А.С. Холево - Введение в квантовую теорию информации, страница 3

Естественно ожидать, что смешивание ансамблейприводит кPтакому жеPсмешиванию распределений, т.е. если S =pj Sj , то µSM (x) =pj µMSj (x).jjДругими словами, вероятности исходов измерения должны быть аффинными функциями состояния. Этого на первый взгляд слабого ограниченияоказывается достаточно для вывода обобщенной статистической формулыБорна.1 Физическими реализациями q-бита являются спин электрона, поляризация фотона,атом с двумя активными уровнями.16Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАТ е о р е м а 4[9]. Пусть S → µS отображение множества квантовыхсостояний S(H) в вероятностные распределения на некотором конечноммножестве исходов X . Если отображение аффинно, то существует семейство эрмитовых операторов {Mx } в H такое, чтоXMx = I(1.13)Mx ≥ 0,x∈XиµS (x) = Tr SMx .(1.14)Семейство, обладающее свойствами (1.13), называется разложением единицы2 в H.Набросок доказательства.

Эрмитов оператор A = A∗ в H имеет (неединственное) представление A=t1 S1 − t2 S2 , где ti≥0, аSi ∈ S(H). В самом деле, существование представления A = A+ − A−(A± ≥ 0) вытекает из спектрального разложения оператора A, а далееA = Tr A1A1A2− Tr A2,Tr A1Tr A2т.е. линейная оболочка Lin S(H) совпадает с вещественным линейным пространством B(H)h всех эрмитовых операторов в H. Пусть f (S) — аффинная функция на S(H), продолжим ее на эрмитовы операторы A, полагаяf (A) = t1 f (S1 )−t2 f (S2 ).

Надо проверить, что благодаря аффинности, такоепродолжение однозначно и вещественно линейно (задача 4 ). Далее, f однозначно и комплексно линейно продолжается на алгебру всех операторовB(H).P Следовательно, если A = [aij ] в некотором базисе, то f (A) =ij mij aij = Tr AM , где M — некоторый оператор. Применяя это к функциям µS (x), получаем µS (x) = Tr SMx . Поскольку Tr SMx — распределениевероятностей для всех S, то отсюда следуют соотношения (1.13). ¤Основываясь на этом результате, в дальнейшем примем следующееО п р е д е л е н и е . Квантовой наблюдаемой со значениями в X называется разложение единицы M = {Mx }x∈X в гильбертовом пространстве системы H.В стандартных текстах по квантовой механике под наблюдаемой понимают ортогональное разложение единицы, т. е. такое чтоMx2 = Mx ,Mx My = 0,x 6= y.З а д а ч а 5. Ортогональное разложение единицы характеризуется свойством: все Mx — проекторы: Mx = Mx2 .2 Другое(POVM).название:вероятностная(положительная)операторно-значнаямера1.6.

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ НАБЛЮДАЕМЫЕ17Ортогональное разложение единицы в H мы будем называть четкойнаблюдаемой .Пусть x ∈ X ⊂ R вещественные числа. Тогда четкой наблюдаемой однозначно сопоставляется эрмитов операторXxEx = X.x∈XВ силу взаимной однозначности соответствия, его также будем называтьвещественной четкой наблюдаемой. Математическое ожидание такой наблюдаемой дается обычной формулой Борна (1.1), тогда как распределениевероятностей – формулойµS (x) = Tr SEx .Чтобы пояснить используемую терминологию, а также статистическийсмысл неортогональных разложений единицы, рассмотрим о.н.б.

{|ωi} в Hи операторы, диагональные в этом базисе. Оператор плотностиXXS=sω |ωihω|, sω ≥ 0,sω = 1ωзадает классическое состояние — распределение вероятностейна “фазовомPxω |ωihω| может бытьпространстве” Ω = {ω}. Эрмитов оператор X =ωзаписан в видеXXX=xEx , Ex =|ωihω|.xω:xω =xКлассическим наблюдаемым X соответствуют случайные величины xω на Ω.Проекторам Ex отвечают индикаторы подмножеств Ω, на которых xω = x,a ортогональному разложению единицы — разбиение пространства Ω.P Рассмотрим неортогональное разложение единицы с элементами Mx =M (x|ω)|ωihω|. Тогда собственные числа удовлетворяют условиям 0 ≤ωM (x|ω) ≤ 1 иXM (x|ω) = 1,ω ∈ Ω,(1.15)xт.е. определяют переходные вероятности из Ω в X . Таким образом, в классическом случае разложения единицы описывают рандомизованные (“нечеткие”) наблюдаемые, задающие распределение вероятностей исходов x в каждой точке ω фазового пространства.

