М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 21

Такие направленияобладают двумя важными свойствами:1) вдоль особого направления всегда проходит узловой ряд,2) перпендикулярно особому направлению всегда располагается узловая сетка.Действительно, выберем на поворотной оси п начало координат (узел Ai)и рассмотрим произвольную трансляцию AiA2 (рис. 3.3.1). Размножив эту трансляцию действием оси, получим трансляции А\.А^ А^А^ ..., AiAn+i. Очевидно, чтосумма этих равных по длине и равнонаклонных по отношению к оси п векторовесть трансляция, направленная вдоль оси и порождающая узловой ряд. Поскольку инверсионные оси 3, 4 и б содержат в себе поворотные оси 3, 2 и 3 соответственно, остается рассмотреть случай 2, т. е.

установить, что в решетке всегда найдется узловой ряд, перпендикулярный плоскости т. Но всякая пара узлов, связанных отражением в плоскости, дает трансляцию, которая перпендикулярна к этой плоскости, а следовательно, и искомый узловой ряд. Итак, первоесвойство особых направлений доказано.106Существование узловой сетки, перпендикулярной оси п с /О=3, вытекает издоказательства теоремы 3 предыдущего раздела. Для анализа случая п = 2 обратимся к рис.

3.3.2, а. Пусть ось 2 и произвольно выбранный узел Ai лежат вплоскости чертежа, а Аз — какой-либо из узлов, не лежащих в плоскости чертежа. Действие оси 2 порождает узлы А2 и Л 4 и соответственно трансляции А\А2 и Л3Л4, перпендикулярные этой оси; отложив их от общего начала координат, можно построить искомую узловую сетку.Как и при доказательстве первого свойства, из инверсионных осей подлежит рассмотрению толькоось 2, т. е. требуется доказать, что параллельноплоскости т проходит некоторая узловая сетка.

Выберем начало координат (узел AI) на плоскости т(рис. 3.3.2,6). Рассмотрим две любые не лежащие вплоскости m трансляции А\А2 и A\AZ. После отражения в плоскости вектор А\А2 перейдет в A\A^t aвектор А\А$ — в А\А$. Суммы связанных зеркальным отражением векторов — это две трансляции, лежащие в плоскости т; они позволяют построитьнужную узловую сетку.Рис. 3.3.1. К доказательству существования узловогоряда, проходящего вдоль особого направленияРис 3.3.2. К доказательству существования узловой сетки, перпендикулярной особому направлению:^а — случай оси 2? б — случай оси 2Теперь обратимся непосредственно к кристаллографическимсистемам координат. Их выбирают в соответствии с правилами,которые приведены ниже. Базис такой системы составляет тройканекомпланарных векторов а, Ь, с, представляющих собой кратчайшие трансляции по соответствующим осям.

Совокупность векторова, Ь, с и противоположных им векторов —а, —Ь, —с образует107координатный крест *, который характеризуется шестью параметрами; это отрезки а, Ь, с и три угла а = Ь, с, р = а, с, Y = a > Ь. Параллелепипед повторяемости, построенный на кратчайших трансляциях по кристаллографическим осям координат, т. е. на координатных векторах а, Ь, с, называется элементарной ячейкой. Параметры координатного креста в то же время являются параметрами ячейки.Существенное обстоятельство заключается в том, что координатные векторы а, Ь, с часто не являются базисными векторамирешетки; тогда элементарная ячейка оказывается непримитивнымпараллелепипедом повторяемости и содержит узлы решетки нетолько в своих вершинах.Кристаллографические оси координат выбирают в соответствиисо следующими правилами.1.

Координатный крест должен быть инвариантен относительно группы /С, т. е. всеми операциями этой группы должен преобразовываться сам в себя. Это главное и обязательное условие, обеспечивающее основные преимущества кристаллографических координатных систем.2. Если первое правило не приводит к однозначному выборукоординатной системы, предпочтительным следует считать тот вариант, при котором оси координат проходят по особым направлениям (при наличии таковых).3. Если же и второе правило не приводит к однозначномурешению, оси координат выбирают так, чтобы элементарная ячейка имела минимальный объем (разумеется, при одновременномсоблюдении предыдущих правил).Опираясь на сформулированные положения, рассмотрим видкоординатного креста и соответственно элементарной ячейки длякаждого из семи случаев симметрии решетки.^В решетке, имеющей симметрию Г, особых направлений нет, илюбой узловой ряд может стать кристаллографической координатной осью.

