С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 8

. . , µn ). êà÷åñòâåp(·)ðàññìîòðèì óíêöèþ,óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ Ýéëåðàṗ(t) = λ0 fˆx (t) − p(t)ϕ̂x (t)(t ∈ A)Äîáàâèâ ê íåìó óñëîâèå òðàíñâåðñàëüíîñòè, ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè(ṗ(t) = λ0 fˆx (t) − p(t)ϕ̂x (t)(t ∈ A)p(t1 ) = −µ(pi (t1 ) = −µi ∀i)ðåøåíèå êîòîðîé, êàê èçâåñòíî, ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Ò.î. âñå íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ ýêñòðåìóìà âûïîëíÿþòñÿ àâòîìàòîì, êðîìå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ïîóïðàâëåíèþ. Ïðîâåðèì åãî.Ïî ëåììå 17.3 î âàðèàöèè èíòåãðàëüíîãî óíêöèîíàëà èìååìλ0∂g0(0) = λ0 (f (τj , x̂(τj ), vj ) − f (τj , x̂(τj ), û(τj )))−∂αj−p(τj )(ϕ(τj , x̂(τj ), vj ) − ϕ(τj , x̂(τj ), û(τj ))) − µyj (t1 )ãäåy ðåøåíèå ñëåäóþùèõ çàäà÷ èç ëåììû 17.2 îá èãîëü÷àòûõ âàðèàöèÿõ:(Ïîñêîëüêóẏj = ϕ̂x yjyj (τj ) = ϕ(τj , x̂(τj ), vj ) − ϕ(τj , x̂(τj ), û(τj ))∂gi(0) = (yj )i (t1 ),∂αjãäånXi=1µi(yj )i i-àÿ êîîðäèíàòà âåêòîðà∂gi(0) = µyj (t1 )∂αj48yj ,èìååìÇíà÷èò,nXµii=0∂gi(0) = λ0 (f (τj , x̂(τj ), vj ) − f (τj , x̂(τj ), û(τj )))−∂αj−p(τj )(ϕ(τj , x̂(τj ), vj ) − ϕ(τj , x̂(τj ), û(τj )))Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, èç ñëåäñòâèÿ ïðèíöèïà Ëàãðàíæà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä,÷òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå äîëæíî áûòü≥ 0.Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îïòèìàëüíîñòè ïî óïðàâëåíèþ íàì íóæíîíàéòè òàêèå ìíîæèòåëè Ëàãðàíæàṗ = λ0 fˆx − pϕ̂x ,è∀τ ∈ A, ∀v ∈ Uµ = (µ0 = λ0 , µ1 , .

. . , µn ), µ0 ≥ 0,÷òîp(t1 ) = −µ̄ (= −(µ1 , . . . , µn ))èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:λ0 (f (τ, x̂(τ ), v) − f (τ, x̂(τ ), û(τ )))−−p(τ )(ϕ(τ, x̂(τ ), v) − ϕ(τ, x̂(τ ), û(τ ))) ≥ 0(1)Êàçàëîñü áû, èìåííî ýòî ìû è ïîëó÷èëè. Íî íà ñàìîì äåëå äëÿ êàæäîãîêàæäîãî íàáîðà(τj , vj ), j = 1, . . .

, l; τi 6= τjïðèi 6= j)j(ò.å. äëÿíàéäåíû ñâîè ìíîæèòåëèËàãðàíæà, êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîãóò è íå ñîâïàäàòü. Ïîêàæåì, êàê ìîæíîâûáðàòü ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà, åäèíûå äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ(τ, v).Çàìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî äëÿ ïîëó÷åííîãî µ ìîæíî ïðîâåñòè íîðìèðîâêó ènPµ̄µ2i = 1. Ïîñëåäíåå ìîæíî ñäåëàòü çàìåíîé µ̄ →ñ÷èòàòü, ÷òî kµ̄k = 1,ò.å.kµ̄ki=0çàìåòèâ, ÷òî ïðè óìíîæåíèè âñåõ ìíîæåòåëåé Ëàãðàíæà íà îäíî è òî æå ÷èñëîíèêàêèå ðàâåíñòâà íå èçìåíÿòñÿ.τ̄ = (τ1 , .

