С.В. Конягин - Вариационное исчисление и оптимальное управление

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒèìåíè Ì.Â.ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé àêóëüòåòÂÀÈÀÖÈÎÍÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅÓÏÀÂËÅÍÈÅïðî. Ñ.Â.Êîíÿãèí1/2 ãîäà, 4 êóðñ, îòäåëåíèå ìàòåìàòèêè, 2 ïîòîêËåêöèè çàïèñàíû è íàáðàíû ñòóäåíòàìè Â.Þ.˼âèíûì è Â.Â.Îñîêèíûì.Ïîñëåäíÿÿ ðåäàêöèÿ:21.02.2006ã.Ìîñêâà 2005Ñîäåðæàíèå1 Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ ãëàäêèõ çàäà÷ áåçîãðàíè÷åíèé.32 Ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.Óðàâíåíèå Ýéëåðà.53 Çàäà÷à Áîëüöà.

Óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè.74 Èíòåãðàëû èìïóëüñà è ýíåðãèè.85 Âàðèàöèÿ èíòåãðàëüíîãî óíêöèîíàëà ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè. 96 Ñèëüíûé ýêñòðåìóì â ïðîñòåéøåé çàäà÷å êëàññè÷åñêîãîâàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà-Ýðäìàíà.107 Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ñëàáîãîýêñòðåìóìà â ïðîñòåéøåé çàäà÷å êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãîèñ÷èñëåíèÿ.148 Èãîëü÷àòûå âàðèàöèè.

Óñëîâèå Âåéåðøòðàññà íåîáõîäèìîåóñëîâèå ñèëüíîãî ýêñòðåìóìà.199 Ýëåìåíòû òåîðèè ïîëÿ.2210 Çàäà÷à î áðàõèñòîõðîíå.2711 ëàäêàÿ çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ.3112 Èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à.3313 Çàäà÷à ñ ïîäâèæíûìè êîíöàìè.3414 Çàäà÷à ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ.3615 Çàäà÷à Ëàãðàíæà.3916 Çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.4217 Çàäà÷à ñî ñâîáîäíûì êîíöîì.4318 Óðàâíåíèå Áåëëìàíà è ïðèíöèï ìàêñèìóìà.5019 Îïòèìàëüíûé âûáîð ñóùåñòâóåò.

Äîêàçàíî Ôèëèïïîâûì.5320 Òåîðåìà ÊóíàÒàêêåðàÊàðóøà.5721 Äîêàçàòåëüñòâî ïðèíöèïà Ëàãðàíæà äëÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìèòèïà ðàâåíñòâ è íåðàâåíñòâ â ÷àñòíîì ñëó÷àå.59Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿãëàäêèõ çàäà÷ áåç îãðàíè÷åíèé.1Ïóñòü çàäàíà óíêöèÿextr).f : A → R.Áóäåì èññëåäîâàòü åå òî÷êè ýêñòðåìóìîâ (f (x)→Îïðåäåëåíèå 1.1 xb - òî÷êà ìèíèìóìà (ñòðîãîãî ìèíèìóìà) óíêöèè f(x), åñëè(∀x ∈ A f (x) ≥ f (bx) f (x) > f (bx)Àíàëîãè÷íîîïðåäåëÿþòñÿñîîòâåòñòâåííî).òî÷êèìàêñèìóìà(ñòðîãîãîìàêñèìóìà)èòî÷êèëîêàëüíîãî ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà.Íàïîìíèì îðìóëèðîâêó òåîðåìû Ôåðìà.Òåîðåìà 1.1 Ïóñòü A ⊂ R, xb ∈ intA, xb - òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà f. Òîãäà èçñóùåñòâîâàíèÿ f ′(bx) ñëåäóåò f ′(bx) = 0Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî (ËÍÏ)XíàäR.Íàïîìíèì ñâîéñòâà íîðìû:• kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0• kx + yk ≤ kxk + kyk• kαxk = |α|kxkÍàïîìíèì òåïåðü îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî óíêöèîíàëà.Îïðåäåëåíèå 1.2 ëèíåéíûé óíêöèîíàë îòîáðàæåíèå x → < x∗, x >,ëèíåéíîå ïî x.

