А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике, страница 2

Угловая скорость подвижного репераПусть {e1 , e2 , e3 } — репер подвижной системы координат, а {ex , ey , ez } — репер неподвижнойсистемы координат.Определение. Угловой скоростью подвижного репера называется векторω :=1[e1 , ė1 ] + [e2 , ė2 ] + [e3 , ė3 ] .2Пример 1.2. Рассмотрим цилиндрическую систему координат:e=ecosϕ+esinϕ,rxyėr = ϕ̇eϕ ,⇒eϕ = −ex sin ϕ + ey cos ϕ,ėϕ = −ϕ̇er ,ez = ez .ėz = 0.5Отсюда получаем, что ω :=12[er , ϕ̇eϕ ] + [eϕ , −ϕ̇er ] = ϕ̇[er , eϕ ] = ϕ̇ez .Теорема 1.1 (Формулы Пуассона). ėi = [ω, ei ]. Воспользуемся формулой «бац минус цаб» и тем, что если (e1 , ej ) = 0, то (ė1 , ej ) +(e1 , ėj ) = 0. Имеем[ω, e1 ] = −[e1 , ω] = − 1 e1 , [e1 , ė1 ] + e1 , [e2 , ė2 ] + e1 , [e3 , ė3 ] =21= − −ė1 − e1 (ė1 , e1 ) − e2 (ė1 , e2 ) − e3 (ė1 , e3 ) = ė1 ,2так как последних три слагаемых суть разложение вектора ė1 по базису {e1 , e2 , e3 }.

1.1.6. Связь абсолютной и локальной производных по времениЧерез ddta будем обозначать абсолютную производную по времени, то есть по отношению кнеподвижному реперу Oex ey ez . Через ddtr — относительную (по отношению к подвижному реперуSe1 e2 e3 ).Определение. Абсолютная и относительная производные радиус-вектора точки — это еёабсолютная и относительная скорости.Утверждение 1.2. Имеет место соотношениеdr ABda AB=+ [ω, AB],dtdtгде ω — угловая скорость репера e1 e2 e3 . Пусть AB = ξ1 e1 + ξ2 e2 + ξ3 e3 . Тогдаi d ABXXda AB X ˙dr AB h X! dr ABr=ξi ei +ξi ėi =+ξi[ω, ei ] =+ ω,ξi ei =+ [ω, AB].dtdtdtdtПереход «!» следует из формулы Пуассона. 1.2. Кинематика абсолютно твердого тела1.2.1.

Абсолютно твёрдое тело. Формула Эйлера и РивальсаОпределение. Абсолютно твердым телом (ТТ) называется система из n > 3 точек Mi(среди которых существуют три точки, не лежащие на однойпрямой), такая что при любыхдвижениях этой системы имеют место соотношения Mi Mj = ρij = const.Для того, чтобы знать закон движения твердого тела (то есть знать законы движения всехего точек), достаточно знать законы движения трёх его точек, не лежащих на одной прямой.Они задаются 6 параметрами. Группа движений: R3 × SO(3).Определение.

Угловой скоростью твердого тела ω T T называется угловая скорость репера,связанного с телом.Утверждение 1.3 (Формула Эйлера). Имеет место формула v B = v A + [ω T T , AB].AB Имеем v B −v A = dadtAB = drdt+[ω, AB]. Но первое слагаемое равно нулю, так как тело —твердое, и его точки не движутся друг относительно друга. Следствие 1.2 (Корректность определения ω T T ). Вектор ω T T корректно определён. Допустим, существует два репера, в которых ω 1 6= ω 2 .

ТогдаvB = v A + [ω 1 , AB],vB = v A + [ω 2 , AB].6Поэтому [ω 1 − ω 2 , AB] = 0 для любых точек A и B тела. Но поскольку среди точек твердоготела есть три, не лежащие на одной прямой, получаем ω 1 − ω 2 = 0. Утверждение 1.4. Угловое ускорение не зависит от репера. Мы знаем, как связаны абсолютная и относительная производные.

Подставим в туформулу угловую скорость ω вместо вектора AB:da ωdr ωdr ω=+ [ω, ω] =,dtdtdtзначит, угловое ускорение можно измерять, как сидя в неподвижной системе, так и сидя вподвижной. Угловое ускорение ω̇ (производную можно обозначать просто точкой в силу только чтодоказанного утверждения) мы будем обозначать через ε.Следствие 1.3 (Формула Ривальса).aB = aA + [ε, AB] + [ω, [ω, AB]]. Из формулы Эйлера имеем v B = v A + [ω, AB]. Продифференцируем это соотношение,и учтём то, чтоda ABdr AB+[ω, AB],=dtdt }| {z0потому что тело твёрдое. Получаем в точности доказываемую формулу. 1.2.2. Примеры движений твердого тела1◦ . Поступательное движение. Для него имеем ω = 0.

