лекции)

19-Гамильтонова механика II-1Лекция 19-1Инвариантная форма уравнений Гамильтона.Как выглядят уравнения Гамильтона в произвольных координатах (или в бескоординатнойформе)?Определение. Замкнутая, невырожденная 2-форма ω на многообразии M называется симплектической структурой; пара ( M ,ω ) называется симплектичекским многообразием.Напомним, что невырожденность ω означает, что в любой точке q на M для любого ненулевого касательного вектора u ∈ Tq M , u ≠ 0 найдется касательный вектор v ∈ Tq M такой, чтоω (u, v) ≠ 0 .В силу кососимметричности ω на нечетномерном многообразии любая 2-форма вырождена.Т.е. симплектическое многообразие всегда четномерно.Теорема.

(Дарбу) В окрестности любой точки 2m -мерного симплектического многообразияM симплектическая структура в надлежащих координатах имеет вид ω = dp ∧ dq , где p, q ∈ R m .Такие координаты называются каноническими.Заметим, что ω сопоставляет любому векторному полю v на M дифференциальную 1форму ϕ :2mω : TM → T *M , ∀ векторного поля u , ϕ (u ) = ω (u , v)Это отображение невырождено, т.к. ω невырождена. Пусть J - обратный оператор:J : T *M → TMТогдаϕ (u ) = ω (u, Jϕ ) , ∀uПусть H - функция на симплектическом многообразии M .

Тогда dH - это 1-форма.Определение. Назовем гамильтоновым векторным полем vH с гамильтонианом H на сим-плектическом многообразии ( M ,ω ) векторное поле JdH . Иными словами, vH - такое векторноеполе, что для любого векторного поля u выполненоdH (u ) = ω (u , vH )Задача. Проверить, что в канонических координатах Гамильтоново векторное∂∂− Hq.привычный вид H p∂q∂pполеимеетРешение. (Решить!!!) Указание. Расписать ω в точке. Матрица для ω - это симплектическаяединица.Скобка Пуассона.Пусть ( M ,ω ) - симплектическое многообразие. Для любых двух функций H и F на Mположим{H , F } = ∂ v H F = dF (vH )Этот оператор по двум функциям порождает третью. Он называется скобкой Пуассона.Следующие свойства скобки Пуассона сразу вытекают из определения.1. Функция F является первым интегралом уравнений Гамильтона с гамильтонианом H тогда и только тогда когда {H , F } = 0 .2.

{H , F } = ω (vH , vF )3. Скобка Пуассона {⋅,⋅} билинейна и кососимметрична.4. В канонических координатах ∂ v H = H p ∂H ∂F ∂H ∂F {H , F } = ∑ −pqqp∂∂∂∂j jjjj 5. Тождество Якоби∂∂− Hq, поэтому∂q∂p19-Гамильтонова механика II-2{F ,{G, H }} + {G,{H , F }} + {H ,{F , G}} = 0Проверяется прямыми вычислениями в канонических координатах.Решение. (Решить!!!)Напомним, что Алгеброй Ли называется линейное пространство L с билинейной кососимметрической операцией [⋅,⋅] : L × L → L (коммутатором), удовлетворяющей тождеству Якоби:∀a, b, c ∈ L [a,[b, c]] + [b,[c, a]] + [c,[a, b]] = 0 .Примеры.1. Пространство квадратных матриц порядка n : L(n) - это алгебра Ли относительно коммутатора [ A, B ] = AB − BA .2.

Пространство C ∞ векторных полей на многообразии – алгебра Ли относительно коммутатора векторных полей [u , v] ↔ [∂ u , ∂ v ] = ∂ u ∂ v − ∂ v ∂ u . Здесь для поля v мы приняли обозначенияv ↔ ∂v = ∑ v j∂.∂z j3. Следствие. Пространство C ∞ функций на симплектическом многообразии является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона {⋅,⋅} .Теорема.