Ýòîò óíêöèîíàë íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì (è, çíà÷èò,íåïðåðûâíûì), åñëè ∃c > 0 : ∀x ∈ X | < x∗, x > | ≤ ckxk, ãäå kx∗k := supx6=0 |<xkxk,x>| =x∗∗supkxk≤1 | < x∗ , x > | < ∞Îïðåäåëåíèå 1.3 ïðîñòðàíñòâî X ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ óíêöèîíàëîâ íàä X∗íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ïðîñòðàíñòâîì.Ïðèìåð:∗(x1 , ..., x∗n )},Ïóñòü1PX = Rn , x = (x1 , ..., xn )T , kxk = ( ni=1 x2i ) 2 .< x∗ , x >= x∗ x.X -ËÍÏ, A ⊂ X , xb ∈ intA, h ∈ X .Îïðåäåëåíèå 1.4 Âàðèàöèåé ïî Ëàãðàíæó â òî÷êåδf (bx, h) :=(bx)limα→0 f (bx+αh)−fαX ∗ = {x∗ =íàçûâàåòñÿ ïðåäåë, åñëè îí ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî h.δf (bx, h) = f ′ (bx)ÅñëèX = R, h = 1,ÅñëèX = Rn , h = ei = (0...1...0)T ,òîÒîãäàòîδf (bx, ei ) =xb∂f(bx)∂xiÏðèâåäåì ïðèìåð óíêöèè, ó êîòîðîé ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå,íî íå ñóùåñòâóåò âàðèàöèè ïî Ëàãðàíæó:∂f(0) = 0X = R2 , f (x) = sgn(x1 x2 ), ∂xi3Îïðåäåëåíèå 1.5 Ïóñòü X -ËÍÏ,.

Åñëè, òî ãîâîðèì, ÷òîA ⊂ X, xb ∈ intA, f : A → R= 0 (∗)∃x ∈ X : f (bx + h) = f (bx)+ < x , h > +r(h) limh→0 |r(h)|khk′∗xbf (bx) = x∗∗,∗f äèåðåíöèðóåìà â òî÷êå ïî Ôðåøå è.Êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò èç ëåììûËåììà 1.1 åñëè (∗) âûïîëíåíî, h ∈ X , òî δf (bx, h) =< x , h >.∗(bx)= Ïóñòü h ∈ X , h 6= 0, α 6= 0, |α| ìàë (ò.å. xb + αh ∈ A).

Òîãäà f (bx+αh)−fα∗r(αh) kαhkr(αh)kαhkα<x ,h>1∗(f (bx)+ < x , αh > +r(αh) − f (bx)) =+ kαhk α . Íî kαhk → 0, α → 0; α ααîãðàíè÷åíî. Çíà÷èò,(bx)=< x∗ , h > limα→0 f (bx+αh)−fαÏðèâåäåì ïðèìåð, êîãäà ñóùåñòâóåò âàðèàöèÿ ïî Ëàãðàíæó, íî íåò ïðîèçâîäíîé:(0, x21 6= x2 ∨ x1 = x2 = 0f (x) =1, x21 = x2 6= 0Çäåñü âàðèàöèÿ ïî Ëàãðàíæó â 0 ðàâíà 0.Îïðåäåëåíèå 1.6 Ïóñòü X - ËÍÏ, A ⊂ X , x̂ ∈ A, f : A → R. x̂ íàçîâåì òî÷êîéëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (lomin), åñëè ∃ǫ > 0 : ∀x ∈ A (kx − x̂k < ǫ ⇒ f (x) ≥ f (x̂))Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà:Òåîðåìà 1.2 Ïóñòü X - ËÍÏ, A ⊂ X , x̂ ∈ intA, f.

Òîãäà δf (x̂, h) = 0.∃δf (x̂, h): A → R, x̂ − locextr, ∀h ∈ XÂûâîä: åñëè åñòü âàðèàöèÿ ïî Ëàãðàíæó, òî âàðèàöèÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ðàâíà0. φ(α) := f (x̂ + αh), 0 - loextr äëÿ φ. Ïî òåîðåìå(x̂)= limα→0 f (x̂+αh)−f= δf (x̂, h) = 0 limα→0 φ(α)−φ(0)ααÓ÷èòûâàÿ, ÷òî< f ′ (x̂), h >= δf (x̂, h),Ôåðìàφ′ (0) = 0.Íîφ′ (0) =ïîëó÷àåì ñëåäñòâèå (òåîðåìó Ôåðìà äëÿëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ):Òåîðåìà 1.3 Ïóñòü X - ËÍÏ, A ⊂ X, x̂ ∈ intA, f : A → R, x̂ - loextr, ñóùåñòâóåò.

