Лекции А.В. Дмитрука

Ëåêöèè À.Â. Äìèòðóêà"Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå"Ìåõìàò, 4 êóðñ 2 ïîòîê, îñåíü 2008 ãîäàÑóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ â çàäà÷àõ íà ýêñòðåìóìÏðèâåäåì äâà êëàññè÷åñêèõ ïðèìåðà, â êîòîðûõ ðåøåíèå íå ñóùåñòâóåò.Ïðèìåð Âåéåðøòðàññà.ZJ=1t2 u2 dt → min,ẋ = u,x(0) = 0,x(1) = 1.0Èùåì ðåøåíèå â êëàññå u ∈ L∞ [0, 1]. ßñíî, ÷òî íà ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèèJ(u) > 0. Ïîêàæåì, ÷òî inf J = 0. Äåéñòâèòåëüíî, ∀ ε > 0 ïîëîæèì uε (t) = 1/ε íà[0, ε], è ðàâíîé íóëþ âíå ýòîãî îòðåçêà.

ÒîãäàZ ε11J(uε ) =t2 2 dt = ε → 0.ε30Ïðèìåð Áîëüöà.ZJ=1(x2 + (u2 − 1)2 ) dt → min,ẋ = u,x(0) = 0,x(1) = 0.0Çäåñü îïÿòü íà ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèè J(u) > 0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè J(u) = 0,òî x(t) ≡ 0, ïî÷òè âñþäó ẋ(t) = u(t) = 0, íî òîãäà (u2 − 1)2 = 1, è J(u) > 0,ïðîòèâîðå÷èå.Ïîêàæåì, ÷òî inf J = 0. Äëÿ ëþáîãî n ïîëîæèì un (t) = sign sin (2πn t). Òîãäà|un (t)| ≡ 1, à |xn (t)| ≤ const n1 → 0 ïðè n → ∞, ïîýòîìó J(un ) → 0.Äëÿ ôîðìóëèðîâêè òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå ïîíÿòèå.Ïîëóíåïðåðûâíûå ñíèçó ôóíêöèè.

Ïóñòü X − òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ôóíêöèÿ f : X → IR íàçûâàåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó â òî÷êå x0 , åñëèf (x0 ) ≤ lim f (x),x7→x0(0.1)è ïðîñòî ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó, åñëè ýòî íåðàâåíñòâî âåðíî äëÿ âñåõ x0 ∈ X .Ëåììà 1. Ïóñòü f : X → IR − ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ñëåäóþùèå òðèñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíû:à) f ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó íà X ;á) å¼ íàäãðàôèê epi f = {(x, z) ∈ X × IR : z ≥ f (x)} çàìêíóò â X × IR ;â) ∀ µ ∈ IR ëåáåãîâî ìíîæåñòâî Lµ (f ) = {x | f (x) ≤ µ} çàìêíóòî â X .1Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî X êîìïàêòíî, a ôóíêöèÿ f :X → IR ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó íà X.

Òîãäà f äîñòèãàåò íà X ñâîåãî ìèíèìóìà.Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïðîâåñòè äâóìÿ ñïîñîáàìè. Îáîçíà÷èì A = inf f.1) Âîçüìåì ëþáóþ ìèíèìèçèðóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X, ò.å. òàêóþ, äëÿêîòîðîé f (xn ) → A. Ïîñêîëüêó X − êîìïàêò (íî, âîîáùå ãîâîðÿ, áåç ïåðâîé àêñèîìû ñ÷åòíîñòè), èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûáðàòü ïîäíàïðàâëåííîñòü (ò.å.îáîáùåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü) xnα , ïàðàìåòðèçîâàííóþ èíäåêñîì α èç íåêîòîðîãî íàïðàâëåííîãî ìíîæåñòâà, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x̂ ∈ X. Äëÿ íåå ïîïðåæíåìó f (xnα ) → A.

 ñèëó (0.1), f (x̂) ≤ A, íî òàê êàê çíàê < çäåñü áûòü íåìîæåò, ïîëó÷àåì f (x̂) = A.(Åñëè X îáëàäàåò ïåðâîé àêñèîìîé ñ÷åòíîñòè (íàïð. ìåòðè÷åñêîå), òî âìåñòîïîäíàïðàâëåííîñòè ìîæíî áðàòü îáû÷íóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü; â ýòîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî î÷åíü ïðîçðà÷íî.)2) Äëÿ ëþáîãî µ > A ìíîæåñòâî ïîäóðîâíÿ Lµ (f ) î÷åâèäíî íåïóñòî è çàìêíóòî.Ñåìåéñòâî ýòèõ ìíîæåñòâ öåíòðèðîâàíî, òàê êàê ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ ìíîæåñòâ èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå (íàäî âçÿòü ìèíèìàëüíîå èç äàííûõ µ, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå íåïóñòîå Lµ (f ) áóäåò ñîäåðæàòüñÿ â êàæäîì ìíîæåñòâå èç äàííîãîíàáîðà). Ïîñêîëüêó X − êîìïàêò, òî è âñå ýòè ìíîæåñòâà èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, ò.å.