Любые три некомпланарные трансляции дают инвариантный крест. Единственное ограничение — минимальный объем элементарной ячейки, которая, следовательно, должна бытьпримитивной (рис. 3.3.3). Такая координатная система называетсятриклинной. Название связано с тем, что углы а, (3, v в этом случае, вообще говоря, непрямые. Соответственно, решетка с симметрией 1 и ячейка, обычно представляющая собой косоугольныйпараллелепипед, тоже называются триклинными.Если решетка имеет симметрию 2/т, координатный крест будет инвариантен в том и только том случае, когда одна из кристаллографических осей совмещена с единственным особым направлением, т.

е. с осью 2, а две другие расположены в перпендикулярной узловой сетке. Обычно с осью 2 совмещают координатную1Несколько иначе выглядит координатный крест для голоэдрических группЗт-и 6/ттга. Подробней об этом сказано ниже.108ось Z (или ось У). Тогда на параметры координатного креста(рис.

3.3.4) накладывается условие а = (3 = 90° (или а = у = 90°).Требование минимума объема ячейки приводит к тому, что параллелограмм, построенный на векторах а и b (или а и с), долженбыть примитивным, но ячейка в целом, как будет показано в следующем разделе, может оказаться неиримитивной. Посколькуодин из углов между осями, вообще говоря, непрямой, эта координатная система (а также соответствующая ячейка и решеткас симметрией 2/m) называется моноклинной 1.(лоскость тРис 333 Триклинная система координат и триклинная ячейкаРис.

3.3.4. Моноклинная система координат и моноклинная ячейкаВ решетке симметрии ттт присутствуют три особых направления — взаимно перпендикулярные оси 2. По ним и направляюткристаллографические оси, что дает инвариантный координатныйкрест с а = р = ? = 90° (рис.

3.3.5). Такая система координат называется ортогональной12.Решетка симметрии 4/ramm содержит пять особых направлений- ось 4 и четыре попарно эквивалентные оси 2 в перпендикулярной к ней плоскости (рис. 1.3.3). Вдоль оси 4 направляют координатную ось Z. В качестве осей А' и У нужно выбрать ту паруэквивалентных осей 2, которая обеспечивает примитивность парайлелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 3.3.6). Поскольку эти оси 2 связаны осью 4, параметры а и b равны, чтов сочетании с условием a ^ p ^ v ^ 9 0 0 определяет форму элементарной ячейки.

Координатная система называется тетрагональной.Особая ситуация возникает в решетке с симметрией Зт. Здесьесть четыре особых направления: ось 3 и три перпендикулярныек ней эквивалентные оси 2 (рис. 1.3.7,6). Инвариантный координатный крест можно получить лишь при видоизменении его стандартной формы, причем в координатную систему войдут четыре* Заметим, что и в последующих случаях название координатной системыпереноситсяна соответствующие ей решетку и ячейку.2Эту координатную систему без достаточных оснований часто называют«ромбической».оси (рис.

3.3.7, а): X, У, (/, Z, из которых три первые направленывдоль осей 2, а последняя — вдоль оси 3. Однако для описанияположения точки в пространстве достаточно трех осей; поэтомуось U практически не используют, а элементарную ячейку строят,как обычно, на координатных осях X, У, Z. Параметры ячейкиРис.

3.3 5. Ортогональная (ромбическая) система координат и ортогональная ячейкааРис. 3.3.6. Тетрагональная системакоординат и тетрагональная ячей-Рис. 3.37. Гексагональная система координат и гексагоняльпня ячейка— координатный крест, б — расположение ячеек в решетке (проекция ндольоси Z)подчиняются условиям: а = р = 90°, у-120°, а = Ь. Эта координатная система называется гексагональной. Название обусловленотем, что в узловой сетке, параллельной плоскости XY, можно выделить систему правильныхшестиугольников(гексагонов)(рис. 3.3.7,6).

Модели кристаллических структур с такой координатной системой удобно представлять в форме гексагональныхпризм (примеры см в разделе 3.5).110Точно такая же система координат соответствует решеткес симметрией б/mmm, в которой присутствует семь особых направлений: ось 6 и шесть перпендикулярных к ней осей 2, составляющих две тройки эквивалентных осей.

Вдоль оси 6 направляют координатную ось Z; в качестве осей X, У, U выбирают одну изтроек осей второго порядка. Элементарная ячейка имеет ту жеформу, что и для решетки симметрии Зт.Наконец, в решетке с симметрией m3m инвариантный координатный крест получается в том и только том случае, когда кристаллографические оси совмещены с тремя взаимно перпендикулярными осями четвертого порядка (рис.