Òîãäà f ′(x̂) = 0f ′ (x̂)àññìîòðèì òåïåðü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó (Àïîëëîíèÿ): òðåáóåòñÿ íàéòè ðàññòîÿíèå2x222T2 xîò òî÷êè íà ïëîñêîñòè äî ýëëèïñà: (ξ, η) ∈ R , 21 + 22 = 1; (x1 − ξ) + (x2 − η) →abmin. Òåîðåìà Ôåðìà çäåñü íå ïðèìåíèìà, òàê êàê ìèíèìóì èùåòñÿ ïî ìíîæåñòâó, íå2ñîäåðæàùåìó âíóòðåííèõ (îòíîñèòåëüíî R ) òî÷åê. Îäíàêî, òåîðåìó Ôåðìà ìîæíîèñïîëüçîâàòü, åñëè çàäà÷ó îðìàëèçîâàòü ïî-äðóãîìó. Äëÿ ýòîãî ïåðåéäåì â íîâûåêîîðäèíàòû:x1x2=a cos φb sin φ(a cos φ − ξ)2 + (b sin φ − η)2 → min.Çäåñü óæå ìèíèìèçèðóåì ïî φ, ïðè÷åì φ ïðîáåãàåò âñþ ïðÿìóþ ⇒ ìîæíî ïðèìåíèòü íèõ çàäà÷à ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:òåîðåìó Ôåðìà.42Ïðîñòåéøàÿ çàäà÷à êëàññè÷åñêîãîâàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.

ÓðàâíåíèåÝéëåðà.àññìîòðèì çàäà÷óJ(x(·)) =Zt1t0L(t, x(t), ẋ(t))dt → extrx(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1U = intU ⊂ R2n+1 , L : U → R íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, íàçûâàåìàÿ èíòåãðàíòîì.Ýòà çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïðîñòåéøåé çàäà÷åé êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ(Ç).x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], Rn )∀t ∈ [t0 , t1 ] (t, x(t), ẋ(t)) ∈ U .ÔóíêöèÿÂâåäåì â ïðîñòðàíñòâåíàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé, åñëèC 1 ([t0 , t1 ], Rn )x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ;íîðìó ñëåäóþùèì îáðàçîì:kx(·)kC 1 ([t0 ,t1 ],Rn ) = max(kx(·)kC([t0 ,t1 ],Rn ) , kẋ(·)kC([t0 ,t1 ],Rn ) )ãäåkx(·)kC([t0 ,t1 ],Rn ) = maxt∈[t0 ,t1 ] |x(t)|Rn .Îïðåäåëåíèå 2.1 Äîïóñòèìàÿ óíêöèÿ x̂(·) äîñòàâëÿåò ñëàáûé ìèíèìóì â (Ç),åñëè∃ǫ > 0 : ∀J(x(·)) ≥ J(x̂(·)).äîïóñòèìîé óíêöèè x(·), òàêîé ÷òî kx(·) − x̂(·)kC1< ǫâåðíîÀíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñëàáûé ìàêñèìóì.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àén = 1.Ïîëó÷èì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà:Òåîðåìà 2.1  äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì çàäà÷è (Ç) ïðåäïîëîæèì, ÷òî L, L , L -íåïðåðûâíûå â U ,óðàâíåíèå ÝéëåðàdL̂ (t) = L̂x (t)).dt ẋ- ñëàáûé ýêñòðåìóì â (Ç).

Òîãäà ∀t ∈ [t0, t1] âûïîëíåíî˙= Lx (t, x̂(t), x̂(t))(â ñîêðàùåííîé çàïèñè:xẋx̂(·)d˙L (t, x̂(t), x̂(t))dt ẋ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ôåðìà. Õîòÿ â íàøåì ñëó÷àåâñå ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò, áóäåì ïðîâåðÿòü ðàâåíñòâî íóëþ âàðèàöèè Ëàãðàíæà.Çàìåòèì, ÷òî â (Ç) åñòü îãðàíè÷åíèÿx(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 ,êîòîðûå ìåøàþòïðèìåíèòü òåîðåìó Ôåðìà â ÿâíîì âèäå. Íî ýòà ïðîáëåìà ëåãêî ðåøàåòñÿ çà ñ÷åòââåäåíèÿ ñëåäóþùåãî ËÍÏ:X = C01 [t0 , t1 ](:= C01 ([t0 , t1 ], R)) = {x(·) ∈ C 1 [t0 , t1 ] : x(t0 ) = x(t1 ) = 0}, k · kC01 =k · kC 1F (h(·)) = J(x̂(·) + h(·)).

