А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике, страница 6

Материальной системой называется система точек M1 , . . . , Mn с массамиm1 , . . . , mn .Введем обозначения: r ij = ri − r j , rij = |rij |.Согласно принципу детерминированности, в абсолютном пространствеmi r̈i = F i (r 1 , . . . , r n , ṙ1 , . . . , ṙ n , t).Это система дифференциальных уравнений порядка 6n.(e)(i)(e)(i)Разложим силы на внешние и внутренние: F i = F i +F i , здесь F i — внешние силы, F i —P(i)внутренние. При этом F i =F ij , где F ij — сила, действующая со стороны j-й точки на i-ю.j6=iF ij = Fijr ijrjirij= −F ji = −Fji= Fjirijrjirij⇒Fij = Fji.P (i)Отсюда, в частности, следует, чтоF i = 0.Определение. Система отсчета называется инерциальной (ИСО), если она движется равномерно и прямолинейно относительно абсолютной системы отсчета (АСО).Определение. Материальная система называется замкнутой, если она не взаимодействует(e)с внешними материальными системами, то есть все F i = 0.Принцип относительности Галилея: уравнения движения замкнутой системы одинаковы во всех ИСО.Зафиксируем какую-нибудь систему отсчёта, начало координат обозначим через O.PОпределение.

Масса материальной системы: m :=mi .PОпределение. Точка S называется центром масс системы, если r S = m1mi r i .Утверждение 3.1 (Корректность определения). Центр масс не зависит от выбораточки O (начала отсчёта). Пусть O ′ 6= O. Обозначим r′i = O ′Mi . Имеемr ′S ′ =1 X1 X1 Xmi r ′i =mi (OO ′ + r i ) = OO ′ +r i = OO ′ + r S = r ′S ,mmmпоэтому S ′ = S. 28Определение.Импульс материальной системы (то есть суммарное количество движения):PPP :=P i = mi ṙ i .Здесь и далее S — центр масс системы.Утверждение 3.2. Очевидно, что P = mṙ S = mv S .Следствие 3.1. P не зависит от выбора точки O.Определение. Кинетический момент системы (то есть момент количеств движений) относительно точки O:XXKO =K Oi =[r i , mi ṙi ].Утверждение 3.3.

K O′ = K O + [OO ′, mṙ S ]. ИмеемXX′K O′ =[r ′i , mi ṙ i ] =[O ′ O + ri , mi (|{z}O˙′ O +ṙ i )] = [O ′ O, mṙ S ] + K O ,0так как точки O и O ′ — неподвижные. Определение. Кинетическая энергия системы:T :=XTi =X12mi vi2 =X2mi ṙ i .3.1.2. Общие теоремы динамикиПусть, как и в предыдущем разделе, точка S обозначает центр масс.P (e)(e)Теорема 3.4.

P˙ = F i =: F — главный вектор сил.PP (e)P (e)(i) P˙ =mi r̈ i =Fi + Fi = Fi . (e)Следствие 3.2. mv̇ S = F . В частности, если система замкнута, то центр масс движется равномерно прямолинейно.(e)(e)Определим моменты внешних сил: M Oi := [r i , F i ].˙ = P M (e) =: M (e) — главный момент.Теорема 3.5. Имеем KOOiO В самом деле,XXXd X(e)(i)[ri , mi ṙ i ] =K˙O =[ṙi , mṙ i ] +[r i , mr̈ i ] =[r i , F i + F i ] =| {z }dt0hi X (e) 1 XXXX(e)=[r i , F i ] +ri ,F ij =M Oi +[r i , F ij ] + [r j , F ji] =2 i, j6=ij6=i !1 X(e)(e)= MO +r i − rj , F ij = M O ,2i, j6=iтак как сила Fij действует вдоль прямой, соединяющей соответствующие точки, и все слагаемыеравны нулю. (e)(e)Замечание.

Вообще говоря, M O 6= M O (F ), то есть главный момент не имеет ничегообщего с моментом главного вектора сил относительно точки O.Следствие 3.3. Для замкнутой системыP = mv S = const,29K O = const .Достаточно применить две предыдущих теоремы. Теорема 3.6.Ṫ =X (e)(i)(F i , ṙ i ) + (F i , ṙi ) ,iили, что то же самое,dT =X(e)(i)(F i , dri ) + (F i , dri ) .Следует из аналогичной теоремы для одной точки.

