М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 75

Мы можем определить область применимости полученного приближения, оценив следующий член разложения, и ужеболее обоснованно получить ранее угаданную нами оценку (13.20) ∂λ 1. ∂x Причём, если ранее полученные волновые функции и оценки ихприменимости были обоснованы для классически разрешённой областиE > U (x), p(x) ∈ R, а применимость тех же формул для классически запрещённой области E < U (x) мы могли обосновывать, только ссылаясьна аналогию и аналитическое продолжение, то теперь квазиклассическоеприближение и критерий его применимости равно обоснованы в глубинеклассически запрещённых и разрешённых областей.У границы классически разрешённой и запрещённой областей, когдаp(x) → 0 длина волны де Бройля неограниченно возрастает и условие|λ (x)| 1 перестаёт выполняться.

Области E ∼ U (x) (p(x) ∼ 0) надоисследовать другими способами.13.5.3. Квазиклассическая волновая функция у точки поворотаВ классически разрешённой области квазиклассическая волновая функция представляется суперпозицией двух волн, бегущих слева направои справа налево (13.24). Если данная энергия относится к невырожденномуспектру (непрерывному или дискретному), т.

е. если частица не может уйти по координате на одну из бесконечностей, то поток вероятности долженравняться нулю, а амплитуда обеих волн должна совпадать. В этом случае (даже вне зависимости от квазиклассического приближения) волноваяфункция может быть выбрана вещественной, т. е.⎛⎞xC1ψ(x) = p(X)dX + ϕ0 ⎠.sin ⎝(13.29)h̄p(x)x0404ГЛАВА 1321–200248–1–2Рис. 13.3. Волновая функция у бесконечновысокой стенки.В случае, если классически разрешённая область ограничена бесконечновысокой стенкой, в точке a мы имеем ψ(a) = 0 и можем записать⎞⎛x1Cψ(x) = p(X)dX ⎠.(13.30)sin ⎝h̄p(x)a21–200248–1–2Рис.

13.4. Волновая функция у ступеньки.Если точка a является точкой поворота (для определённости — левойточкой поворота), где U (a) = E (или U (a − 0) > E > U (a + 0)), то и в этомслучае удобно выбрать a в качестве предела интегрирования и записать⎛⎞xC1ψ(x) = p(X)dX + ϕ0 ⎠.sin ⎝(13.31)h̄p(x)a13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ405Задача состоит в том, чтобы подобрать фазу ϕ0 так, чтобы формула (13.31) правильно описывала квазиклассическую волновую функциюв глубине классически разрешённой области (вдали от точки поворота a).Даже если в окрестности точки поворота квазиклассическое приближение не выполняется (например, p(a) = 0), нас, как правило, интересуютне детали поведения волновой функции в малой окрестности точки a, а еёповедение на больших интервалах вдали от этой точки.

Для этого достаточно знать фазу ϕ0 .Сравнивая волновые функции в ямах с бесконечновысокими стенкамии со стенками конечной высоты, мы можем заключить, что для левой точки поворота ϕ0 > 0 (по крайней мере, для этого случая). То есть если мыхотим заменить стенку конечной высоты, стоящую в точке a, бесконечновысокой стенкой, то стенку придётся отодвинуть, чтобы к точке a волноваяфункция успела набрать фазу ϕ0 , т. е.

по сравнению с ямой с бесконечновысокой стенкой яма с конечной стенкой «выглядит шире».В случае, если в окрестности точки поворота (там, где не работает квазиклассика) потенциал можно приблизить линейной функцией, фаза можетбыть вычислена (см. следующий раздел)ϕ0 =π,4т. е. яма оказывается эффективно шире на 14 полуволны с одной стороны.Если яма с обоих сторон ограничена такими точками поворота, то в общейсложности яма оказывается эффективно шире на 12 полуволны.Фаза волновой функции у точки поворота*Введённая выше (13.31) фаза ϕ0 зависит не только от того, как потенциал ведёт себя в окрестности точки поворота a, но и от того, как потенциалсебя ведёт левее: стоит ли где-то при конечном x < a бесконечновысокаястенка, или где-то при x < a есть другая классически разрешённая область,или классически запрещённая область тянется до −∞.Мы рассмотрим случай, когда вся полуось левее точки a является классически запрещённой областью, причём в окрестности точки поворота, там,где не работает квазиклассика, и немного там, где квазиклассика уже работает, потенциал меняется практически линейно.Нам надо сшить квазиклассическую волновую функцию слева от точки поворота, которая имеет вид возрастающей вещественной экспоненты406ГЛАВА 13(в классически запрещённой области величина p(x) — чисто мнимая)⎞⎛a1C−|p(X)|dX ⎠, x a,(13.32)exp ⎝−ψ(x) = h̄2 |p(x)|xс квазиклассической волновой функцией справа от точки поворота⎛⎞x1C+ψ(x) = p(X)dX + ϕ0 ⎠, x a,sin ⎝(13.33)h̄p(x)aи с точным решением уравнения Шрёдингера с линейным потенциаломв малой области вокруг точки поворота:ψ +2mF (xh̄2− a) = 0,F = −U (a),x ∼ a.(13.34)При этом нам надо установить коэффициент пропорциональностимежду C+ и C− (в силу линейности уравнения Шрёдингера они должныбыть пропорциональны друг другу), а также фазу ϕ0 .Искомый ответ:πϕ0 = ,C+ = C− .4Эта задача может быть решена различными способами:• Решение уравнения (13.34) с помощью функции Эйри и сравнениеасимптотик функции Эйри при «больших» (но всё равно в пределахлинейности потенциала) аргументах с квазиклассическими волновыми функциями (13.32) и (13.33) (метод наиболее прямой и обоснованный).• Продолжение волновой функции на комплексные значения x и получение двух комплексных экспонент (образующих sin в классически разрешённой области) при обходе точки x = a по верхней полуплоскостии по нижней полуплоскости (метод Цваана).• Вырезание проблемной области x ∼ a (замена её ступенькой, симметричной относительно точки поворота) и сшивка квазиклассическихволновых функций (13.32) и (13.33) напрямую позволяет определитьправильное значение ϕ0 , но не даёт правильного отношения амплитуд C± .Мы воспользуемся третьим методом.13.5.

