М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 5

Семь таких плоскостей содержатся в молекуле бензола, пять — в молекуле ферроцена, четыре — в молекуле SbCls, шесть — в молекуле метана.Стоит обратить внимание (во избежание типичной ошибки), чтопрямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм, имеет лишь одну плоскость /п, параллельную основанию:вертикальные плоскости, проходящие через средние линии параллелограмма, не являются плоскостями симметрии.Чтобы уверенно обнаруживать в фигурах оси п более высоких порядков, следует иметь в виду общие свойства инверсионных осей.

Эти свойства можно сформулировать в виде теорем,которые нетрудно доказать, пользуясь представлениями о симметрических операциях (см. раздел 2.1). Инверсионные оси разбп*ваются на три группы.1. Оси Я, где п — нечетное. Прямая, являющаяся такой осью,всегда одновременно является и поворотной осью /7, а ее особаяточка — центром инверсии.

Следовательно, наличие (или отсутствие) инверсионных осей нечетного порядка устанавливается автоматически. Так, присутствие в молекуле ферроцена (см.рис. 1.1.2, а) оси 5 и центра симметрии 1—необходимое и достаточное условие существования оси 5. Для инверсионных осейчетного порядка это не так.2. Оси я, где я —число вида 4/+2, т. е. /г = 2, 6, 10...

Такаяось всегда является поворотной осью вдвое меньшего порядка(/г/2 = 2/+1), но вовсе не обязана представлять собой поворотную _ось п. Зато можно констатировать, что перпендикулярнооси п с п = 41-\-2 обязательно проходит плоскость т. В итоге и1Обозначение m плоскости симметрии происходит от английского «mirror».что значит «зеркало».22здесь возможен упрощающий прием: обнаружение поворотнойоси нечетного порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии эквивалентно обнаружению инверсионной оси вдвоебольшего порядка.

Например, в молекуле SbCls (см. рис. 1.1.2,6)необходимо и достаточно увидеть ось 3 и перпендикулярную кней плоскость т, чтобы сделать заключение о присутствии оси 6.3. Оси /Г, где п — число вида 4/, т. е. п = 4, 8, 12... Такая осьтакже с необходимостью является поворотной осью порядкал/2 = 2/, но только этого обстоятельства, разумеется, недостаточ-Рис. 1.1.3. Эквивалентность действияинверсионной оси 2 отражению в перпендикулярной плоскости (на примере молекулы воды)Рис.

1.1.4. Тетрагональный тетраэдр —характерная комбинация граней дляфигуры с инверсионной осью четвертого порядка:а — индивидуальный тетрагональныйтетраэдр, б — многогранник, частьграней которого составляет тетрагональный тетраэдрно для констатации наличия оси Я, и, к сожалению, в этом случае не удается указать другие достаточные признаки, аналогичные тем, которые обнаружились в предыдущих случаях.Характерным признаком фигуры, имеющей ось 4, являетсяналичие двух пар особым образом расположенных граней(рис.

1.1.4). Одна пара включает грани А\А2В2 и В\А2В2, друг а я — грани А2А\В\ и В2А\В\\ все эти грани — равнобедренныетреугольники. Каждая пара граней представляет собой двугранный угол, и ребра этих углов А\В\ и А2В2 скрещиваются подпрямым углом. Описанная фигура называется тетрагональнымтетраэдром (по форме она похожа на «молочный пакет»). Черезточки Ci и С2, являющиеся серединами ребер, в этой фигурепроходит ось 4. При действии этой оси (будем считать, что сочетающийся с инверсией поворот на 90° осуществляется по часовой стрелке) происходит следующее циклическое преобразованиеточек: А\-+В2-+-В\-+Аг>-^А\\ в итоге фигура совмещается сама ссобой.

Примечательно, что ось 4 в тетрагональном тетраэдре неявляется поворотной осью 4 и фигура не имеет центра инверсии.В правильном тетраэдре, каким является, например, молекула23метана, имеются сразу три взаимно перпендикулярные оси 4Г.расположение которых показано на рис. 1.1.2, в.Разумеется, инверсионной осью 4 может обладать и фигура,не являющаяся тетраэдром «в чистом виде». Пример показан нарис. 1.1.4,6; но и в этом многограннике в качестве его составнойчасти присутствует тетрагональный тетраэдр, который получится,если грани а, &, с, d продолжить до пересечения.