. . , τl ), ãäå τ1 , . . . , τl íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íû. Î÷åâèäíî, ∃ τ̄ ν → τ̄νννïðè ν → ∞ (òî åñòü τj → τj ∀j ), òàêèå ÷òî ∀ν τ1 , . . . , τl ðàçëè÷íû. Çíà÷èò, êàêννννννïîêàçàíî âûøå, ïî íàáîðó (τ̄ , v) ìîæíî âûáðàòü µ̄ = (µ0 , . . . , µn ), kµ̄ k = 1, µ0 ≥ 0ÏóñòüÂñèëóêîìïàêòíîñòèνiµ̄ → µ̄ (i → ∞).µ̄ìíîæåñòâàÏåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðèïðîèçâîëüíûõ íàáîðîâåäèíûéïîñëåäíåãî(τ, v) = (τj , vj ),(τ, v).i → ∞,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{νi }:ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (1) óæå äëÿà íå òîëüêî ñäëÿ âñåõ íàáîðîâ∀τ ∈ A ∀v ∈ U∃τi 6= τj , i 6= j .Òåïåðü âûáåðåìðàññìîòðèì ìíîæåñòâîMτ,v = {µ̄ = (µ0 , .

. . , µn ) : µ0 ≥ 0, kµ̄k = 1,ñîîòâåòñòâóþùàÿ óíêöèÿÄàëåå çàìåòèì, ÷òîp(·)∀ (τ1 , v1 ), . . . , (τl , vl )l\j=1Òàêæåëåãêîóäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (1)}çàìåòèòü,÷òîMτj ,vj 6= ∅∀ (τ, v) Mτ,vçàìêíóòîâîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé èç óíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà:49⇒êîìïàêòíî.ÄàëååËåììà 17.4 ( î öåíòðèðîâàííîé ñèñòåìå ) Ïóñòü èìååòñÿ ìåòðè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî è ñèñòåìà åãî êîìïàêòíûõ ïîäìíîæåñòâ, ïðè÷åì ïåðåñå÷åíèåêîíå÷íîãî ÷èñëà ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ ñèñòåìû íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòûì. Òîãäàïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ñèñòåìû íå ïóñòî. íàøåì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî∃µ̄ ∈\(τ,v)Mτ,v 6= ∅µ̄ = (µ0 , .

. . , µn ),è èñêîìûå ìíîæèòåëè Ëàãðàíæàåäèíûå äëÿ âñåõ íàáîðîâ(τ, v),íàéäåíû.Óðàâíåíèå Áåëëìàíà è ïðèíöèï ìàêñèìóìà.18Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ îðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:T → min;x(0) = x0 ;(1)g(x(T )) = 0;ẋ(t) = ϕ(x(t), u(t));u(t) ∈ U.(2)(3)(4)x(·), u(·), g(·) âåêòîð-óíêöèè ñî çíà÷åíèÿìè â Rn , Rr , Rs ñîîòâåòñòâåííî.Óðàâíåíèå (3) ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåííûì â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè óïðàâëåíèÿ u.Òðåáîâàíèå (1) ðàâíîñèëüíî çàäà÷å ìèíèìèçàöèè T . Ïåðåìåííàÿ t òðàêòóåòñÿ êàênâðåìÿ, à óíêöèÿ x(t) êàê äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå R .

ÌûÏðè ýòîìîáîçíà÷àåìM = {x : g(x) = 0}.Òàêèìîáðàçîì, çàäà÷à îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ åñòü çàäà÷à äîñòèæåíèÿnòî÷êîé â R , âíà÷àëå íàõîäÿùåéñÿ â ïîëîæåíèè x0 , ìíîæåñòâà M çà ìèíèìàëüíîåâðåìÿ, ïðè òîì ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè èìåþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ íà âåêòîðñêîðîñòè äâèæåíèÿ òî÷êè â çàâèñèìîñòè îò åå òåêóùåãî ïîëîæåíèÿ; ýòè îãðàíè÷åíèÿîïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè (3) è (4).Ïðèíöèïìàêñèìóìàïèøåòñÿïðèñëåäóþùèõïðåäïîëîæåíèÿõãëàäêîñòè:ϕ(x, u) ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíîé è èìåþùåé íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþóíêöèÿ g(x) ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé.óíêöèÿïîx,àÑîãëàñíî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà, åñëè(x̂(·), û(·), T̂ ) îïòèìàëüíûé óïðàâëÿåìûé1ïðîöåññ, òî íàéäóòñÿ ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà λ = (λ0 , .