Определение. Будем говорить, что силы F i потенциальны (и не зависят от времени), еслисуществует функция V (r 1 , . . . , rn ) (не зависящая от времени) такая, что∂VF i = − gradri V = −∂r i⇔X(F i , dri ) = −dV = −X ∂V∂r i, dri .Следствие 3.4. Если все связи, наложенные на систему, идеальны и не зависят от времени, а силы потенциальны, то существует интеграл энергии: H = T + V = const.Теорема 3.7. Если внутренние силы между любыми двумя точками зависят только отрасстояний между этими точками, входящими в материальную систему, то они потенциальны, то есть, если Fij = Fij (rij ), тоXZV =Fij drij .i<jXВ самом деле,(i)(F i , dri ) X X r ij1 XXr ijrjiFij , dri + Fij , drj=Fij , dri ==r2rrijijjii j6=ii j6=i XX XXZX X rijrij drij= −d −Fij drij = −dV,Fij=Fij , drij =rijriji j<ii j<ii j<iчто и требовалось доказать.

Следствие 3.5. Для абсолютно твердого тела потенциальная энергия внутренних силесть константа.3.1.3. Понятие о задаче n тел.Задача двух тел и её сведение к задаче КеплераИмеется n тел, взаимно притягивающихся по закону Всемирного тяготения. Потенциал системы имеет видX mi mj1 X mi mjV =−γ= −γ.2 i6=jrijriji<jВнешних сил нет. Уравнения движенияmi r̈ i = −∂V.∂r i(1)образуют систему порядка 6n. Интегралы энергии, импульса, кинетического момента имеютвид:H = T + V = h, P = const, K O = const,(2)30(в скалярном виде 7 интегралов).Теорема 3.8 (Брунс).

При n > 3 система (1) не имеет алгебраических интегралов, отличных от (2). При n > 3 проинтегрировать в квадратурах систему (1) нельзя.Задача двух тел.m1 m2m1 r̈ 1 = −γ 3 r 12 ,r12m1 m2m2 r̈ 2 = γ 3 r12 ,r12r12 = r 1 − r 2 .Пусть S — центр масс, тогда r = SM1 = mm2 r 12 , где m = m1 + m2 .Решим систему: из первого уравнения вычитаем второе:r̈ 12 = −γmr3 12r12⇒m2 mm3r̈ = −γ m3r = −γ 2 2 3 rmrr 3 m2m3⇒m1 r̈ = µm1m32rгдеµ=γ.r3m222Это уравнение Кеплера, только вместо γ теперь µ.

(Отсюда уточнение законов Кеплера: τa3 =1≪ 1; фокус эллипса, по которому движетсяf (µ), здесь µ зависит от m1 (массы планеты), но mm2планета, не в геометрическом центре Солнца, а в центре масс системы «планета – Солнце»).3.1.4. Оси, формулы и теоремы КёнигаОси Кёнига имеют начало в точке S — центре масс тела — и параллельны абсолютнымосям.

Радиус вектор в осях Кёнига: r ′i = r i − rS . Имеем ω Кёнига ≡ 0, поэтомуda b(t)dr b(t)=.dtdtШтрихованные векторы — это векторы в осях Кёнига. Стало быть,XXmi r ′i ≡ 0,mi v ′i = 0.Теорема 3.9 (Формулы Кёнига).′K O = [r S , mv S ] + K S ,1T = mvS2 + T ′ ,2′где K S =где T ′ =X′mi [r′i , ṙ i ].1Xmi vi′2 .2В самом деле,XX′′KO =mi [r i , ṙ i ] =mi [r S + r′i , ṙS + ṙ i ] = m[r S , vS ] + K S + 0 + 0.1X1X11X′′mi vi2 =mi (ṙS + ṙ i , ṙ S + ṙ i ) = mrs2 +mi ṙi′2 + 0 + 0,2222что и требовалось.

˙ ′ = M (e) .Теорема 3.10 (Первая теорема Кёнига). KT =SSВспоминая теорему 3.5 и первую формулу Кёнига, пишем:˙ ′ = K˙ − m[r , v̇ ] = M (e) − [r , F (e) ] = X[r + r ′ , F (e) ] − [r , X F (e) ] = M (e) ,KOSSSSSSOiiiSчто и требовалось. 31Теорема 3.11 (Вторая теорема Кёнига).X′Ṫ ′ =(F i , ṙ i ).Применяя вторую формулу Кёнига, пишем:XX′′Ṫ ′ = Ṫ − m(v S , v̇ S ) =(F i , ṙS + ṙ i ) − (v S , F ) =(F i , ṙi ),и всё получилось. Если система замкнута, то оси Кенига — инерциальная система отсчета.3.2.