Для четких наблюдаемых, удовлетворяющих условию Mx2 = Mx , эти вероятности принимают значения 0 или1.1.6Смеси наблюдаемых. Экстремальные наблюдаемыеПусть {M j } – семейство наблюдаемых с одним и тем же множеством исходов X . Для данного распределения вероятностей {pj } можно естественным18Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАобразом определить смесь M = {Mx ; x ∈ X } этих наблюдаемых по формулеMx =Xpj Mxj ;x ∈ X.jТаким образом, множество MX всех наблюдаемых с заданным пространством исходов X становится выпуклым множеством.

Аналогично смесямсостояний, смеси наблюдаемых описывают измерения с флуктуирующимиклассическими параметрами. Крайние точки выпуклого множества наблюдаемых MX будем называть экстремальными наблюдаемыми. Подобно чистым состояниям, они описывают статистику “чистых” измерений, свободную от классической случайности.Следующий результат описывает нетривиальное соотношение между такими наблюдаемыми без классической случайности и четкими наблюдаемыми.Т е о р е м а 5.Всякая четкая наблюдаемая M ∈ MX экстремальна. Обратно, всякая экстремальная наблюдаемая M ∈ MX с коммутирующимикомпонентами, [Mx , Mx0 ] ≡ 0, является четкой наблюдаемой.Доказательство.

Пусть M – четкая наблюдаемая. Предположим, чтоM = pM 1 + (1 − p)M 2 , 0 < p < 1. Тогда, аналогично (1.6)pMx1 (I − Mx1 ) + (1 − p)Mx2 (I − Mx2 ) + p(1 − p)(Mx1 − Mx2 )2 = 0.(1.16)откуда Mx1 ≡ Mx2 ≡ Mx , и M – крайняя точка.Пусть теперь [Mx , Mx0 ] ≡ 0, тогда по теореме 1 Mx одновременно диагонализуемы, и можно считать, что Mx = diag[M (x|ω)]. Покажем, что еслиM экстремальная наблюдаемая, то M (x|ω) = 0 или 1 для всех x, ω, т.е. M –четкая наблюдаемая.

Пусть 0 < M (x0 |ω0 ) < 1, тогда в силу условия (1.15)найдется x1 6= x0 , такой что 0 < M (x1 |ω0 ) < 1. Определим две новые наблюдаемые M ± , полагая M ± (x0 |ω0 ) = M (x0 |ω0 ) ± ², M ± (x1 |ω0 ) = M (x1 |ω0 ) ∓ ²и оставляя прочие M (x|ω) без изменения.

Тогда M = 1/2M + + 1/2M − , т.е.M не экстремальна. ¤Из доказанной теоремы следует, что в классическом случае экстремальные наблюдаемые совпадают с четкими, что дает им понятную характеризацию как наблюдаемых без случайности в процедуре измерения. В квантовойстатистической модели все не так просто. Множество крайних точек квантовых наблюдаемых исчерпывается четкими наблюдаемыми только в случаедвух исходов измерения (они играют особую роль в различных аксиоматических подходах; мы будем называть их тестами). Это следует из теоремы,так как любой тест имеет коммутирующие компоненты {M0 , M1 = I − M0 }.Таким образом, любой экстремальный тест вполне определяется проектором P = M0 .Однако в случае более чем двух исходов, |X | > 2, всегда существуют нечеткие экстремальные квантовые наблюдаемые! Наиболее интересныйкласс будет рассмотрен в следующем разделе.1.7.

ПЕРЕПОЛНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ1.719Переполненные системы векторовСистема векторов {|ψi i} ⊂ H называется переполненной, еслиX|ψi ihψj | = I.jОчевидным примером является всякий ортонормированный базис. В общем случае векторы могут быть ненормированными и линейно зависимыми.Тем не менее имеет место представление (вообще говоря, неоднозначное)векторов и операторов через переполненную систему, именноX|ψi =|ψj ihψj |ψi,jA=Xj|ψj ihψj |AX|ψk ihψk | =kX|ψj ihψk |hψj |A|ψk i.j,kЗ а д а ч а 6.