íàéäåòñÿ òî÷êà x̂, ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì èì: f (x̂) ≤ µ äëÿ ëþáîãî µ > A.Íî òîãäà f (x̂) ≤ A, è çíà÷èò f (x̂) = A.Ïðàêòè÷åñêè âñå òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ â çàäà÷àõ íà ýêñòðåìóì òàê èëèèíà÷å îñíîâàíû íà òåîðåìå Âåéåðøòðàññà.Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, âûïóêëàÿ ïî óïðàâëåíèþÍà ôèêñèðîâàííîì îòðåçêå âðåìåíè ∆ = [0, T ] ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Å:ZJ=TL(t, x, u) dt + ϕ(x(0), x(T )) → min,(1.1)0ẋ = f (t, x, u) = a(t, x) + B(t, x) u,u(t) ∈ Uäëÿ ï.â. t ∈ ∆,(x(0), x(T )) ∈ M,x(t) ∈ S(t)∀ t ∈ ∆.(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)Çäåñü, êàê îáû÷íî, x : ∆ → IRn − àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ, à u : ∆ → IRr −èçìåðèìàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèè.2Ïðåäïîëîæåíèÿ:À1) ôóíêöèÿ L(t, x, u) íåïðåðûâíà íà ∆ × IRn × U è âûïóêëà ïî u ,À2) âåêòîð-ôóíêöèÿ a(t, x) è ìàòðèöà B(t, x) (ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé)íåïðåðûâíû íà ∆ × IRn , êîíöåâàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x0 , xT ) íåïðåðûâíà íà IR2n ,À3) ìíîæåñòâî M ⊂ IR2n çàìêíóòî (êàê ïðàâèëî, îíî çàäàåòñÿ íåêîòîðûì íàáîðîì îãðàíè÷åíèé òèïà ðàâåíñòâà η(x(0), x(T )) = 0 è íåðàâåíñòâà ζ(x(0), x(T )) ≤ 0ñ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè η è ζ ),À4) ïðè êàæäîì t ∈ ∆ ìíîæåñòâî S(t) ⊂ IRn çàìêíóòî, è õîòÿ áû ïðè îäíîìt0 ∈ ∆ îíî îãðàíè÷åíî: |S(t0 )| ≤ s0 ,À5) ìíîæåñòâî U ⊂ IRr åñòü âûïóêëûé êîìïàêò,À6) òðîéêà (f, S, U ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ôèëèïïîâà: ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëîK, ÷òî ∀ t ∈ ∆, x ∈ S(t), u ∈ U âûïîëíåíà îöåíêà|(x, f (t, x, u))| ≤ K (|x|2 + 1).(1.6)Ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ è áîëåå ñëàáîé îöåíêîésign (t − t0 ) (x, f (t, x, u)) ≤ K (|x|2 + 1).(1.7)(Åñëè, íàïðèìåð, S(t) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî, òî ñëåâà â (1.6) ñòîèò îãðàíè÷åííàÿâåëè÷èíà, ïîýòîìó óñëîâèå Ôèëèïïîâà àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåíî.)Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (ïåðâûé âàðèàíò êîòîðîé áûë äîêàçàí À.Ô.

Ôèëèïïîâûì):Òåîðåìà 1. Ïóñòü â çàäà÷å Å ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí äîïóñòèìûé ïðîöåññ.Òîãäà ñóùåñòâóåò è (ãëîáàëüíî) îïòèìàëüíûé ïðîöåññ, ò.å. ôóíêöèîíàë J äîñòèãàåòñâîåãî ìèíèìóìà.Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ýòàïîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç D ìíîæåñòâîâñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ (x(t), u(t)). Ìû ïîêàæåì, ÷òî D åñòü êîìïàêò â íåêîòîðîé òîïîëîãèè, à J ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó â ýòîé òîïîëîãèè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòüäîïóñòèìûå ïðîöåññû êàê ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà C(∆) × L∞ (∆).1) Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ òðàåêòîðèé x(t) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî â ïðîñòðàíñòâå C(∆).

