М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 77

Поэтому возьмём от получившегося выражения вещественную часть. Новая гипотеза такова:11Re ψ ∗ (Q)p̂ψ(Q) =(ψ ∗ (Q) p̂ψ(Q) + ψ(Q)(p̂ψ(Q))∗ ).j(Q) =m2mКак мы убедимся далее, это и есть искомая формула для гамильтониp̂2ана вида Ĥ = 2m+ U (Q). В учебниках по квантовой механике, с учётомp̂ = −ih̄∇, её обычно записывают в следующем виде:j=ih̄(−ψ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ ∗ ).2m(13.42)13.6. С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ417Если параметризовать волновую функцию через плотность вероятности (x) = |ψ(x)2 | и фазу ϕ(x) = arg ψ(x), тоh̄∇ϕ(x),(13.43)ψ(x) = (x) eiϕ(x) ⇒ j = (x) m скоростьэто соответствует тому, что плотность потока вероятности оказывается равh̄на плотности вероятности (x), умноженной на скорость m∇ϕ(x), котораявыражается через градиент фазы ∇ϕ(x).

Это позволяет придать физический смысл фазе волновой функции, записанной в координатном представлении.13.6.2. Многочастичный случайРассмотрим гамильтониан следующего вида:1h̄2(M −1 )nk p̂n p̂k + U (Q) = − (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q). (13.44)22Здесь мы ввели симметричную матрицу обратной массы (M −1 )nk . По повторяющимся индексам n и k подразумевается суммирование4∗∂∂(ψ ∗ ψ)∂ψ ∗ĤψĤψ∗ ∂ψ∗==ψ+ψ=ψ=+ψ∂t∂t∂t∂tih̄ih̄1h̄2−1 nk=ψ− (M ) ∇n ∇k + U (Q) ψ ∗ +−ih̄2 21h̄− (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q) ψ =+ ψ∗ih̄2 2 21h̄h̄1− (M −1 )nk ∇n ∇k ψ ∗ + ψ ∗− (M −1 )nk ∇n ∇k ψ ==ψ−ih̄2ih̄2ih̄= − (M −1 )nk (ψ∇n ∇k ψ ∗ − ψ ∗ ∇n ∇k ψ) =2!ih̄−1 nk∗∗(M ) (ψ∇k ψ − ψ ∇k ψ) = −∇n j n .= −∇n2Ĥ =4 Сделаем специальное замечание для тех, кто хорошо знаком с тензорами.

Матрица(M −1 )nk и обратная к ней матрица Mnk выступают в роли обратной и прямой метрики. Компоненты импульса p̂n — компоненты ковектора, компоненты скорости v̂ k = p̂n (M −1 )nk —компоненты вектора, получающегося из импульса подниманием индекса с помощью обратнойметрики (M −1 )nk . Кинетическая энергия T̂ = 12 (M −1 )nk p̂n p̂k = 12 Mnk v̂ n v̂ k — половинаскалярного квадрата от вектора v̂, или ковектора p̂.418ГЛАВА 13Таким образом, (13.41) выполняется для плотности потока вероятности, компоненты которой задаются так:ih̄1(M −1 )nk (ψ∇k ψ ∗ − ψ ∗ ∇k ψ) = (M −1 )nk (ψ (p̂k ψ)∗ + ψ ∗ p̂k ψ).22(13.45)Q̂nЕсли ввести оператор скорости как v̂ n = ddt= (M −1 )nk p̂k , то выражение упрощается, причём, как и раньше, оно может быть записано черезплотность вероятности = |ψ|2 и фазу ϕ = arg ψ:jn =jn =1(ψ (v̂ n ψ)∗ + ψ ∗ v̂ n ψ) = Re(ψ ∗ v̂ n ψ) = (iv̂ n ϕ) .