Òîãäà (óíêöèÿ) 01ïðîñòðàíñòâå C0 [t0 , t1 ], ò.ê. åñëè x̂(·) - ñëàáûé ìèíèìóì,< ǫ x(·) = x̂(·) + h(·) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé ⇒ J(x(·)) ≥àññìîòðèì ñëåäóþùóþ óíêöèþ:F âòî ïðè ìàëûõ ǫ è kh(·)kC 10J(x̂(·)) ⇔ F (h(·)) ≥ F (0).- loextr äëÿ óíêöèèÌû çíàåì, ÷òî âàðèàöèÿFïî Ëàãðàíæó â 0 ðàâíà 0. Ïîëó÷èì îòñþäà òðåáóåìîåóðàâíåíèå Ýéëåðà:δF (0, h(·)) = limα→01˙(F (αh(·)) − F (0)) = {L̂(t) := L(t, x̂(t), x̂(t))}=α51= limα→0 αZt1˙ + αḣ(t))dt −L(t, x̂(t) + αh(t), x̂(t)t0= {ó÷èòûâàÿ,=ZZt1t0L̂(t)dt =÷òî ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíà ïî t}=1˙ + αḣ(t)) − L̂(t) dt =L(t, x̂(t) + αh(t), x̂(t)α→0 αt1limt0=Zt1(L̂x (t)h(t) + L̂ẋ (t)ḣ(t))dtt0→ ∀h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ] δF (0, h) = 0.0 - loextrÎòñþäà è èíòåãðàë âûøå ðàâåííóëþ. Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèé òåîðåìû è óðàâíåíèÿ Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òîäèåðåíöèðóåìà ïît.L̂ẋÒîãäà äëÿ îêîí÷àíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íîäîêàçàòü ñëåäóþùóþ ëåììó (Äþáóà-åéìîíà):Ëåììà 2.1 Ïóñòü, ïðè÷åìa(·), b(·) ∈ C[t0 , t1 ]∀t a(t) = ḃ(t). Òîãäàb(t)ḣ(t))dt = 0∀h(·) ∈ C01 [t0 , t1 ]R t1t0(a(t)h(t) +ïåðâîîáðàçíàÿ îò a.

ÒîãäàR t1 ÏîëîæèìR t1Ȧ(t) = a(t), ò.å. At1 - Rêàêàÿ-ëèáîR t1t1a(t)h(t)dt=h(t)dA(t)=h(t)A(t)|−A(t)ḣ(t)dt⇒(b(t) − A(t))ḣ(t)dt = 0.t0t0t0R t1t0RtR t1 t0Âûáåðåì òåïåðü A(·) è h0 (·) òàê, ÷òîáûA(t)dt = t0 b(t)dt, à h0 (t) = t0 (b(s) −t01A(s))dsR t.1 Ïðè ýòîì h0 (t0 ) = h0R(tt11) = 0 ⇒ h02(·) ∈ C0 . Äëÿ òàêèõ A è h0 èìååì0 = t0 (b(t) − A(t))h˙0 (t)dt = t0 (b(t) − A(t)) dt è, ñëåäîâàòåëüíî, b ≡ A.

Òîãäàḃ(t) = Ȧ(t) = a(t) Íà ýòîì è çàêàí÷èâàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûàññìîòðèìñëó÷àé.òåïåðüâêðàòöåâåêòîðíûé(x1 (t), ..., xn (t))T , L̂x = (L̂x1 , ..., L̂xn ). Òîãäà óðàâíåíèåd÷òî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå { L̂ẋi (t) = L̂xi (t)(i ∈ 1, n)}.dtÏóñòüÝéëåðà èìååò âèäx(t)=dL̂=L̂x,dt ẋÇàäà÷à 1 äîêàçàòü íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî nÓêàçàíèå: èêñèðóåìx̂1 (·), ..., x̂i−1 (·), x̂i+1 (·), ...Âàðüèðóåìxi (·).Îïðåäåëåíèå 2.2 åñëè x̂(·) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ýéëåðà, òî x̂(·) íàçûâàåòñÿýêñòðåìàëüþ.Ëþáàÿóíêöèÿ,êîòîðàÿäîñòàâëÿåòìèíèìóìýêñòðåìàëüþ.

Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.6èëèìàêñèìóì,ÿâëÿåòñÿÇàäà÷à Áîëüöà. Óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè.3Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ äðóãîé çàäà÷è, à èìåííî çàäà÷è Áîëüöà (ÇÁ).2n+1, L ∈ C(U )(:= C(U, R)), V = intV ⊂ R2n , l ∈ C(V ). ÁóäåìÏóñòü U = intU ⊂ Rèññëåäîâàòü óíêöèîíàë ÁîëüöàB(x(·)) =Zt1L(t, x(t), ẋ(t))dt + l(x(t0 ), x(t1 )) → extrt0L,êàê è ðàíüøå, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàíòîì,líàçûâàåòñÿ òåðìèíàíòîì. Äîïóñòèìàÿóíêöèÿ äëÿ (ÇÁ) îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê îíà îïðåäåëÿëàñü â (Ç).Îïðåäåëåíèå 3.1 äîïóñòèìàÿ x̂(·) äîñòàâëÿåò ñëàáûé ìèíèìóì â (ÇÁ), åñëè ∃ǫ >òàêîé, ÷òî kx(·) − x̂(·)kC0 : ∀x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ], Rn )(Çàìåòèì, ÷òîêx̂).UVè⇒- îòêðûòûå1, âåðíî B(x(·)) ≥ B(x̂(·)).<ǫèíòåãðàë îïðåäåëåí è äëÿx,áëèçêèõÑëàáûé ìàêñèìóì îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî.