М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 74

В случае общего положенияF (q̂, p̂) = F (q̂, p̂).Уравнения (13.10) могут выполняться приблизительно, если неопределённости координат и импульсов достаточно малы по сравнению с харак∂Hтерным масштабом изменения функций ∂H∂qi и ∂pi . Более точное по сравнению с классическим приближённое описание может быть получено введением в правую часть поправок, учитывающих неопределённости координати импульсов.13.3.1.

Отличие от классического случая*Негамильтонова эволюция средних координат и импульсов, котораяможет показаться особенностью квантовой теории, на самом деле, как отметил И. В. Волович, появляется уже в классической динамике, если рассматривать не отдельную фазовую траекторию (классическое чистое состояние),а распределение вероятностей по координатам и импульсам (классическоесмешанное состояние).13.4. Т ЕОРЕМА Г ЕЛЬМАНА – Ф ЕЙНМАНА397Усредняя классические уравнения Гамильтонаdpi∂H∂Hdqi=−=+,(13.11)dt∂qidt∂piпо классическому смешанному состоянию (по распределению вероятностейпо начальным координатам и импульсам), мы получаем классический аналог теоремы Эренфеста (здесь и далее до конца раздела усреднение уже неквантовое, а классическое)://00dpi ∂H∂Hdqi = −= +,.(13.12)dt∂qidt∂piКак и в квантовом случае, в случае общего положения (для нелинейнойфункции)F (q, p) = F (q, p).Поведение средних координат и импульсов описывается классическими уравнениями Гамильтонаdpi ∂H∂Hdqi =−=+(q, p),(q, p)(13.13)dt∂qidt∂piдля квадратичных гамильтонианов, либо в пределеузкого распределения по координатам и импульсам.Как в квантовом, так и в классическом случаемы можем, разлагая правую часть формул Эренфеста в ряд оценивать поправки к классической эволюции средних координат и импульсов, возникающие за счёт неопределённости (конечной дисперсии)координат и импульсов, а также моментов (среднихотклонений переменных, возведённых в степень) более высоких порядков.Таким образом, с точки зрения теоремы Эрен- Рис.

13.2. Игорь Васифеста и эволюции средних координат и импульсов, льевич Волович.различие между классической и квантовой теориейсостоит в некоммутативности квантовых переменных.13.4. Теорема Гельмана – ФейнманаТеорема Гельмана – Фейнмана связывает между собой производные попараметру для оператора наблюдаемой и его допустимого значения (собственного числа).398ГЛАВА 13Пусть эрмитов оператор Â(λ) (например, гамильтониан) зависит отнекоторого числового параметра λ. Тогда от этого же параметра будут зависеть собственные числа a(λ) и собственные векторы |ψ(λ):Â(λ)|ψ(λ) = a(λ)|ψ(λ),ψ(λ)|ψ(λ) = 1.(13.14)Отметим, что параметр λ может быть связан с описанием квантовойсистемы, но не с её состоянием.

Таким параметром может быть масса частицы, постоянная Планка, заряд электрона, какой-либо ещё численный коэффициент, но координата, импульс квантовой частицы или любая другаяхарактеристика состояния квантовой системы здесь не годятся. Но, например, координата потенциальной ямы или стенки может быть таким параметром, если они задаются как классические (бесконечно тяжёлые) объекты и не могут быть взяты как аргументы волновой функции.Продифференцируем тождество (13.14) по параметру λ:∂ Â∂|ψ∂a∂|ψ|ψ + Â=|ψ + a.∂λ∂λ∂λ∂λ(13.15)Действуя слева бра-вектором ψ(λ)|, получаем:ψ|∂|ψ∂a∂|ψ∂ Â|ψ + ψ|Â= ψ| |ψ + ψ|a.

∂λ∂λ∂λ∂λ(13.16)ψ|aСократив повторяющийся слева и справа член, получаем теоремуГельмана – Фейнмана: при условии (13.14) выполняется тождествоψ|∂ Â∂a|ψ =.∂λ∂λ(13.17)Теорема (13.17) полезна при вычислении средних значений от наблюдаемой, которая может быть получена как производная по параметру отдругой наблюдаемой, которая определена в рассматриваемом состоянии.При использовании этого метода полезно помнить, что если мы знаемспектр наблюдаемой Â, то мы знаем спектр всех наблюдаемых вида F (Â),например Â2 , Â3 и т. д., и к наблюдаемым вида F (Â) можно применить туже теорему:∂F (Â)∂F (a)ψ||ψ =.(13.18)∂λ∂λ13.5.

К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ399Если рассматриваемые наблюдаемые были определены в классическойтеории теми же формулами (с точностью до шляпок), то полученное квантовое соотношение между их средними значениями будет совпадать с классическим.13.5. Квазиклассическое приближениеИсторически квазиклассическое приближение («квазиклассика») предшествовало квантовой механике в её современном виде. В старых книгахещё можно встретить такие выражения, как старая квантовая механикаи новая квантовая механика.Первоначально старая квантовая механика «висела в воздухе», представляя собой набор постулатов Бора, которые предписывали правила,согласно которым из множества классических решений уравнений движения каким-то неведомым образом удавалось отбирать те решения, которыесоответствовали разрешённым состояниям электронов в атоме.После создания новой квантовой механики старая квантовая механикабыла выведена как предельный случай, отвечающий квазиклассическомуприближению.Нам редко удаётся точно решить уравнения Шрёдингера, поэтомубольшое значение имеют методы приближённого решения, к числу которых относится квазиклассика.

Важно и то, что квазиклассика позволяет использовать классическую интуицию для квантовых систем. С учётом целиданной книги (понимание квантовой механики) это особенно важно.13.5.1. Как угадать и запомнить квазиклассическую волновуюфункциюРассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрёдингера в предположении, что на малых расстояниях справедливо приближение де Бройля, т. е.

волновую функцию можно записать какiψ(x) ≈ C e h̄ p(x) x(13.19)при изменении координаты x на несколько длин волн де Бройля. Это означает, что длина волны, записанная как функция от x, мало меняется нарасстоянии порядка длины волны ∂λ ∂λ 1.⇔(13.20) ∂x λ |λ| ∂x 400ГЛАВА 13Здесьλ(x) =2πh̄,p(x)p(x) =2m(E − U (x)).То есть мы выражаем длину волны через классический импульс частицы.В формуле (13.19) «константа» C зависит от x, поэтому удобнее переписать формулу в другом виде:iψ(x + δx) ≈ ψ(x) e h̄ p(x) δx .(13.21)Таким образом, мы получаемψ(x1 ) ≈ ψ(x0 ) e h̄ p(x0 ) δx e h̄ p(x0 +δx) δx · · · e h̄ p(x1 −δx) δx ≈⎛ x1 −x0⎞δxip(x0 + nδx) δx⎠ ≈≈ ψ(x0 ) exp ⎝h̄ n=0⎛ x⎞1ip(x) dx⎠.≈ ψ(x0 ) exp ⎝h̄iiix0Таким образом, произведение px в показателе экспоненты волныде Бройля в случае медленноменяющегося классического импульса p(x)заменилось на интегралp(x) dx:ψ(x) ≈ C expih̄p(x) dx .(13.22)Полученная нами формула (13.22), как мы увидим далее, совпадаетс первым квазиклассическим приближением.Заметим, что волновая функция, описывающаяся формулой (13.22)предполагает, что |ψ(x)|2 = |C|2 = const.

Насколько это хорошо?Если классическая частица движется вдоль оси x, причём E > U (x),то частица будет последовательно проходить все интервалы по x, находясьdxdxна каждом интервале dx на протяжении времени v(x)= m p(x), где v(x) —классическая скорость. (То есть в классическом случае отсутствует надбарьерное отражение.) Если мы ловим частицу на интервале dx, не знаяв какой именно момент частица стартовала, то вероятность того, что мыпоймаем частицу, пропорциональна времени, которое частица пробудет на13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ401данном отрезке.

Таким образом, следует модифицировать волновую функ1цию так, чтобы выполнялось условие |ψ(x)|2 ∼ p(x). Поэтому естественнопредположитьCiψ(x) ≈ p(x) dx .(13.23)exp ±h̄p(x)Знак ± в показателе экспоненты соответствует движению частицы по xв положительном или отрицательном направлении. Как мы увидим далее,формула (13.23) совпадает со вторым квазиклассическим приближением.Поскольку в квантовой механике частица может одновременно двигаться в обе стороны (находиться в суперпозиции состояний, отвечающихдвижению в разные стороны), последнюю формулу следует модифицировать: C+iψ(x) ≈ p(x) dx +exph̄p(x)C−i+p(x) dx .

(13.24)exp −h̄p(x)Таким образом, мы угадали формулу для второго квазиклассическогоприближения, используя общефизические соображения. Далее мы выведемту же формулу (13.24) более строго, но и метод угадывания, несмотря навсю свою нестрогость может быть полезен, поскольку нестрогий выводпозволяет: 1) понять физический смысл формул; 2) хорошо запомнить самиформулы.Рассуждения, с помощью которых мы угадали квазиклассические волновые функции применимы только в глубине классически разрешённойобласти E > U (x), однако можно надеяться, что те же формулы будутсправедливы для мнимых значений импульса p(x), т.

е. в глубине области E < U (x).13.5.2. Как вывести квазиклассическую волновую функциюВыведем в одномерном случае то выражение для квазиклассическойволновой функции, которое мы угадали в предыдущем разделе. Для этогопредставим волновую функцию в экспоненциальном видеiψ(x) = e h̄ S(x)(13.25)402ГЛАВА 13и подставим её в стационарное уравнение Шрёдингера, записанное в координатном представлении:1 2(S ) − ih̄S = E − U (x),2mилиS =2m(E − U ) + ih̄S .(13.26)(13.27)Это пока точное уравнение Шрёдингера, просто переписанное для функции S(x).Мы знаем, что постоянная Планка мала в привычных нам макроскопических единицах измерения. Но на самом деле бессмысленно говоритьо малости размерной величины, т. к. любая размерная величина может бытьобращена в единицу выбором подходящих единиц измерения.

«Малость»постоянной Планка в привычных (макроскопических) единицах измеренияозначает, на самом деле, малость по сравнению с привычными (макроскопическими) величинами той же размерности, т. е. по сравнению с характерными значения действия и момента импульса.Запишем для функции S(x) формальный степенной ряд по степенямпостоянной Планка:S = S0 − ih̄S1 + (−ih̄)2 S2 + . . .

.(13.28)Как правило, этот ряд не сходится, но даёт хорошие приближения, есливзять от него несколько первых членов.Подставляя ряд (13.28) в уравнение (13.27) и удерживая соответствующие члены разложения, получаем:S0 (x) = 2m(E − U (x)) = ±p(x) ⇒ S0 (x) = ± p(x) dx.Здесь p(x) — классическое выражение для импульса через координату x.Аналогично для следующего члена разложения:'(S0 − ih̄S1 ) = 2m(E − U ) + ih̄S0 + o(h̄) =ih̄p (x),= p2 + ih̄p + o(h̄) = p(x) +2 p(x) p (x)C.= − ln p(x)⇒ S1 (x) = ln S1 (x) = −2 p(x)p(x)13.5.

К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ403Подставляя первые два члена из (13.28) в выражение (13.25) для волновой функции, получаем выражение, которое совпадает с угаданным ранее (13.23):.iCψ(x) = e± h̄ p(x) dx .p(x)Чего же мы достигли, получив ранее угаданное выражение? Вопервых, мы его действительно получили, а не угадали, при этом мы можемулучшить наше приближение, взяв следующие члены разложения S(x) постепеням постоянной Планка.