2(13.46)скорость13.6.3. Поток вероятности в присутствии электромагнитного поля*В присутствии электромагнитного поля в гамильтониане появляютсяскалярные и векторные потенциалы, относящиеся к тем точкам, в которыхнаходятся заряженные частицы. Эти потенциалы выступают как фиксированные функции, если мы рассматриваем внешние поля, либо как операторы, если мы рассматриваем квантованные поля.Скалярный потенциал к потенциальной энергии частицы с номером aдаёт добавку ea ϕ(ra ). Векторный потенциал изменяет выражение для кинетической энергии, заменяя импульс на более сложное выражение p̂a →→ p̂a − eca A(ra ):2 1 eap̂a − A(ra ) + U (Q) +ea ϕ(ra ).(13.47)Ĥ =2macaaТем не менее, мы можем использовать для плотности потока вероятностипрежнее выражение (13.46), если переопределим оператор скоростиdr̂aea1ea1 p̂a − A(ra ) ,ja = (h̄∇a ϕ − A(ra )).v̂a ==dtmacmacТакое переопределение соответствует связи между импульсом и скоростьюв классическом случае.Мы можем рассматривать модификацию гамильтониана в присутствиивекторного потенциала как удлинение производной:p̂a → p̂a −eaA(ra ),c∇a → ∇Aa = ∇a −ieaA(ra ),ch̄(13.48)13.6.

С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ419удлинённая производная называется также ковариантной производной. Аналогичная модификация производной применяется в теориях калибровочныхполей.13.6.4. Почему координатное представление?**Почему при выводе уравнения непрерывности для вероятности мыограничились координатным представлением?Во-первых, для того, чтобы писать уравнение непрерывности, надо,чтобы спектр наблюдаемых, которые выбраны как аргументы волновойфункции, был непрерывным.Во-вторых, необходимо, чтобы под действием гамильтониана выбранные переменные менялись непрерывно со временем.

Для рассмотренныхвыше гамильтонианов это обеспечивается диагональностью потенциальнойэнергии, которая уходит из уравнения непрерывности вне зависимости отсвоего конкретного вида, и конкретным (локальным в смысле раздела 4.7.3)видом кинетической энергии.Если, например, рассматривать импульсное представление, то при выводе кинетическая энергия сократится, но станет существенной конкретнаяформа потенциала U (Q̂).

В случае общего положения потенциал в импульсном представлении действует на волновую функцию свёрткойU (Q̂)ψ(p) = Ũ (p − p ) ψ(p ) dp .В общем случае эта операция нелокальна, и мы вообще не можем записатьстандартное (с локальной плотностью потока) уравнение непрерывностив импульсном пространстве.Тем не менее, если потенциал хорошо разлагается в ряд Тейлора (радиус сходимости покрывает область допустимых импульсов), то он оказывается дифференциальным операторомUih̄∂∂p=nN∂ n U ∂ih̄.∂Qn Q=0∂pn=0В этом случае мы можем записать уравнение непрерывности в импульсномпространстве, но плотность потока вероятности зависит от вида потенциалаи содержит производные от волновой функции вплоть до порядка N − 1.При N = ∞ выражение для плотности потока вероятности может оказаться420ГЛАВА 13нелокальным (невыразимым через переменные в данной точке импульсногопространства).13.6.5.

Гидродинамическая аналогия**Получив для плотности потока вероятности уравнение непрерывности,аналогичное уравнению непрерывности для гидродинамики жидкости, текущей в конфигурационном пространстве, естественно попытаться развитьаналогию, и записать для такой жидкости уравнения движения, соответствующие квантовой динамике. В принципе у нас уже есть уравнение динамики — это уравнение Шрёдингера, но для развития аналогии его надопереписать через плотность и скорость v = j .Как мы убедились выше, плотность вероятности и скорость потокавероятности связаны с абсолютной величиной и фазой волновой функции.1iψ(Q) = (Q) expS(Q) ,v(Q) = ∇S(Q).h̄mЗдесь мы считаем, что все векторы имеют размерность конфигурационно1го пространства, m— матрица обратной массы (в смысле раздела 13.6.2).Тогда уравнение Шрёдингера (мы ограничимся случаем без векторного потенциала) имеет следующий вид−h̄2 1∂ψ∇ ∇ψ + U (Q)ψ = ih̄.2 m∂t(13.49)iПодставим в него волновую функцию в форме ψ(Q) = (Q) e h̄ S(Q) , поiсле чего умножив уравнение на e− h̄ S(Q) из мнимой части получаем уравнение√∂ √1√11+ (∇ )( ∇S) +(∇ ∇S) = 0,∂tm2m√которое после умножения на 2 совпадает с уравнением непрерывности∂1+ ∇( ∇S) = 0,∂tmиз вещественной части получаем уравнение−√h̄2 1 √1√1√ ∂S∇ ∇ +,(∇S)( ∇S) + U = − 2 m2m∂t(13.50)13.6.