[vF , vG ] = v[ F , G ] ., т.е. гамильтоново поле коммутатора двух функций равно коммутатору гамильтоновых полей этих функций.Доказательство. Из тождества Якоби получаем∂ v[ F ,G ] f = {{F , G}, f } = −{{G, f }, F } − {{ f , F }, G} == {F ,{G, f }} − {G{F , f }} = ∂ v F {G, f } − ∂ vG {F , f } == ∂ v F {G, f } − ∂ vG {F , f } = ∂ v F ∂ vG f − ∂ vG ∂ v H f == ∂ v F ∂ vG f − ∂ vG ∂ v H f = (∂ v F ∂ vG − ∂ vG ∂ v H ) f = [vF , vG ]( f )Доказательство завершено.Теорема. (Пуассон) Пусть F и G - первые интегралы автономной гамильтоновой системы( M ,ω , H ) . Тогда {F , G} тоже первый интеграл.Доказательство. Имеем {H , F } = {H , G} = 0 .

Следовательно, по тождеству Якоби{H ,{F , G}} = 0 . Доказательство завершено.Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.Функции F , G , такие, что {F , G} = 0 , называются коммутирующими, или, находящими винволюции.Пусть имеется гамильтонова система ( M ,ω , H ) с m степенями свободы, обладающая mпервыми интегралами F1 , K , Fm , находящимися в инволюции: {F j , Fk } = 0 . Рассмотрим многообразие уровняM f = {z ∈ M : Fj ( z ) = f j = const, j = 1, K , m}Заметим, что, если интегралы функционально независимы в точках M f , то это действительно гладкое многообразие.

Такая система называется вполне интегрируемой.Теорема. (Лиувилль-Арнольд) Пусть на M f функции F j функционально независимы. Тогда1. M f гладкое многообразие, инвариантное относительно действия фазового потока гамильтоновой системы z&H = vH .2. Каждая компактная компонента связности M f диффеоморфна m -мерному тору T m .19-Гамильтонова механика II-33. В некоторых координатах (ϕ1 ,K,ϕ m ) mod 2π на T m уравнения Гамильтона имеют видϕ& = v = v( f ) = const ( f ) .Схема доказательства.1. По теореме о неявной функции M f - гладкое многообразие.2. Векторные поля v j = vF j касаются M f . Действительно, ∂ v j Fk = {F j , Fk } = 0 .3.

Т.к. F j на M f независимы, то и векторные поля v j на M f независимы.4. Векторные поля коммутируют: [v j , vk ] = v[ F j , Fk ] = 0 .5. Остается применить следующий факт из геометрииЛемма. Компактное, связное m -мерное многообразие, на котором имеется m всюду независимых коммутирующих векторных полей диффеоморфно T m . Более того, на нем существуют угловые координаты (ϕ1 ,K,ϕ m ) mod 2π в которых все m векторных полей постоянны (имеют вид< v j , ∂ϕ > , v j = const ∈ R m ).Замечание. ω |M f = 0 . Такие многообразия называются Лагранжевыми. Т.е. M f - лагранжевомногообразие.Доказательство. Действительно, ω (v j , vk ) = {Fj , Fk } = 0 , ∀j.k . При этом v1 ,K, vm - образуют базис в касательном пространстве к M f в любой его точке.

Отсюда сразу следует утверждение.Доказательство завершено.Вопросы к материалу Лекция 19-1.• Инвариантная форма уравнений Гамильтона.• Симплектическое многообразие.• Формулировка теоремы Дарбу.• Гамильтоново векторное поле.• Скобка Пуассона и ее свойства.• Тождество Якоби.• Алгебры Ли. Примеры.• Связь коммутатора функций и гамильтоновых векторных полей.• Теорема Пуассона о первых интегралах.• Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.

Формулировка и схема доказательства.• Лагранжевы многообразия.Лекция 19-2Переменные действие-угол.Угловые переменные на торе в теореме Лувилля-Арнольда можно выбрать в целой тороидальной окрестности так, что замена будет канонической. Такие переменные называются переменными действие-угол.(А) Рассмотрим сначала случай системы с одной степенью свободы. Пусть D ⊂ R 2 = {q, p} область. Функция H : D → R - гамильтониан. Рассмотрим гамильтонову систему ( D, dp ∧ dq, H ) .Кривые γ h = {( q, p ) ∈ D : H (q, p ) = h} инвариантны под действием гамильтонова фазового потока.Для простоты будем считать, что γ h (т.е.