В случае фигуры с осью 8 аналогичной характерной деталью будет совокупность из восьми граней, подразделяющаяся на две четверки;каждая четверка представляет собой пирамиду, и эти две пирамиды повернуты относительно друг друга на 45°. Такая фигураназывается тетрагональной антиприз'мой и показана на рис. 1.7.7.С помощью закрытых элементов симметрии удобно рассмотреть вопрос о неповторяющихся (особенных) точках непериодических фигур. В асимметричной фигуре, которая имеет лишьоси 1, всякая точка особенная. В фигуре, которая содержитось п (причем п>1) или плоскость т при отсутствии других нетривиальных элементов симметрии, особенными являются всеточки, лежащие на этой оси или плоскости.

Наконец, фигура может иметь единственную особенную_ точку; так получается приналичии инверсионной оси (кроме 2) или при наличии пересекающихся элементов симметрии. Такие элементы симметрии (исключая 1 и 2, но включая т) должны иметь одну общую точку О; эта точка в то же время должна быть особой_точкой каждой из присутствующих инверсионных осей (кроме 2). Если речьидет о материальном теле, то точка О является его центроммасс.На чертежах, показывающих относительную ориентацию закрытых элементов симметрии, используют следующую системуобозначений:67Обозначение О Д П О ООсь2J45°2J4~ АЗаметим, что в обозначениях инверсионных осей находят отражение их свойства, о которых было сказано выше. На проекциикаждый из приведенных значков соответствует оси симметрии,расположенной вертикально.

Ось, ориентированную горизонтально, изображают в виде отрезка, на обоих концах которого поставлены соответствующие значки. Ось 2 на чертежах обычно непоказывают. Вместо нее изображают плоскость зеркального отражения т: при вертикальной ориентации — двойной (или жирной) чертой, при горизонтальной ориентации — уголком в правом верхнем углу чертежа.В качестве примера на рис.

1.1.5 в виде проекции показанорасположение элементов симметрии молекулы циклопропана24(СН 2 )з. На проекции изображены также атомы С и Н. Рядом сточками, которые соответствуют атомам Н, указаны их координаты по оси Z, перпендикулярной к плоскости чертежа. Дляатомов С эти координаты равны нулю; обычно в таких случаяхо/?Рис.

1.1.5. Расположение элементов симметрии в молекуле циклопропана:__а — общий вид молекулы (СН2)з> б — проекция вдоль оси 6координату z не указывают — ее равенство нулю подразумевается.Обычная проекция оказывается неудобной для изображенияэлементов симметрии, наклонных по отношению к плоскости черNРис. 1.1.6. Стереографическая проекция:а — изображение прямой, б — изображение плоскоститежа. При наличии таких элементов удобнее воспользоватьсястереографической проекцией, построение которой сводится кследующему (рис.

1.1.6). В рассматриваемой фигуре одну из осо25бенных, неповторяющихся точек принимают за центр проекции О.Вокруг точки О произвольным радиусом описывают сферу ичерез точку О проводят экваториальную плоскость. Пересечениесферы с плоскостью дает круг проекции. Перпендикуляр к этомукругу, проходящий через точку О, определяет положение северного и южного полюсов сферы.Если требуется изобразить прямую 1 ОА (рис. 1.1.6, а), точкуА\, в которой О А пересекается с северной полусферой, соединяютс южным полюсом S.

Возникающая точка Л 2 , в которой пересекаются плоскость проекции и прямая A\S, принимается за изображение прямой ОА. Очевидно, что прямая NS изобразится точкой в центре круга проекции, всякая прямая, наклонная к плоскости проекции, — точкой внутри круга проекции, наконец, прямая, лежащая в этой плоскости, изобразится парой точек наокружности проекции. Для того чтобы показать, какая именноось спроектирована, вместо точки на проекции ставят соответствующий значок (из числа тех, что приводились выше).Плоскость зеркального отражения т проектируют следующимобразом.

Каждую точку пересечения плоскости т и северной полусферы соединяют с южным полюсом (рис. 1.1.6,6), получаяна плоскости проекции точки дуги, которая принимается за изображение данной плоскости. Проекция плоскости, перпендикулярной к чертежу, представляет собой диаметр круга проекции.Плоскость, совпадающая с плоскостью чертежа, проектируется ввиде окружности проекции. При этом, как и на обычной, проекции, плоскость m изображают двойной (или жирной) линией.В качестве примера стереографической проекции элементовсимметрии приведем рис.

1.4.4, в, где показаны элементы симметрии куба: вертикальная и две горизонтальные оси 4, четыре наклонные оси 3, две горизонтальные и четыре наклонные оси 2,одна горизонтальная, четыре вертикальные и четыре наклонныеплоскости симметрии.Недостаток стереографической проекции заключается в том,что на ней нельзя показать отдельные точки (например, атомыв молекулах). В таких случаях прибегают к обычной проекции,вводя при необходимости специальные обозначения для наклонных элементов симметрии.