С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИкоторое после деления надля действия S421√ совпадает с уравнением Гамильтона – Якоби√1∇ ∂S11h̄2 ∇ m+ (∇S)( ∇S) + U −= 0.√∂t2m2(13.51)Мы видим, что потенциал в данном уравнении помимо классического членаU (Q) содержит квантовую добавку, которая исчезает в пределе h̄ → 0Uкв (Q) = −√1∇ h̄2 ∇ m.√2(13.52)Мы можем получить из уравнения Гамильтона – Якоби (13.51) уравнения движения в более привычном виде взяв градиент и приравняв p = ∇S,1 5v= mp√ 1∇ 1 1h̄2 ∇ m∂S+ p p+U −= 0,∇√∂t2 m2√ 1∇ ∂p1 1h̄2 ∇ m+∇p p +∇ U −= 0.√∂t2 m2Частную производную по времени (связанную с фиксированной точкойконфигурационного пространства с координатами Q) перепишем через полную производную по времени (связанную с «частицей жидкости»), которуюраспишем покомпонентно (по повторяющемся индексам подразумеваетсясуммирование)∂pdp=− (v, ∇)p∂tdt⇔∂pαdpα=− v β ∇β pα .∂tdtТакже распишем покомпонентно градиент от потенциальной энергии1 1p p = v β ∇α pβ∇α2 mКомбинируя члены с вида v∇p получаемv β ∇α pβ − v β ∇β pα = v β (∇α pβ − ∇β pα ) = v β (∇α ∇β − ∇β ∇α )S = 0.5 Определяемые так импульс и скорость не совпадают с общепринятыми в квантовой механики и должны (с точки зрения стандартной квантовой механики) рассматриваться как неизмеримые и нефизические.422ГЛАВА 13Таким образом, уравнение движения имеет вид√ 1∇ h̄2 ∇ mdp+∇ U −= 0.√dt213.6.6.

Откуда берётся «квантовый потенциал» (ф*)Если проследить ход выкладок, приводящих от уравнения Шрёдингера (13.49) к уравнению Гамильтона – Якоби (13.51), то окажется, что21член связанный с кинетической энергией − h̄2 ∇ m∇ψ даёт в результате два1члена: кинетическую энергию для «скорости жидкости» 12 p mp и «квантовый потенциал» (13.52).

В гидродинамике это означало бы, что кинетическая энергия атомов жидкости даёт вклад не только в кинетическуюэнергию макрочастицы жидкости как целого, но и во внутреннюю энергию макрочастицы, за счёт того, что атомы движутся с разными скоростями. Мы можем переходом в движущующся систему отсчёта (сдвигом поимпульсу exp( h̄i bx̂)) обнулить импульс p в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени, это обнулит кинетическуюэнергию макрочастицы как целого, но квантовый потенциал (аналог кинетической энергии движения атомов относительно макрочастицы) останетсянеизменным.13.7.

Интерпретации квантовой механики, основанныена гидродинамической аналогии (фф*)Гидродинамическая аналогия предлагает альтернативную форму записи уравнения Шрёдингера, похожую на уравнения классической механики.Естественно, что на этом основании возникли альтернативные интерпретации квантовой механики, сближающие её с классической механикой. Этиинтерпретации вполне последовательны и дают предсказания, согласующиеся со стандартной квантовой теорией, однако предлагают альтернативныйвзгляд и допускают такие обобщения, которые не допускает стандартнаятеория.Эти интерпретации предполагают, что определяемые в гидродинами1ческой аналогии импульс p = ∇S и скорость v = m∇S — это и есть «настоящие» («истинные») импульс и скорость.

Так позволяет думать уравнение непрерывности, в котором можно рассматривать как плотность числанекоторых сохраняющихся частиц (каждая из которых имеет вполне определённую траекторию!), а j — как плотность их потока.13.7. И НТЕРПРЕТАЦИИКВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ423Гидродинамическая аналогия по-разному описывает координаты и импульсы, она правильно воспроизводит вероятности только при измерениивеличин, выражающихся через координаты системы, поэтому в таких интерпретациях теория измерений предполагает включение в систему измерительного прибора и сведения измерения для наблюдаемых некоммутирующих с координатами к измерению координат соответствующих стрелок(см.