Îáîçíà÷èì z = |x|2 +1. Òîãäà â ñèëó (1.2) è (1.6) èìååì|ż| = 2 |(x, f (t, x, u))| ≤ 2Kz, è òàê êàê â ñèëó À4 |z(t0 )| ≤ (s20 + 1) , òî ∀ t ∈ ∆|z(t)| ≤ |z(t0 )| e2K(t−t0 ) ≤ (s20 + 1) e2KT ,è òîãäà |x(t)| ≤ const = K0 . (Ïðè âûïîëíåíèè ëèøü îöåíêè (1.7) íàäî îòäåëüíîðàññìîòðåòü ñëó÷àè t < t0 è t > t0 .) Îòñþäà, èç ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòèçíà÷åíèé u(t) è íåïðåðûâíîñòè f âûòåêàåò â ñèëó (1.2), ÷òî è |ẋ(t)| ≤ const = K1 .3Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ òðàåêòîðèé x(t), ðàññìàòðèâàåìîåâ ïðîñòðàíñòâå C(∆), ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî è ðàâíîìåðíî ëèïøèöåâî (à ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî). Ïî òåîðåìå ÀñêîëèÀðöåëà ýòî ïðåäêîìïàêò âC(∆).2) Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî âñåõ óïðàâëÿþùèõ ôóíêöèéU = {u ∈ L∞ (∆) :u(t) ∈ Uï.â.

íà ∆}.Ïîñêîëüêó U îãðàíè÷åíî, òî U ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì çàìêíóòîì øàðå ïðîñòðàíñòâà L∞ (∆), à òàê êàê ïî òåîðåìå Àëàîãëó òàêîé øàð åñòü êîìïàêò â ñëàáîé-* òîïîëîãèè, òî íàøå U åñòü ïðåäêîìïàêò â ñëàáîé-* òîïîëîãèè. (Íàïîìíèì, ÷òî ýòîòîïîëîãèÿ ñõîäèìîñòè íà êàæäîì ýëåìåíòå ïðîñòðàíñòâà L1 (∆), ñì. ÊÔ.)Ñëàáàÿ-* òîïîëîãèÿ â ëþáîì øàðå ïðîñòðàíñòâà, ñîïðÿæåííîì ê ñåïàðàáåëüíîìó(êàê ó íàñ: L∗1 = L∞ ), ìåòðèçóåìà, è ïîýòîìó ñõîäèìîñòü â ýòîé òîïîëîãèè ìîæíîðàññìàòðèâàòü íà îáû÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ.Èòàê, ìíîæåñòâî D âñåõ äîïóñòèìûõ ïðîöåññîâ (x(t), u(t)) åñòü ïðåäêîìïàêò âïðîñòðàíñòâå C(∆) × L∞ (∆) îòíîñèòåëüíî òîïîëîãèè C × σ ∗ − ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíîìåðíîé òîïîëîãèè ïî x è ñëàáîé-* òîïîëîãèè ïî u (ò.å.

îòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíîéñõîäèìîñòè x è ñëàáîé-* ñõîäèìîñòè u ).Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî D çàìêíóòî â ýòîé òîïîëîãèè. Âîçüìåì ëþáóþ ïîñëåäîñë.−∗âàòåëüíîñòü (xn , un ) ∈ D, òàêóþ ÷òî xn =⇒ x̂ ∈ C(∆), un −→ û ∈ L∞ (∆), èïîêàæåì, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ïàðà (x̂, û) ∈ D, ò.å. ÷òî îíà óäîâëåòâîðÿåò âñåì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Å.3) Òàê êàê ìíîæåñòâà M è S(t) çàìêíóòû, äëÿ ïðåäåëüíîãî x̂ îãðàíè÷åíèÿ (1.4)è (1.5) î÷åâèäíî âûïîëíåíû.4) Äëÿ ïðîâåðêè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.2) ïðåäñòàâèì åãî â èíòåãðàëüíîé ôîðìå. Äëÿ ëþáîãî t ∈ ∆ èìååìZ txn (t) = xn (0) +(a(τ, xn ) + B(τ, xn ) un ) dτ.0Òàê êàê xn (t) =⇒ x̂(t), ëåâàÿ ÷àñòü è ïåðâûå äâà ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè î÷åâèäíîñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïðåäåëàì.