Откуда для всех A, B ∈ T Tимеем v A = vB , aB = aA . Если существует точка t∗ такая, что ω(t∗ ) = 0, то говорят, что телосовершает мгновенно поступательное движение, при этом v A (t∗ ) = vB (t∗ ). Но для ускоренийэто равенство, вообще говоря, неверно.2◦ . Вращение вокруг неподвижной оси.Тут должен быть [Рис. 7].Если существуют две различные точки A и B твердого тела такие, что v A = v B = 0, то изформулы Эйлера получаем, что ω = λAB. Отсюда v C = 0 для любой точки C, принадлежащейпрямой AB. Без ограничения общности, ez = e3 . Запишем соотношения для точки тела P .Пусть P ′ — её проекция на ось вращения Oz.

Тогдаω = ωez ,v P = [ω, OP ] = ω[ez , OP ] = ω[ez , P ′ P ].aP = ω̇[ez , P ′P ] + ω 2 [ez , [ez , P ′P ]] = ω̇[ez , P ′ P ] − ω 2 P ′ P .Если при t = t∗ существует прямая ℓ = ℓ(t) такая, что v C = 0 для всех C ∈ ℓ, то говорят,что тело совершает мгновенное вращение вокруг оси ℓ.3◦ . Плоско-параллельное движение твердого тела.Тут должен быть [Рис. 7].Это такое движение, при котором все точки ТТ движутся в плоскостях, параллельныхкакой-либо неподвижной плоскости.

В этом случае движение полностью описывается движением сечения.7Пусть T T ∗ — сечение ТТ плоскостью Oxy (мы считаем, что система координат выбранаименно так). Подвижная система координат, связанная с телом — Se1 e2 . Тогда имеем rs =xs ex + ys ey . Домножая скалярно равенство v B − vA = [ω, AB] на ω, имеем(ω, vB − vA ) = (ω, [ω, AB]) = 0,откуда ω = ωez . Подставляя вектор угловой скорости в формулу для скоростей, получаемv B = v A + ω[ez , AB],а для ускоренийaB = aA + ω̇[ez , AB] + ω 2 [ez , [ez , AB]] = aA + ω̇[ez , AB] − ω 2AB.Утверждение 1.5.

Если ω 6= 0, то существует C ∈ T T ∗ такая, что v C = 0. Пусть S — любая точка в теле. Если v S = 0, то всё ясно — мы её нашли. Если же vS 6= 0,то хотим найти такую точку C, что 0 = v C = v S + [ω, SC]. Умножим это равенство векторно наω слева. Получим [ω, vS ] + [ω, [ω, SC]] = 0, то есть [ω, v S ] = ω 2SC. Отсюда можно найти векторSC:[ω, v S ],SC =ω2то есть неподвижная точка найдена.

Определение. Точка C = C(t), для которой v C = 0 называется мгновенным центромскоростей. Геометрическое место точек C в теле называется подвижной центроидой. Геометрическое место точек C в на плоскости Oxy называется неподвижной центроидой.4◦ . Вращение вокруг неподвижной точки (сферическое движение).Тут должен быть [Рис.

8].В этом случае существует точка O ∈ T T такая, что v O ≡ 0. Примем её за начало системыотсчета. Тогда для всякой точки P ∈ T T имеемvP = v O + [ω, OP ] = [ω, OP ],aP = [ε, OP ] + [ω, [ω, OP ]].Пусть ℓ — прямая, проходящая через точку O с направляющим вектором ω. Тогда очевидно,что vP = 0 для всех P ∈ ℓ.Определение. Прямая ℓ называется мгновенной осью вращения. Геометрическое место прямых {ℓ(t)} в теле (или в неподвижном пространстве) называется подвижным (или неподвижным) аксоидом.Пример такого движения демонстрирует гироскоп.Определение. Если существует момент времени t∗ и Q ∈ T T такая, что vQ (t∗ ) = 0, тоговорят, что при t = t∗ тело совершает мгновенно вращательное движение вокруг точки Q.5◦ . Мгновенно-винтовое движение (случай общего положения).Утверждение 1.6.