. . , λn+s ) è(Rn )∗ ) òàêèå, ÷òî (λ, p(·)) 6= 0 è äëÿ óíêöèè ËàãðàíæàL(x(·), u(·), λ, p(·)) =ZTp(·) ∈ KC ([0, T ] →(λ0 + p(t)(ẋ(t) − ϕ(x(t), u(t))))dt + µ(x(0) − x0 ) + νg(x(T )),0ãäåµ = (λ1 , . . . , λn ), ν = (λn+1 , . . . , λn+s ), âûïîëíåíûu è íåîòðèöàòåëüíîñòè λ0 :îïòèìàëüíîñòè ïî50óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè ïîx ,T ,1) óðàâíåíèå Ýéëåðàṗ(t) = −ϕ̂x (t)p(t);2) óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè3) óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè ïîp(0) = µ,p(T̂ ) = −νĝx(T ) ;u: −p(t)ϕ̂(t) = max(−p(t)ϕ(x̂(t), u));u∈U4) óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè ïî ïîäâèæíîìó êîíöó:5) óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè:˙ T̂ ) = 0;λ0 + νĝx(T ) x̂(λ0 ≥ 0.Ïðè ýòîì 1) è 3) âûïîëíåíû â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè óïðàâëåíèÿÏóñòüóñëîâèåìu.ˆ T̂ ) ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ ñ íîâûì íà÷àëüíûì(x̃,x̃(0) = x̂(τ ). ÒîãäàËåììà 18.1ˆ = x̂(t + τ );x̃(t)ˆ = û(t + τ );ũ(t)T̃ˆ = T̂ − τÏóñòüx̃(t) = x̂(t + τ ); ũ(t) = û(t + τ ); T̃ = T̂ − τÄàëåå èìååì:T̃ˆ ≤ T̂ − τÄîïóñòèì, ÷òî åñòü äîïóñòèìûé ïðîöåññ èx̂(τ )g(x) = 0T̂ − τ .x0x(t) =(u(t) =(Òîãäà ðàññìîòðèìx̂(t) t ≤ τx̃(t − τ ) t > τû(t) t ≤ τũ(t − τ ) t > τg(x(T̃ + τ )) = 0; T = T̃ + τ < T̂ .

(x(·), u(·), T )ˆτ ∈ (0, T ) ⇒ T̃ ≥ T̂ − τ Ïîëó÷àåì, ÷òîäîïóñòèìûé ïðîöåññ,x0 ∈ Rn â (1) äîñòèãàåòñÿ ãëîáàëüíûéðàâíûé T (x0 ); óíêöèÿ ω(x0 ) = −T (x0 ) íàçûâàåòñÿnäèåðåíöèðóåìà ïî Ôðåøå â òî÷êå x0 ∈ R \M, òî ñïðàâåäëèâîÏðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãîmaxv∈Uìèíèìóì,óíêöèåé Áåëëìàíà . Åñëè ωóðàâíåíèå Áåëëìàíà∂ω(x0 )ϕ(x0 , v) = 1.∂xÏðè ýòîì ìàêñèìóì â (5) äîñòèãàåòñÿ äëÿv = u0 ,ãäå(5)u0 = û(0),ãäå(x̂(·), û(·), T̂ )îïòèìàëüíûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ.Ïóñòüω(x̂(t)) = t − T̂ ⇒1=Ïóñòüìîæíî çàïèñàòü∂ωdω∂ωdω(x̂(t))˙(0) =(x0 )x̂(0)=(x0 )ϕ(x̂(0), û(0)) =(x0 )ϕ(x0 , u0 )dtdxdx∂xv ∈ U.T̃ <àññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèẋ = ϕ(x, v), x(0) = x051Òîãäàω(x(t)) ≤ t − T̂ .(Èíà÷å ìû áû ìîãëè ñîñòàâèòü äîïóñòèìûé ïðîöåññ, àçîâàÿïåðåìåííàÿ êîòîðîãî ñêëååíà èç óíêöèéx̃,x(·) íà îòðåçêå [0, t] è àçîâîé ïåðåìåííîéx̃(0) = x(t).

Ïðè ýòîìîïòèìàëüíîé äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ ñìû ïîëó÷èì äîïóñòèìûé ïðîöåññ ñT < T̂ .)Ñëåäîâàòåëüíî,1≥∂ωdω∂ωdω(x(t))(0) =(x0 )ẋ(0) =(x0 )ϕ(x̂(0), v) =(x0 )ϕ(x0 , v)dtdxdx∂xÒåì ñàìûì ìû ïðîâåðèëè óðàâíåíèå Áåëëìàíà.ω ∈ C 2 (Rn \ M).x0 ∈ Rn \ M.Ïóñòü (x̂(·), û(·), T̂ )ñîîòâåòñòâóþùèé îïòèìàëüíûé ïðöåññ, u0 = û(0), F (x) =∂ω(x)ϕ(x, u0 ).  ñèëó óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà, F (x0 ) = 1 è F (x) ≤ 1 äëÿ ëþáîãî x.∂x∂F(x0 ) = 0.Òàêèì îáðàçîì, óíêöèÿ F (x) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òî÷êå x0 . Çíà÷èò,∂xÏóñòü xj (j = 1, .