Ïîêàæåì, ÷òî ∀ t ∈ ∆Z tZ tB(τ, xn ) un dτ →B(τ, x̂) û dτ.00Ðàçíîñòü ýòèõ èíòåãðàëîâ ïðåäñòàâèì â âèäåZ tZ t[B(τ, xn ) un − B(τ, x̂) un ] dτ +[B(τ, x̂) un − B(τ, x̂) û ] dτ.00Ïåðâûé èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè B åãî ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à âòîðîé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ4ñë.−∗òàê êàê un −→ û, à ôóíêöèÿ B(τ, x̂(τ )) îãðàíè÷åíà è ñëåäîâàòåëüíî, ïðèíàäëåæèòL1 (∆).Èòàê, äëÿ ïðåäåëüíîé ïàðû âûïîëíåíî ðàâåíñòâîZ tx̂(t) = x̂(0) +(a(τ, x̂) + B(τ, x̂) û) dτ,t ∈ ∆.0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ x̂(t) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà, è äëÿ ïàðû (x̂, û) ïî÷òèâñþäó íà ∆ âûïîëíåíî óðàâíåíèå (1.2).5) Ïðîâåðèì ñëàáóþ-* çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà óïðàâëåíèé U.

Òàê êàê èñõîäíîåìíîæåñòâî U ⊂ IRr − âûïóêëûé êîìïàêò, îí åñòü ïåðåñå÷åíèå íåêîòîðîãî ñåìåéñòâàçàìêíóòûõ ïîëóïðîñòðàíñòâ (p, u) ≤ α, ãäå p ∈ IRr , α ∈ IR, è ïàðà (p, α) ïðîáåãàåòíåêîòîðîå ìíîæåñòâî F ⊂ IRr+1 . ßñíî, ÷òî äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü (p, α) èç ëþáîãî ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà â F, à â êà÷åñòâå òàêîâîãî (â ñèëó ñåïàðàáåëüíîñòè IRr )ìîæíî âçÿòü íåêîòîðîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî (pi , αi ) ∈ F, i = 1, 2, .

. . . Òàêèì îáðàçîì,U åñòü ïåðåñå÷åíèå ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà ïîëóïðîñòðàíñòâ Ui = {u ∈ IRr : (p, u) ≤αi }, i = 1, 2, . . . . Ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà ôóíêöèéUi = {u ∈ L∞ (∆) :u(t) ∈ Uiï.â. íà ∆},Tè ïîêàæåì, ÷òî U = i Ui . Âêëþ÷åíèå ⊂ çäåñü î÷åâèäíî, íàäî óñòàíîâèòü ëèøüâêëþ÷åíèå ⊃ . Ïóñòü u ∈ Ui äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ∀ i èìååòñÿ ìíîæåñòâî ïîëíîé ìåðû Ei ⊂ ∆, íà êîòîðîì u(t) ⊂ Ui .  ñèëó ñ÷åòíîéTàääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ìíîæåñòâîi Ei òàêæå èìååò ïîëíóþ ìåðó, è íà íåìTu(t) ⊂ i Ui = U, è çíà÷èò, u ∈ U.Òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî Ui ñëàáî-* çàìêíóòî. Ýòîâûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî ïðîñòîãî óòâåðæäåíèÿ.Ëåììà 2.

Ïóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé vn (t) èç ïðîñòðàíñòâà L∞ (∆), ñëàáî-* ñõîäÿùèõñÿ ê ôóíêöèè v̂(t). Ïóñòü êàæäàÿ vn (t) ≤ 0ïî÷òè âñþäó íà ∆. Òîãäà è v̂(t) ≤ 0 ïî÷òè âñþäó íà ∆.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ýòî íå òàê, ò.å. v̂(t) > 0 íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâåE ïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Òîãäà äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè l(t) ìíîæåñòâà Eâ ñèëó ñëàáîé-* ñõîäèìîñòè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿZ TZ Tl(t) vn (t) dt →l(t) v̂(t) dt.00RÍî èíòåãðàëû ñëåâà ≤ 0, à ñïðàâà ñòîèò E v̂(t) dt > 0 êàê èíòåãðàë îò ñòðîãîïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè ïî ìíîæåñòâó ïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Ïðîòèâîðå÷èå.2Ïðèìåíÿÿ ýòó ëåììó äëÿ êàæäîãî i ê ôóíêöèÿìvn (t) = (pi , un (t)) − αiñë.−∗−→v̂(t) = (pi , û(t)) − αi ,ïîëó÷àåì ñëàáóþ-* çàìêíóòîñòü êàæäîãî ìíîæåñòâà Uiìêíóòîñòü ìíîæåñòâà U.5è òåì ñàìûì ñëàáóþ-* çà-6) Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèîíàë J : C × L∞ → IR ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó íàD îòíîñèòåëüíî ââåäåííîé ñõîäèìîñòè.