Система {|ψj i} является переполненной тогда и только тогда,когда1) система полна, т.е. {|ψj i}⊥ = {0};2) матрица P = [hψj |ψk i] идемпотентна, т.е. P = P 2 .Пусть {|φj i} — произвольная полная (не обязательно ортонормированная) система векторов. Тогда оператор ГрамаXG=|φj ihφj |jневырожден. Система векторов |ψj i = G−1/2 |φj i является переполненной.Переполненная система в подпространстве гильбертова пространствавозникает при проецировании ортонормированного базиса пространства наподпространство.

Более того, далее будет доказана теорема, принадлежащая М.А. Наймарку, из которой следует, что всякая переполненная системаполучается таким образом.С каждой переполненной системой связано разложение единицы, т.е.наблюдаемаяMj = |ψj ihψj |.(1.17)В частности, для любой полной системы {|φj i} набор операторовMj = G−1/2 |φj ihφj |G−1/2(1.18)задает наблюдаемую, в определенном смысле “измеряющую” состояния |φj ihφj |3 .Т е о р е м а 6.Наблюдаемая (1.17) является экстремальной тогда и только тогда, когда операторы Mx линейно независимы.3 А. С. Холево, Об асимптотически оптимальном различении гипотез в квантовой статистике. ТВП, 1978, т.23, N2, 429-432.

В англоязычной литературе это называется squareroot measurement.20Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРАДоказательство. Пусть M – крайняя точка и предположим, чтоXcx |ψx ihψx | = 0.(1.19)xВзяв достаточно малое ² > 0, определимMx± =(1 ± ²cx )Mx ≥ 0,x ∈ X.Тогда M ± являются наблюдаемыми и, по построению, M = 12 M + + 12 M − .Но M – крайняя точка, значит, Mx+ = Mx− = Mx . Итак, из (1.19) следуетcx = 0, т. е. компоненты M линейно независимы.Обратно, пусть|ψx ihψx | = pMx1 + (1 − p)Mx2 ,0 < p < 1,– разложение M в смесь, тогда0 ≤ pMx1 ≤ |ψx ihψx |.Умножая справа и слева на эрмитов оператор I −(I −откуда|ψx ihψx |hψx |ψx i ,получаем|ψx ihψx ||ψx ihψx |)Mx1 (I −) = 0,hψx |ψx ihψx |ψx ipMx1 (I −и поэтомуMx1 (I −|ψx ihψx |) = 0,hψx |ψx i|ψx ihψx |) = 0.hψx |ψx i2Отсюда получаем Mx1 = λx |ψx ihψx | с λx = hψx |Mx1 |ψx i/hψx |ψx i .

ТогдаPx λx |ψx ihψx | = I, т. е.X(λx − 1)|ψx ihψx | = 0.xВ силу линейной независимости, λx = 1, и Mx1 = Mx для всех x, следовательно, M – крайняя точка. ¤1.8Переполненные системы для q-битаТ е о р е м а 7. Пусть ~aj ; j = 1, . . .

, m системаединичных векторов в R3 ,pPmтакая что j=1 ~aj = 0. Тогда векторы 2/m|~aj i; j = 1, . . . , m образуютпереполненную систему в пространстве q-бита H, так чтоm2 X|~aj ih~aj | = I.m j=1(1.20)1.8. ПЕРЕПОЛНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ Q-БИТА21Соответствующая наблюдаемая экстремальна тогда и только тогда, когда векторы ~aj − ~a1 ; j = 2, . .

. , m линейно независимы.Доказательство. Первое утверждение, т.е. соотношение (1.20), непосредственно следует из (1.9). Также используя это соотношение получаем,что линейная зависимость операторов |~aj ih~aj |, равносильная, в силу теоремы 6, неэкстремальности наблюдаемой, означает, чтоmmmXXX10=cj I + σ(cj |~aj ih~aj | = cj~aj ) .2 j=1j=1j=1ОтсюдаmXcj = 0,j=1илиmXmXcj~aj = 0j=1cj (~aj − ~a1 ) = 0.j=2¤Примеры симметричных систем единичных векторов в R3 , удовлетворяющих условиям теоремы, а также соответствующие им переполненныесистемы и наблюдаемые приведены ниже.m = 2 : ~a1,2 = (0, 0, ±1). В этом случае имеем о.н.б. |~a1 i = | ↑i, |~a2 i = | ↓iи ортогональное разложение единицы·¸·¸1 00 0M1 =, M2 =.0 00 1m = 3 : равноугольная конфигурациятрех векторов в вещественной√плоскости ~a1 = (0, 0, 1), ~a2,3 = (± 3/2, 0, −1/2) (“Мерседес-Бенц”).