Динамика твердого тела. Геометрия масс ТТ3.2.1. Динамика твёрдого тела с неподвижной точкойРассмотрим ТТ с неподвижной точкой O. Как мы уже знаем, его движение — это мгновенноевращение вокруг мгновенной оси вращения ℓ с направляющим вектором e, причём ω = ωe.По формуле Эйлера, v i = vO + [ω, OMi ] = [ω, OMi ] = [ω, ri ], так как v O = 0. Отсюда,домножая кинетическую энергию на 2, чтобы не тащить коэффициент, получаемXX X2 X2T =mi vi2 =mi [ω, r i ] =mi ω 2ri2 − (ω, r i )2 = ω 2mi ri2 − (e, r i )2 =: ω 2 Jℓ ,PPгде Jℓ :=mi ri2 − (e, ri )2 =mi ρ2i R— момент инерции ТТ относительно оси ℓ, где ρi =dist(Mi , ℓ).

Если тело сплошное, то Jℓ = ρ2 dm.TTТеорема 3.12 (Гюйгенс – Штейнер). Jℓ = Js + mρ2 , где s — прямая с направляющимвектором e, проходящая через центр масс S, а ρ = dist(s, ℓ). ИмеемXX Jℓ =mi (ri2 − (e, r i )2 ) =mi (r S + r′i , r S + r′i ) − (e, r S + r′i )2 =XX2mi (ri′ − (e, r ′i )2 ) = mρ2 + Js ,=mi (rS2 − (e, rS )2 ) +что и требуется. 3.2.2. Оператор инерции и эллипсоид инерцииИмеем1Xmi (ω 2ri2 − (ω, r i )2 ).2Легко видеть, что выражение справа — это некоторая квадратичная форма для вектора ω.Иначе говоря, можно записать1T = (JO ω; ω),2где JO — оператор инерции, или тензор инерции.

Выберем ортонормированный базис, и в нёмматрицу JO можно записать так:J11 −J12 −J13J22 −J23  .JO = −J12−J13 −J23J33PЗдесь PJ11 = J1 =mi (yi2 + zi2 ) и так далее — моменты относительно соответствующих осей,J12 = mi xi yi и так далее — центробежные моменты инерции.T =32Если ω = ωe, то (JO e, e) = Jℓ . Ну а поскольку JO — оператор, то равенство ω 2Jℓ = 12 (JO ω, ω)справедливо в любой системе координат. Отсюда T = 21 (JO ω, ω).Замечание. По хорошему, надо ввести определение моментов относительно осей и центробежных моментов, потом показать, что для прямой, проходящей через начало координат, снаправляющими косинусами (α, β, γ) момент инерции относительно нее равен Jx α2 + Jy β 2 ++ Jz γ 2 − 2Jxy αβ − 2Jxz αγ − 2Jyz βγ).Для J1 , J2 , J3 справедливо неравенство треугольника: J1 + J2 > J3 (аналогично для всехперестановок индексов). Ясно, что равенство достигается тогда и только тогда, когда твердоетело — «блин»: J1 + J2 = J3 ⇔ zj = 0.Определение.

Эллипсоид инерции — это множество Σ = {r ∈ R3 : (JO r, r) = 1}.Здесь мы рассматриваем невырожденные твердые тела, то есть тела, у которых существуют3 точки, не лежащие на одной прямой). Мы знаем, что всякую квадратичную форму можнопривести к каноническому виду. Именно, существуют оси x, y, z, такие чтоΣ = x, y, z : Ax2 + By 2 + Cz 2 = 1 .Эти оси называются главными осями инерции для точки O, а A, B, C — главными моментамиинерции для точки O. В главных осях JO = diag(A, B, C).3.2.3.

Основные динамические характеристики ТТПусть тело имеет неподвижную точку O. Тогда1P = mv S ; T = (JO ω, ω);2XXX∂T= JO ω.KO =mi [ri , vi ] =mi [r i , [ω, ri ]] =mi (ωri2 − ri (ω, ri )) =∂ωВ общем случае, если S — центр масс, тоP = mv S ;Всегда верно следующее: P =11T = mvS2 + (JS ω, ω) (по теореме Кёнига);22K S = JS ω.∂T,∂vK=∂T.∂ωЕсли P — произвольная точка ТТ, то11T = mvP2 + m(v P , [ω, P S]) + (JP ω, ω);22K P = JP ω + m[P S, v P ].P = m(v P + [ω, P S]);3.2.4. Основные уравнения движения ТТ(e)1◦ . Случай ТТ с неподвижной точкой: Имеем K˙O = M O — динамическое уравнение, ω == ω(Γ, Γ̇) — кинематическое уравнение (система ОДУ 6-го порядка).2◦ . Общий случай: ТТ свободное или при наличии связей.

В этом случае имеется системадинамических и кинематических уравнений (система ОДУ 12-го порядка):(((e)mv̇ S = F ,v s = ṙs ,(e)˙ω = ω(Γ, Γ̇).KO = M O ;333.2.5. Эквивалентные системы сил, действующих на ТТ′Пусть силы F i приложены в точках Mi (i = 1, .