. . , n) åñòü j - àÿ êîîðäèíàòà âåêòîðà x. Äëÿ j = 1, . . . , n ìû èìååìÏðåäïîëîæèìòåïåðü,÷òîn0=ÔèêñèðóåìnX ∂2ωX ∂ω∂F∂ϕi(x0 ) =(x0 )ϕi (x0 , u0 ) +(x0 )(x0 , u0 ),∂xj∂xx∂x∂xijiji=1i=1÷òî, èñïîëüçóÿ äèåðåíöèðîâàíèå ïî âåêòîðíîìó àðãóìåíòó, ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê∂ω∂ϕ∂2ω(x0 ) (x0 , u0 ).0 = 2 (x0 )ϕ(x0 , u0 ) +∂ x∂x∂xÎáîçíà÷èì˙ ,x̂(0)ψ(x) =∂ω(x),∂xp(t) = ψ(x̂(t)).Çàìåòèì, ÷òî(6)x0 = x̂(0), ϕ(x0 , u0 ) = ϕ̂(0) =ïîýòîìó (6) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå0=∂ψdx̂(x̂(0)) (0) + ψ(x0 )ϕ̂x (0) = ṗ(0) + p(0)ϕ̂x (0).∂xdtÒàêèì îáðàçîì, óñëîâèå 1) â ïðèíöèïå ìàêñèìóìà ïðîâåðåíî äëÿÁåëëìàíà äîåò óñëîâèå 3) îïòèìàëüíîñòè ïîuòàêæå äëÿt = 0.Óðàâíåíèåt = 0.t = τ , óïðàâëåíèÿ û(·)â êîòîðîé íåïðåðûâíî, ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ t = 0.

Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (x̂(·), û(·), T̂ )îïòèìàëüíûé óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, 0 < τ < T , x̃0 = x̂(τ ). àññìîòðèì çàäà÷óîïòèìàëüíîãî áûñòðîäåéñòâèÿ, â êîòîðîé íà÷àëüíîå óñëîâèå çàìåíåíî íà x(0) = x̃0 .Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ óñëîâèé 1) è 3) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êåÈçâåñòíî, ÷òî äóãà îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè, ñîåäèíÿþùàÿ ïðîèçâîëüíóþ åå òî÷êóñ êîíöîì, ÿâëÿåòñÿ ñàìà ïî ñåáå îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèåé.Ïîýòîìó îïòèìàëüíûì óïðàâëÿåìûì ïðîöåññîì äëÿ íîâîé çàäà÷è áóäåò òðîéêàˆ = x̂(· + τ ), ũ(·)ˆ = û(· + τ ), T̃ˆ = T̂ − τ .ˆ ũ(·),ˆ T̃ˆ), ãäå x̃(·)(x̃(·),óíêöèÿ p̃(·) îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîéÑîîòâåòñòâóþùàÿˆp̃(t) = ψ(x̃(t))= ψ(x̂(t + τ )) = p(t + τ ).Ñëåäîâàòåëüíî,˙ṗ(τ ) + p(τ )ϕ̂x (τ ) = p̃(0)+ p̃(0)ϕ̃ˆx (0) = 0ïî äîêàçàííîìó, è óðàâíåíèå 1) èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà â òî÷êåt = τïðîâåðåíî;àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå 3).

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïîäõîäÿùåìâûáîðå ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæàλóñëîâèÿ 2), 4), 5) òàêæå áóäóò âûïîëíåíû.52Çàäà÷à 9 Ïðèâåñòè ïðèìåð çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, â êîòîðîé óíêöèÿíå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé.pÓêàçàíèå. àññìîòðèòå çàäà÷óZ20(−xu2 ) → min; x(0) = 0, x(2) = 1,ẋ = u, 0 ≤ u(t) ≤ 1.Çàäà÷à 10 Ïðèâåñòè ïðèìåð çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿZt1t0L(t, x(t), u(t))dt → min; x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,ẋ = u, u(t) ∈ U,òàêîé, ÷òî ïðè ïðèìåíåíèè ê íåé ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà íåîáõîäèìîáðàòü λ0 = 0.Óêàçàíèå.

àññìîòðèòå çàäà÷óZ01√(− u)dt → min; x(0) = 0, x(1) = 0,ẋ = u, u(t) ≥ 0.Çàäà÷à 11 Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿZt1t0L(t, x(t), u(t))dt → min; x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,ẋ = u, u(t) ∈ Rnïðè ïðèìåíåíèè ê íåé ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà ìû èìååì λ0 6= 0.19Îïòèìàëüíûé âûáîð ñóùåñòâóåò. ÄîêàçàíîÔèëèïïîâûì.Äî ñèõ ïîð â ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ íå ïîäíèìàëñÿ âîïðîñ, ñóùåñòâóåò ëèâîîáùå îïòèìàëüíûé ïðîöåññ.  äàííîì ðàçäåëå ïîêàæåì, ÷òî óæå ïðè äîñòàòî÷íîìàëûõ îãðàíè÷åíèÿõ îïòèìàëüíûé ïðîöåññ ñóùåñòâóåò.