К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ407|p(x)| в малой окрестности (где потенциал линеен) зависит толькоот |x − a|. При этом |p(a − δ)| = p(a + δ) = p0 h̄δ . Как раз такая ситуация изображена на рис. 13.4:C−1ψ− (x) ≈ √ exp − p0 (a − x) ,(13.35)2 p0h̄C+1ψ+ (x) ≈ √ sin(13.36)p0 (x − a) + ϕ0 .p0h̄Для определения фазы приравняем логарифмические производныефункций ψ± в точке a:p0ψ+ (a)p0ψ− (a)===tg ϕ0ψ− (a)h̄ψ+ (a)h̄⇒ϕ0 =π.413.5.4. Квазиклассическое квантованиеВ квазиклассическом приближении волновые функции выписываютсячерез функцию p(x), описывающую соответствующую классическую траекторию (а также через мнимое продолжение функции p(x) на классическизапрещённую область).

Мы знаем, как поведение потенциала на бесконечности позволяет выделить непрерывный спектр. Теперь мы хотим по классическому движению частицы определить дискретный спектр.Пусть частица движется в потенциальной яме, причём классическиразрешённая область представляет собой отрезок [a, b].Интегралb1p(X) dXh̄aдаёт приращение фазы между точками a и b. В случае бесконечновысокихстенок в точках a и b набег фазы должен быть кратен числу π (целое число полуволн). Если потенциал вблизи точек поворота близок к линейному,то, как мы определили ранее, ширина ямы с каждой стороны эффективноувеличивается на четверть полуволны и мы получаем1h̄bp(X) dX +aπ= n,2n = 1, 2, 3, .

. . .408ГЛАВА 13Повторим те же рассуждения, более аккуратно выписывая промежуточные формулы. В классически разрешённой области мы можем записатьволновую функцию двумя разными способами, которые должны быть согласованы:⎛⎞xCa1πψ(x) = p(X) dX + ⎠ =sin ⎝h̄4p(x)a⎛⎞x1πCbp(X) dX − ⎠ =sin ⎝=h̄4p(x)b⎛⎞bx11πCap(X) dX +p(X)dX + ⎠.=sin ⎝(13.37)h̄h̄4p(x)abСогласованность возможна приCa = ±Cb ,если разность аргументов синуса составляет целое число полупериодов:1h̄bp(X) dX +π= π(n + 1),2n = 0, 1, 2, . . .

.aНа фазовой плоскости (x, p) интеграл от a до b представляет собойинтеграл по полупериоду — половину площади траектории, ограниченнойкривой (x(t), p(t)). Пройдя из a в b частице, чтобы замкнуть период, надоещё вернуться обратно, при этом импульс будет принимать те же значенияс противоположным знаком −p(x). Поэтому правило квантования обычнопишут через интеграл по периоду1p(X) dX = 2πh̄(n + 12 ), n = 0, 1, 2, .

. .(13.38)Это правило называют правилом (квазиклассического) квантования Бора –Зоммерфельда. Исторически оно предшествовало созданию последовательной квантовой теории и было одним из основных положений так называемой старой квантовой механики.13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕМы можем обобщить правило Бора – Зоммерфельда, записав1p(X) dX = h̄(2πn + 2[π − ϕa − ϕb ]), n = 0, 1, 2, . .

.409(13.39)Здесь ϕa и ϕb — фазы волновой функции вблизи точек поворота (ϕ0 в уравнении (13.31)).13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектраОценим интервал между соседними уровнями энергии при условии применимости правила квазиклассического квантования Бора – Зоммерфельда.С учётом параллельности dx и p вдоль траектории запишем правилоБора – Зоммерфельда111 1J[E, x(l)] = pdx = |p|·|dx| =,2m(E − U (x)) dl = 2πh̄ n +2ΓΓdlΓ|p|здесь J[E, x(l)] — адиабатический инвариант, как функция энергии и траектории в конфигурационном пространстве.Проварьируем это равенство:1δJδJδJ[E, x(l)] =δE +δx(l) dl = 2πh̄ δn.δEδx(l)Γ=0 на классич. x(l)Вариация по траектории для решений классических уравнений движениядаёт нуль. Остаётся1∂ δJδJ[E, x(l)] =δE = δE2m(E − U (x)) dl =δE∂EΓ1mdl.= δE2m(E − U (x))Γ m1|p| = vЗдесь v =|p|m=dldt— скорость.11dldt = δE · T = 2πh̄δn,δJ[E, x(l)] = δE= δEvΓT =2πωΓ— период классического движения по траектории Γ.410ГЛАВА 13Пусть δn = 1, что соответствует изменению номера уровня на один,тогда δE — расстояние между уровнями:δE · T = δE2π= 2πh̄ω⇔δE = h̄ω.Спектральная плотность — число уровней на единичный интервалэнергии — величина, обратная к δE:ρ(E) =11=.δEh̄ωδE соответствует также энергии фотона, который должна излучитьчастица, чтобы перейти на уровень ниже, а ω — частота этого фотона, которая оказывается равна частоте обращения частицы.