имеют только одну связную компоненту).19-Гамильтонова механика II-4Предположим, что для ∀h ∈ (a, b) γ h - замкнутая кривая. Определим переменную “действие” :I=12π∫ pdqγhЕсли γ h ограничивает область Dh ⊂ D , т.е. γ h = ∂Dh , то, по формуле Стокса,I=12π∫ dp ∧ dq =Dhплощадь( Dh )2πИмеем I = I (h) = I ( H (q, p )) .∂I≠ 0 , ∀h ∈ (a, b) , и, что H p = 0 лишь в конечном числе точек на каж∂hдой из кривых γ h , ∀h ∈ (a, b) (впрочем, от последнего предположения можно и избавиться).Построим переменную ϕ канонически сопряженную к I (т.е.

хотим, чтобы (ϕ , I ) являлиськаноническими переменными). Т.е. такую, что замена (q, p ) → (ϕ , I ) - каноническая. Пусть W (q, I )Будем считать, что- соответствующая производящая функция. Тогдаp = Wq (q, I ) , ϕ = WI (q, I )(*)Чтобы найти W , выразим из уравнения I = I ( H (q, p )) переменную p через q и I . Для этого нуж-∂I ∂I ∂H=≠ 0 . Согласно нашим предположениям, это выполнено везде на γ h кроме ко∂p ∂h ∂pнечного числа точек ( h ∈ (a, b) - любое).

Получаем функцию p = f (q, I ) . Точнее, набор функций∂Hf j , определенных там, где≠ 0.∂pно чтобыс-150Функции f j (q.I ) продолжаются по непрерывности в точки, где∂H= 0.∂pИмеем уравнения для W : Wq (q, I ) = f (q, I ) , точнее набор уравнений (W j ) q = f j . Значит,W j - первообразная по q от f j . Функции W j определены с точностью до слагаемых вида c j (I ) .Из (*) ϕ =∂W j∂I, причем c j (I ) следует подобрать так, чтобы функция ϕ была непрерывна∂H= 0 , кроме одной.

Переменная ϕ однозначно определена, если,∂p∂H= 0.например, положить ϕ = α ( I ) на одной из кривых∂pпри переходе через все кривые19-Гамильтонова механика II-5Итак, если мы хотим, чтобы ϕ была непрерывна на γ h она должна быть многозначна. Найдем приращение ϕ при обходе γ h .∆ϕ = ∫ dϕ = ∫ WIq dq =γhγh∂pdq = 2π∂I γ∫h(Б) Аналогично вводятся переменные действие-угол в случае разделения переменных:H = H ( f1 (q1 , p1 ),K, f m (qm , pm ))Пример.H=I=Гармонический осциллятор.p2 1 2 2+ k q , γ h = { p 2 + k 2 q 2 = 2h} - эллипс с полуосями2 212π1∫ kpdq = 2π площадь{ pγ2+ k 2 q 2 ≤ 2h} =h2h и2h.k12h h=π 2h2πkkТ.е.11I =  p 2 + kq 2 2kОтсюдаp = ± 2kI − k 2 q 2 =∂W±∂qqW± (q, I ) = ± ∫ 2kI − k 2 s 2 ds + c± ( I )0qϕ=kq∂Wkds=∫+ c±′ ( I ) = arcsin+ c±′2I∂I2kI − k 2 s 20kq 2= sin ϕ2IЗначит, искомая замена координат такаяq=2I2Isin ϕ , p =cos ϕkkДинамика в переменных действие-угол.ВпеременныхдействиеуголI ∈ D ⊂ Rn ,ϕ ∈T n ,гамильтоновасистема(T × D, dI ∧ dϕ , H ( I )) .

Уравнения движенияϕ& = H I = k , I& = 0nВ общем случае траектория (обмотка тора) всюду плотно заполняет тор. Здесь k - это вектор частот.Резонансом называется случай, когда найдется такое целое l ≠ 0, l ∈ Z m , такое, что < l , k >= 0 . Вэтом случае траектория периодическая.Обозначим19-Гамильтонова механика II-6g k = {l ∈ Z m :< l , k >= 0}Это подгруппа в ( Z m , +) . rank g k - минимальное число образующих.(Развить!!!)Вопросы к материалу Лекция 19-2.• Переменные действие-угол.• Переменные действие-угол для систем с одной степенью свободы.• Переменные действие-угол для гармонического осциллятора..