Если ω 6= 0 и v P 6= 0 для всех точек P ∈ T T , то существует прямаяℓ(t) ∈ T T с направляющим вектором e = ωω и для всех точек прямой ℓ выполнено v C = ve. Возьмём произвольную точку S ∈ T T . Тогда vS 6= 0. Проведем плоскость Π через точкуS, перпендикулярную вектору ω. Покажем, что найдётся точка Q ∈ Π, для которой v Q = σω.Действительно, уравнение для неё имеет вид v Q = vS + [ω, SQ] = σω, умножая его векторно наω, получаем[ω, vS ] + [ω, [ω, SQ]] = 0,8S]а отсюда [ω, vS ] − ω 2SQ = 0, ибо SQ ⊥ ω.

Отсюда SQ = [ω,v, то есть точка Q найдена.ω2Пусть ℓ — прямая с направляющим вектором ω, проходящая через точку Q. Далее, рассмотримпроизвольную точку C ∈ ℓ, тогдаv C = v Q + [ω, QC] = v Q = σω = ve,что и требовалось доказать. Определение. Такое движение называется мгновенно-винтовым, а прямая ℓ — мгновеннойвинтовой осью.Теорема 1.7.

Произвольное движение твердого тела либо мгновенно-поступательное, либо мгновенно вращательное, либо мгновенно-винтовое.1.2.3. Сложное движение точкиКартинка — [Рис. 10].Рассмотрим движение точки P ∈ T T . Пусть Oex ey ez — неподвижный репер, Se1 e2 e3 —подвижный репер. Пусть ω — угловая скорость подвижного репера. Радиус-вектор точки P вподвижной системе координат обозначим через ρ. Ясно, что r = r S + ρ.Определение. Переносной скоростью точки P называется вектор v e := v a + [ω, ρ].Теорема 1.8 (О сложении скоростей). Имеет место равенствоva = v r + v e ,где v a , v r , ve — абсолютная, относительная и переносная скорости точки P соответственно. В самом деле,vPa =drdr ρda r S da ρ=+= v Sa ++ [ω, ρ] = v Pr + v Sa + [ω, ρ] =: v Pr + vPe ,dtdtdtdtчто и требовалось доказать.

Замечание. Переносная скорость точки P — это скорость той точки подвижного репера, скоторой в данный момент совпадает точка P .Определение. Вектор aPe := aSa + [ω̇, ρ] + [ω, [ω, ρ]] называется переносным ускорением.Определение. Вектор aPc := 2[ω, vr ] называется кориолисовым ускорением.Теорема 1.9 (Кориолис). Имеет место равенство:aa = ar + ae + ac .aPaРассмотрим формулу vPa = v Pr + vaS + [ω, ρ]. Имеем dr vPrda vPada Pda v Sadr ρSP==v + v a + [ω, ρ] =+ [ω, v r ] ++ [ω̇, ρ] + ω,+ [ω, ρ] =dtdt rdtdtdt= aPr + [ω, vPr ] + aSa + [ω̇, ρ] + [ω, v r ] + [ω, [ω, ρ]] = aPr + aSa + [ω̇, ρ] + [ω, [ω, ρ]] + 2[ω, vr ],|{z} | {z }aPeчто и требовалось доказать.

9aPc1.2.4. Теорема о сложении угловых скоростей.Кинематические формулы ЭйлераПусть Oex ey ez — неподвижный репер, Ωeξ eη eζ — подвижный репер, Se1 e2 e3 — репер, жёсткосвязанный с твёрдым телом.Напомним, что1Xda eiωa =ei ,—2dtэто абсолютная угловая скорость,1Xdr e iωr =ei ,—2dtэто относительная угловая скорость (по отношению к реперу Ωeξ eη eζ ), а 1da eξda e ηda eζωe =eξ ,+ eη ,+ eζ ,—2dtdtdtэто переносная угловая скорость, то есть угловая скорость репера ξηζ в неподвижной системеотсчета.Теорема 1.10 (О сложении угловых скоростей). Имеет место формула ω a = ω r + ω e . Будем под ∗ понимать одну из букв a, r, e. Пусть A, B — произвольные точки твердоготела, тогдаAvB(1)∗ = v ∗ + [ω ∗ , AB],Сложим эти три равенства (два последних возьмём со знаком «−»), получимBAAAvB − vBr − v e = v a − v r − v e +[ω a − ω r − ω e , AB],|a{z} |{z}00то есть [ω a − ω r − ω e , AB] = 0.